085 – Der Zusammenhang zwischen der Auslenkung einer Feder und der von ihr ausgeübten Rückstellkraft

Federn gehören zu den nützlichsten mechanischen Komponenten, die je erfunden wurden: Sie federn Fahrzeuge ab, schließen Türen, halten Uhren am Laufen und bringen einziehbare Stifte zurück. Das Instrument, das ein Labor zur Kraftmessung verwendet – der Kraftmesser oder Dynamometer –, ist selbst nichts anderes als eine kalibrierte Feder; das Verständnis dafür, wie eine Feder auf eine Last reagiert, ist also das Verständnis dafür, wie Kraft überhaupt gemessen wird. Diese Reaktion wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben: Innerhalb ihres elastischen Bereichs übt eine Feder eine Rückstellkraft aus, die proportional zu ihrer Dehnung ist, F = kΔl, wobei die Federkonstante k die Steifigkeit dieser speziellen Feder misst. Diese Proportionalität ist das Entscheidende – eine Verdopplung der Last verdoppelt die Dehnung –, und sie macht eine Feder als Messgerät nutzbar. In diesem Labor werden Sie eine Feder an ein Stativ hängen, sie mit Gewichten von 1 N bis 9 N in gleichen Schritten belasten und die durch jede Last verursachte Dehnung an einem festen Lineal ablesen. Das Auftragen der Rückstellkraft gegen die Dehnung offenbart dann den linearen Zusammenhang, und die Steigung dieser Geraden ist die Federkonstante selbst.

Bildungsziele

Einarbeitung in die Laborumgebung

• Montieren Sie ein hängendes Federsystem aus Universalstativ, Klemme, Feder und fixiertem Lineal.
• Bringt und entfernt Gewichte in kontrollierten Schritten, ohne die Feder plötzlich zu entlasten.

Verwendung von Messgeräten

• Positionen an einem festen Lineal in Augenhöhe ablesen und dabei die Parallaxe als Hauptfehlerquelle erkennen.
• Warten Sie, bis die gespannte Feder vollständig zur Ruhe gekommen ist, bevor Sie die Messung vornehmen, da eine schwingende Feder keine eindeutige Längenausdehnung hat.

Das Hooksche Gesetz verstehen

• Weisen Sie experimentell nach, dass die Rückstellkraft einer Feder proportional zu ihrer Längenänderung ist, F = kΔl.
• Bestimmen Sie die Federkonstante k einer realen Feder aus Messdaten.

Grafische und mathematische Analyse

• Tragen Sie die Kraft gegen die Dehnung auf, legen Sie eine Ursprungsgerade durch die Messwerte und bestimmen Sie $k$ aus deren Steigung.
• Rechnen Sie die Federkonstante zwischen den Einheitensystemen (N/cm und N/m) um und verwenden Sie sie, um die Dehnung bei einer noch nicht getesteten Belastung vorherzusagen.

Kritische Analyse der Ergebnisse

• Ermitteln Sie, was neun Messpunkte aufzeigen, was eine einzelne Messung nicht leisten kann: die Linearität der Beziehung, nicht nur deren Größenordnung.
• Setzen Sie das Prinzip der kalibrierten Feder in Bezug auf reale Systeme – Fahrzeugaufhängungen, Kraftmessgeräte und Federwaagen.

Protokoll

1. Klemmen Sie die Klemme an die Universalhalterung.
2. Haken Sie die Feder an die Klemme.
3. Befestigen Sie das Lineal am próximos zur Feder angebrachten Klemmteil.
4. Messen Sie den Abstand zwischen dem Tisch und dem unteren Ende des Federhakens.
5. Hängen Sie ein Gewicht von 1 N an die Feder.
6. Der Wert der Rückstellkraft ist in der Ergebnistabelle aufgeführt.
7. Warten Sie, bis das Gewicht aufgehört hat zu schwingen, und messen Sie den Abstand zwischen dem Tisch und dem unteren Ende der Feder.
8. Wiederholen Sie die Schritte 5 bis 7, wobei Sie das angehängte Gewicht jedes Mal um 1 N erhöhen.

Erwartete Ergebnisse

Messergebnisse. Der gemessene Abstand bezieht sich vom Tisch bis zur Unterseite der Feder, daher verringert wenn sich die Feder ausdehnt. Die Dehnung entspricht der Differenz zum Wert im unbelasteten Zustand: Δl = d₀ − d.

Hookesches Gesetz. Innerhalb ihres elastischen Bereichs dehnt sich eine Feder direkt proportional zur auf sie einwirkenden Kraft aus und zieht mit einer gleich großen Kraft in Richtung ihrer Ruheposition zurück:

F = k Δl   oder, ausgedrückt als Rückstellkraft mit ihrer Richtung,   F = −k Δl

Die Konstante k ist die Federkonstante dieser bestimmten Feder. Nimmt man eine beliebige Zeile der Tabelle, so gilt: k = F / Δl = 1,0 N / 2,0 cm = 0,500 N/cm, was 50 N/m in SI-Einheiten. Die letzte Spalte zeigt, dass jede der neun Messungen denselben Wert liefert, sodass prinzipiell eine einzige Messung ausgereicht hätte – aber neun davon belegen, dass die Proportionalität tatsächlich gilt, anstatt nur zufällig an einem Punkt übereinzustimmen.

Die Grafik lesen. Stellt man die Kraft gegen die Dehnung auf, ergibt sich eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Beide Merkmale sind von Bedeutung. Die Geradlinigkeit besagt, dass sich die Steifigkeit beim Dehnen der Feder nicht ändert. Die Tatsache, dass sie durch die Herkunft besagt, dass keine Kraft erforderlich ist, um keine Dehnung zu erzeugen – es gibt kein Spiel, das überwunden werden muss, und keine Vorspannung in der Feder. Die Steigung ist k, daher ist das Diagramm der Standardweg zur Messung einer Federkonstante: man nimmt die Steigung, nicht ein einzelnes Wertepaar.

In der Feder gespeicherte Energie. Da die Kraft mit der Ausdehnung der Feder zunimmt, entspricht die beim Dehnen verrichtete Arbeit nicht einfach der Kraft mal dem Weg, sondern der Fläche unter der Kurve, die die Form eines Dreiecks hat:

E = ½ k Δl²

Bei einer vollen Belastung von 9 N beträgt die Dehnung 0,18 m, also ist E = ½ × 50 × 0,18² = 0,81 J. Beachten Sie, dass eine Verdoppelung der Dehnung die gespeicherte Energie vervierfacht, weshalb die Dehnung quadratisch eingeht, die Kraft jedoch nicht.

Zusammenfassung der Aufgaben nach Klassenstufen

9. bis 10. Klasse

Fokus: Elastizität als beobachtbares, messbares Phänomen. Die Schüler bauen das Federsystem zusammen, hängen jedes Gewicht von 1 N bis 9 N an, notieren die Linealposition im Ruhezustand und berechnen die durch jede Last erzeugte Dehnung. Sie tragen die Kraft gegen die Dehnung auf Millimeterpapier auf und formulieren das Muster in Worten: Gleiche Kraftstufen erzeugen gleiche Dehnungsstufen. Der Schwerpunkt liegt auf dem sorgfältigen, reproduzierbaren Ablesen des Lineals und auf dem übersichtlichen Ordnen der Messwerte in einer Tabelle.

11. Klasse

Fokus: die quantitative Form des Hookeschen Gesetzes. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Federkonstante aus der Steigung ihres Graphen, drücken sie sowohl in N/cm als auch in N/m aus und überprüfen einzelne Zeilen der Tabelle anhand von F = kΔl. Sie nutzen die angepasste Konstante, um die Dehnung einer Last vorherzusagen, die sie nicht getestet haben, und diskutieren, warum der Graph durch den Ursprung verlaufen sollte. Der Umgang mit Einheiten – Zentimeter in Meter, N/cm in N/m – wird als Teil der Physik behandelt und nicht als bloßer Nachtrag.

12. Klasse / College-Niveau

Fokus: In einem elastischen System gespeicherte Energie. Die Schüler berechnen die bei Maximallast gespeicherte elastische potenziellen Energie als Fläche unter der Kraft-Dehnungs-Linie, E = ½k(Δl)², und überprüfen sie geometrisch anhand des Diagramms. Sie passen die Steigung durch die Methode der kleinsten Quadrate statt nach Augenmaß an.

Labor-Grundausstattung

Instrumente

• Feder (k = 0,5 N/cm)
• 50 cm Lineal
• Ständer & Klemme
• Gewichte (1 bis 9 N)

Produkte

Keine – dieses Labor verwendet keine chemischen Reagenzien.