056 – La relación entre la temperatura de un gas y su volumen

Calienta un gas y este se expande. Ese simple hecho mantiene un globo aerostático en el cielo, impulsa la convección que hace circular el aire en una habitación, hace que el pan se eleve y es la razón por la cual la luz de advertencia de la presión de los neumáticos de un auto se enciende durante la primera mañana fría del invierno. Expresado cuantitativamente, es la ley de Charles: para una cantidad fija de gas mantenida a presión constante, el volumen es directamente proporcional a la absoluto temperatura, V / T = constante. La palabra absoluto hace el trabajo — la proporcionalidad solo se cumple cuando la temperatura se cuenta desde el punto en que cesaría el movimiento molecular, no desde el punto de congelación del agua.

La razón es el mismo cuadro cinético que explica la ley de Boyle, pero a la inversa. La temperatura determina la rapidez con la que se mueven las moléculas. Calienta el gas y cada molécula llega a la pared con más fuerza y más frecuencia, por lo que, si estuviera confinada, la presión aumentaría. Aquí no está confinada: el gas tiene la libertad de empujar su sello a lo largo del tubo hasta haberse expandido lo suficiente como para que las choques equilibren nuevamente la presión de la habitación exterior. El volumen en el que se estabiliza es proporcional a la temperatura absoluta.

En este laboratorio atrapará una columna corta de aire en un tubo capilar de vidrio de 0,5 mm de radio interno, sellado en la parte superior por una gota de aceite de oliva que se desliza libremente y no tiene fugas. El tubo se sujeta junto a una regla y se sumerge en un vaso de precipitados con agua helada sobre una placa calefactora con agitación. Calentar el baño en intervalos de unos diez grados y leer la altura de la base de la gota en cada meseta proporciona diez pares coincidentes de temperatura y longitud. Debido a que el calibre es uniforme, la altura es el volumen hasta un factor constante, por lo que un gráfico de la altura frente a la temperatura es un gráfico de la ley de Charles, y el punto donde esa línea recta alcanza una altura cero es el cero absoluto, ubicado desde un banco en una habitación templada.

Metas educativas

Familiarización con el entorno de laboratorio

• Identifique el tubo capilar, el sello de aceite, el baño María, el agitador magnético y la regla sujeta con pinza, y establezca la función de cada uno.
• Explique por qué la columna atrapada debe estar completamente por debajo de la línea del agua y por qué ni el tubo ni el termómetro deben tocar la pared del vaso de precipitados.

Preparando una muestra sellada

• Caliente el capilar de manera uniforme y aspire un tapón de aceite de 5 mm a 1 cm en el extremo abierto mientras el tubo se enfría, y explique por qué el aire al enfriarse atrae el aceite hacia adentro.
• Maneje el vidrio caliente con guantes térmicos y apague el mechero Bunsen antes de pasar a la Parte B.

Medición y registro de datos

• Lea la temperatura del agua y la altura del fondo de la gota de aceite solo después de que la lectura se haya estabilizado, y diga por qué importa el agitador.
• Registre diez pares correspondientes en el rango de temperatura más amplio que permita el baño, en lugar de dos puntos en los extremos.

Tratamiento cuantitativo de la ley de Charles

• Convierta cada lectura de Celsius a kelvin y compruebe si h / T es constante.
• Convertir una altura a un volumen con V = πr²y mostrar que la elección de unidades no afecta la prueba.
• Grafique la altura frente a la temperatura en Celsius, ajuste una línea recta y extrópolela hasta cero altura para localizar el cero absoluto.

Evaluación crítica de la medición

• Estime la presión que el propio tapón de aceite añade y demuestre que es insignificante en comparación con la presión atmosférica.
• Explique por qué se debe utilizar todo el rango de temperatura para la extrapolación.

Protocolo

PARTE A: La preparación del tubo capilar

1. Por encima de la placa calefactora, sujete una pinza universal a cada uno de los dos soportes.
2. Usa el cuentagotas; toma un poco de aceite de oliva y coloca dos gotas de aceite en el vidrio de reloj.
3. Encienda el mechero Bunsen.
4. Use guantes térmicos; caliente el tubo capilar en toda su longitud exponiéndolo a la llama mientras hace movimientos de vaivén durante unos 20 segundos.
5. Coloque el extremo abierto (el extremo transparente) del tubo muy caliente sobre las gotas de aceite preparadas en el paso 1. El aceite debe subir por sí solo hacia el tubo capilar.
6. Regrese el tubo a una posición vertical (con el extremo abierto hacia arriba) y espere unos segundos a que se enfríe.
7. Fije el tubo capilar a la pinza universal del soporte derecho; colocando el extremo abierto (transparente) hacia arriba.
8. Apaga el mechero Bunsen.

• La gota de aceite en el tubo capilar debe tener un espesor de entre 5 mm y 1 cm.

PARTE B: Medición de la relación volumen-temperatura

9. Coloque el vaso de precipitados de 250 mL en la placa calefactora (no encienda la placa calefactora).
10. Coloque el agitador magnético en el vaso de precipitados.
11. Sujete el termómetro a la pinza universal del soporte izquierdo y colóquelo verticalmente en el vaso de precipitados de 250 mL. Ni el tubo capilar ni el termómetro deben tocar las paredes del vaso de precipitados.
12. Asegure la regla detrás del tubo capilar para medir la altura de la gota de aceite.
13. Tome el vaso de precipitados que contiene hielo y agréguele 250 mL de agua fría de la llave.
14. Luego, vierta el agua fría y el hielo en el vaso de precipitados que contiene el tubo capilar. El nivel del agua debe superar al de la gota de aceite.
15. Observe la temperatura del agua y la altura del fondo de la gota de aceite una vez que la temperatura se haya estabilizado.
16. Encienda el agitador en la placa calefactora.
17. Inicia el cronómetro.
18. Enciende la placa calefactora a baja intensidad (20 °C) y espera a que la temperatura suba unos diez grados.
19. En la tabla de resultados, observe la temperatura del agua y la altura del fondo de la gota de aceite una vez que la temperatura se haya estabilizado. Notará el cambio en la altura de la gota según los cambios en la temperatura del agua.
20. Repita los pasos 18 y 19 mientras aumenta la temperatura de la placa otros 10 grados.
21. Apaga la placa calefactora y espera a que todo se enfríe.

• Nota: El interior del tubo capilar tiene un radio de 0.5 mm.

Resultados esperados

Resultados esperados

El calibre del capilar es uniforme, por lo que el aire atrapado ocupa un cilindro de sección transversal πr² = π × (0.5 mm)² = 0.785 mm². Su volumen es, por lo tanto, V = 0,785 × h, con h en milímetros y V en mm³³, y desde 1 mm³ = 1 µL la altura en milímetros se convierte a un volumen en microlitros mediante ese único factor: 47.3 mm → 37.1 µL, 62.1 mm → 48.8 µL. Debido a que el factor es el mismo a cualquier temperatura, probar V ∝ T y probar h ∝ T son la misma prueba, y la regla por sí sola es suficiente.

Lo que dicen los números

La ley de Charles establece que V₁ / T₁ = V₂ / T₂ para una cantidad fija de gas a presión constante, con T en kelvin. Tomando los dos extremos de la serie: 47,3 mm / 277,2 K = 0,1706 mm/K y 62,1 mm / 364,2 K = 0,1705 mm/K. Cada lectura intermedia arroja la misma cifra con una precisión de 0,03 %. Dicho de otra manera, la temperatura aumenta en un factor de 364,2 / 277,2 = 1,314 a lo largo del tramo y la columna se alarga en 62,1 / 47,3 = 1,313; las dos relaciones coinciden en una parte por mil, lo cual constituye el contenido completo de la ley.

Encontrando el cero absoluto sin acercarse a él

Esta es la razón por la cual el experimento ha sobrevivido durante dos siglos. Representa la altura de caída frente a la Celsius la temperatura y los puntos caen sobre una línea recta, h = 0,1705 t + 46,6, donde la pendiente está en mm por °C y la intersección es la altura que tendría la columna a 0 °C. Extienda esa línea hacia atrás hasta h = 0 y llega a t = −46,6 / 0,1705 = −273 °C. Nada en el aparato baja de 4 °C; el cero de la escala absoluta se encuentra por extrapolación a partir de un vaso de precipitados con agua tibia, y el hecho de que resulte la misma intersección sin importar qué gas se use es lo que hace que sea una propiedad de la temperatura en lugar de la del aire.

Por qué la presión realmente es constante

La gota de aceite es libre de deslizarse, por lo que el aire atrapado está siempre a la presión de la habitación más dos correcciones pequeñas. El peso del propio tapón contribuye con ρgL: para el aceite de oliva a unos 910 kg/m³ y un tapón de 7 mm que es 910 × 9,81 × 0,007 = 62 Pa, seis centésimas del uno por ciento de la presión atmosférica. La tensión superficial aporta 2γ/r en cada menisco, unos 2 × 0,032 / 0,0005 = 128 Pa, pero los dos meniscos se curvan en sentidos opuestos y se cancelan casi por completo; solo sobrevive su diferencia. Ambas correcciones están muy por debajo de lo que una regla de un milímetro podría revelar, razón por la cual la condición de presión constante se puede considerar cumplida con exactitud.

La cantidad de gas y la imagen cinética

A partir de n = PV / RT en la primera lectura, n = (101 325 Pa × 3.71 × 10⁻⁸ m³) / (8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹ × 277.2 K) = 1.63 × 10⁻⁶ mol — alrededor de 47 µg de aire, más o menos 9.8 × 10¹⁷ moléculas. Esa cantidad viene determinada por el sello de aceite y no varía. Al calentar la muestra de 277 K a 364 K, la velocidad molecular cuadrática media aumenta solo en √(364/277) = 1,15, es decir, un quince por ciento, mientras que el volumen crece en un 31 %: las moléculas aceleran a la raíz cuadrada de la temperatura, pero el gas debe expandirse en proporción directa a ella, ya que la presión depende tanto de la fuerza como de la frecuencia con que las moléculas chocan, y el gas se expande precisamente para que la tasa de llegada por unidad de área se mantenga igual a la del ambiente exterior.

Resumen de tareas por rango de calificaciones

Grado 9-10

Concéntrate. Observación y vocabulario. Los estudiantes ven que al calentar un gas este ocupa más espacio, y aprenden que el sello debe deslizarse libremente para que la presión se mantenga constante.

• Prepara el capilar, captura la gota de aceite y describe qué le sucede a medida que el baño se calienta.
• Registre cinco lecturas correspondientes de la temperatura del agua y la altura de caída, e introdúzcalas en una tabla.
• Graficar la altura en función de la temperatura a mano y describir el resultado como una línea recta en lugar de una curva.
• Responde con palabras por qué la gota se mueve hacia arriba en lugar de que aumente la presión.

Undécimo grado

Concéntrate. Tratamiento cuantitativo. Los estudiantes convierten a Kelvin, prueban la proporcionalidad numéricamente y realizan la extrapolación que da el cero absoluto.

• Tome las diez lecturas, convierta cada una a kelvin y agregue una columna de h / T; indique su media y su dispersión.
• Convertir dos alturas a volúmenes con V = πr²y confirma que V / T da la misma constancia que h / T.
• Graficar la altura frente a la temperatura en Celsius, ajustar una línea recta y leer tanto la pendiente como la intersección.
• Extrapole la línea a una altura cero y cite la temperatura que alcanza, con un comentario sobre qué tan lejos de los datos se encuentra ese punto.

12.º grado / Nivel universitario

Concéntrate. Derivación, análisis de errores e interpretación independiente.

• Deriva V ∝ T a partir de PV = nRT e identifica exactamente qué cantidades mantiene fijas el aparato y mediante qué mecanismo.
• Calcule la cantidad de aire atrapado en moles, microgramos y moléculas, y demuestre que no cambia a lo largo de la ejecución.
• Calcula las contribuciones hidrostáticas y por tensión superficial del tapón de aceite y demuestra que la suposición de presión constante se cumple con una precisión superior a 0.1 %.
• Explica por qué la rapidez molecular cuadrática media aumenta como √T mientras que el volumen aumenta como T, y reconcilia ambos usando P = (1/3)(N/V)m〈v²〉²〉.
• Analice lo que el experimento puede y no puede decir sobre el cero absoluto, dado que el aire se licúa cerca de los 80 K.

Elementos esenciales para el laboratorio

Instrumentos

• Vaso de precipitados (250 mL)
• mechero de Bunsen
• Tubo capilar
• Gotero
• Hornilla eléctrica
• Soporte universal y pinzas
• Agitador magnético
• Regla
• Termómetros
• Temporizador
• Vidrio de reloj
• Guantes térmicos

Productos

• Aceite de oliva
• Hielo
• Agua fría de la llave