106 – Movimiento de rodadura en planos inclinados

Un objeto que rueda almacena su energía en dos lugares a la vez, y ese simple hecho determina casi todas las cifras en este laboratorio. Los transportadores de rodillos por gravedad en los almacenes, los rodamientos de bolas, las pistas de bobsleigh y monopatín, y los circuitos de canicas por gravedad utilizados para enseñar mecánica dependen de saber qué tan rápido viajará un cuerpo rodante al pie de una pendiente, y un cuerpo rodante nunca llega tan rápido como uno deslizante soltado desde la misma altura.

Cuando un cuerpo se desliza sin fricción, cada joule de energía potencial gravitacional que cede se convierte en energía cinética de traslación. Cuando rueda sin resbalar, esa misma energía debe repartirse con la rotación, ya que la superficie de contacto ejerce el par de fricción que hace girar al cuerpo. Para una esfera sólida, la parte dedicada a la rotación es fija: dos séptimos del total, lo que deja solo cinco séptimos para impulsar la esfera hacia adelante. Este es el origen del factor 10/7 que se aplica en todo el laboratorio: reemplaza la conocida fórmula v = √(2gh) del caso de deslizamiento por v = √(10gh/7), lo cual es aproximadamente 15 % más lento. Dado que la gravedad es una fuerza conservativa, la forma y la longitud de la pendiente son irrelevantes para esa velocidad; solo importa la caída vertical.

En este laboratorio comparas dos rampas cuyas secciones de descenso miden ambas 1,0 m de largo pero descienden en ángulos diferentes, 15° para la rampa 1 y 20° para la rampa 2, y por lo tanto a través de diferentes alturas. Predecirás la rapidez de la canica al pie de cada descenso únicamente a partir de la conservación de la energía, para luego medirla con un par de compuertas de fotodiodo y un temporizador electrónico. A continuación, predecirás qué tan alto se eleva la canica después de salir de la sección ascendente corta de 45° al final de cada rampa, medirás eso también y decidirás cuál de las dos geometrías lanza la canica más alto — y por qué los valores medidos quedan un poco por debajo de los predichos.

Metas educativas

Movimiento de rodadura y la distribución de energía

• Explica por qué una esfera que rueda llega al pie de un plano inclinado más lentamente que un bloque que se desliza liberado desde la misma altura, y di a dónde ha ido a parar la energía cinética de traslación faltante.
• Rastree los factores 10/7 y 5/7 hasta el momento de inercia de una esfera sólida, I = (2/5)mr², y la condición de rodadura v = ωr.

Predicción a partir de la conservación de la energía mecánica

• Usa mgh = ½mv²² + ½Iω² para predecir la velocidad de la canica al pie de un plano inclinado a partir de la altura de caída sola, antes de que se realice cualquier medición.
• Reconozca que la predicción depende únicamente de la caída vertical, de modo que la longitud de la rampa, la curvatura y el ángulo intervienen únicamente a través de h = Δx · sin θ.

Cinemática del lanzamiento y del vuelo

• Calcular la desaceleración de una esfera rodante en una pendiente ascendente y aplicar v_a² = v_d² + 2aΔx para encontrar la velocidad a la que la canica sale de la rampa.
• Descomponga esa velocidad en componentes y calcule la altura máxima del vuelo libre subsiguiente.

La influencia de la geometría de la rampa

• Prediga y luego confirme que el descenso más pronunciado produce la mayor velocidad de salida y la mayor altura máxima, y cuantifique en cuánto.
• Explique por qué las dos secciones ascendentes, al ser idénticas, hacen que la velocidad inicial sea la única variable que determina la altura final.

Medición con compuertas de fotodiodo y un cronómetro electrónico

• Coloca las dos compuestas correctamente, activa una ejecución con el botón A o el botón B, y lee el valor que devuelve el temporizador.
• Describa lo que el instrumento mide realmente y lo que debe saberse sobre el aparato antes de que esa lectura pueda convertirse en velocidad.

Comparación del modelo con la medición

• Cuantifique la diferencia entre los valores previstos y medidos y explíquela en función de la resistencia a la rodadura y la resistencia al aire.

Protocolo

Introducción

1. Queremos estimar la velocidad al final de la pendiente descendente de cada rampa para poder estimar qué rampa le dará a la canica el mayor impulso de salida.
2. Se utilizan dos rampas diferentes para este laboratorio:

• La rampa 1 tiene una altura de 0.259 m y un ángulo de inclinación de 15°
• La rampa 2 mide 0.342 m de altura y tiene un ángulo de inclinación de 20°

3. Cada una de las dos rampas se puede dividir en dos partes: una parte descendente y una parte ascendente.
4. Las dos rampas difieren en cuanto al ángulo y la altura de su porción descendente. La longitud de la porción descendente de ambas rampas es de 1 m.
5. La porción ascendente de cada rampa es por lo demás idéntica.

Manipulaciones A

Teniendo en cuenta los parámetros proporcionados anteriormente y sabiendo que la aceleración debida a la gravedad es de 9.8 m/s, estime la velocidad al final de cada rampa descendente (en m/s).

1. Coloque uno de los sensores del cronómetro en la pequeña tabla situada al final de la pendiente descendente de las rampas (ubicación blanca). Coloque el segundo sensor en la otra pequeña tabla situada al final de las rampas (ubicación negra).
2. Coloca la canica en la parte superior de la rampa 1, sobre la línea horizontal gris.
3. Presiona el botón A para obtener la velocidad de la canica al final de la pendiente descendente de la rampa 1.
4. Observe la demostración.
5. Los datos de demostración se introducen en la tabla de resultados. Consulte los datos obtenidos para compararlos con sus cálculos.
6. Repita los pasos 2 al 5 usando la rampa 2.

Pregunta A

Conociendo la velocidad al final de cada rampa descendente, considerando los siguientes parámetros:

• Longitud de las rampas ascendentes: 0.17 m
• Ángulo de las rampas ascendentes: 45°

¿Cuál será la altura máxima alcanzada por cada canica (en m)?

Manipulaciones B

1. Coloca la canica en la parte superior de la rampa 1, sobre la línea horizontal gris.
2. Presione el botón B para obtener la altura máxima alcanzada por la canica después de despegar de la rampa 1.
3. Observe la demostración.
4. Los datos de demostración se introducen en la tabla de resultados. Consulte los datos obtenidos para compararlos con sus cálculos.
5. Repita los pasos 1 al 4 usando la rampa 2.

Preguntas B

1. ¿Qué rampa le dará al canica su altura máxima?
2. Si los cálculos son diferentes de los datos experimentales, ¿qué factores explican estas diferencias?

Resultados esperados

El aparato suministra estos parámetros, y cada figura a continuación se deriva de ellos:

• Longitud descendente de ambas rampas Δx_d = 1.0 m
• Ángulo de descenso de la rampa 1, θ_d1 = 15°, por lo que la rampa 1 cae 1.0 × sin 15° = 0.259 m
• Ángulo descendente de la rampa 2, θ_d2 = 20°, por lo que la rampa 2 baja 1.0 × sin 20° = 0.342 m
• Longitud ascendente de ambas rampas Δx_a = 0.17 m en θ_a = 45°, por lo que el borde de cada rampa se sitúa a una altura h₀ = 0.17 × sin 45° = 0.12 m por encima de la mesa
• Aceleración debida a la gravedad g = 9.8 m/s²

Paso 1: velocidad al pie de cada descenso. Una canica que rueda sin deslizarse almacena energía cinética en dos formas a la vez, y ambas deben pagarse con la energía potencial que cede:

mgh = ½mv² + ½Iω², con I = (2/5)mr² y ω = v/r

Sustituyendo el momento de inercia y la condición de rodadura, el término rotacional se reduce a (1/5)mv², entonces mgh = ½mv² + (1/5)mv² = (7/10)mv². La masa se cancela y, al reorganizar, se obtiene la ecuación de trabajo para una esfera rodando en cualquier pendiente:

v = √(10 g Δx sin θ / 7)

Mostrando la sustitución una vez, para la rampa 1:

v_d1 = √((10 × 9.8 × 1.0 × sen 15°) / 7) = √((10 × 9.8 × 0.259) / 7) = √3.62 = 1.91 m/s

y para la rampa 2, cuya caída es de 0.342 m:

v_d2 = √(10 × 9.8 × 0.342 / 7) = √4.79 = 2.19 m/s

Paso 2: desaceleración en la sección ascendente. El mismo análisis realizado cuesta arriba da la aceleración de una esfera que rueda en un plano inclinado. Es una constante, no depende de la masa ni del radio de la canica, y es cinco séptimos de lo que experimentaría un bloque deslizante sin fricción:

a = −(5/7) g sin θ_a = −(5 × 9.8 × sen 45°) / 7 = −4.95 m/s²

El signo menos indica que la aceleración se opone al movimiento; el factor $\operatorname{sen} \theta$ es la componente de la gravedad a lo largo de la pendiente; el 5/7 es nuevamente la penalización por tener que desacelerar tanto la rotación como la traslación.

Paso 3: velocidad en el borde de la rampa. Con una aceleración constante sobre una distancia conocida, la tercera ecuación cinemática da la velocidad a la que la canica sale de la rampa:

v_a = √(v_d² + 2 a Δx_a)

v_a1 = √(3.62 + 2 × (−4.95) × 0.17) = √(3.62 − 1.68) = √1.94 = 1.40 m/s

v_a2 = √(4.79 − 1.68) = √3.11 = 1.76 m/s

Paso 4: la componente vertical en el lanzamiento. Solo la parte vertical de esa velocidad puede intercambiarse por altura; la parte horizontal lleva a la canica más allá de la bandeja de aterrizaje y sigue estando presente en el punto más alto. Con un ángulo de lanzamiento de 45°:

v_ay = v_a × sen 45° → v_a1y = 1.40 × 0.707 = 0.99 m/s y v_a2y = 1.76 × 0.707 = 1.25 m/s

Paso 5: la altura del vértice. Una vez que la canica está en el aire, ningún torque actúa sobre ella, por lo que sigue girando a la velocidad que tenía en el borde y su energía rotacional simplemente se transporta, sin tomar parte en el ascenso. Aplicando la tercera ecuación cinemática únicamente a la dirección vertical, con v = 0 en el vértice y a = −g, y midiendo desde la mesa en lugar del borde:

h = h₀ + v_ay² / (2g)

h₁ = 0.12 + 0.99² / (2 × 9.8) = 0.12 + 0.05 = 0.17 m

h₂ = 0.12 + 1.25² / (2 × 9.8) = 0.12 + 0.08 = 0.20 m

¿Por qué el resultado sale de esta manera?. Ambas secciones descendentes tienen la misma longitud, por lo que lo único que las distingue es el ángulo, y este actúa sobre la canica exclusivamente a través de la caída vertical Δx sin θ. La rampa 2 tiene una caída de 0,342 m, frente a los 0,259 m de la rampa 1, es decir, un tercio más; y dado que v varía como la raíz cuadrada de la caída, ese tercio se traduce en una ganancia de velocidad de tan solo 15 % —un recordatorio útil de que la velocidad es una función mucho menos sensible a la altura de lo que los estudiantes esperan. Esos 15 % se mantienen luego durante el ascenso, donde ambas rampas tienen el mismo desnivel fijo de 1,68 m²/s² fuera de servicio², y como el peaje se resta de un número más pequeño en la rampa 1, a esta le cuesta proporcionalmente más: la rampa 1 pierde 27 % de su velocidad al subir el borde, mientras que la rampa 2 solo pierde 20 %. Por lo tanto, la rampa 2 llega al borde 26 % más rápido que la rampa 1, un margen mayor que el que tenía en la parte inferior. En la altura del vértice, esa ventaja se reduce nuevamente, ya que los 0,12 m del reborde en sí son comunes a ambas y solo el vuelo se suma a ello: 0,05 m frente a 0,08 m. La rampa 2 le otorga a la canica la mayor altura máxima, y la respuesta a la pregunta B es que un descenso más pronunciado gana, pero por mucho menos de lo que sugeriría la diferencia en los ángulos.

Las dos rutas coinciden exactamente. Los pasos 2 y 3 usan un argumento cinemático, pero se obtiene la misma respuesta solo a partir de la energía: (7/10)v_a² = (7/10)v_d² − gΔh con Δh = 0.17 × sin 45° = 0.12 m da v_a² = v_d² − 1.68, que es precisamente lo que arroja la ruta cinemática. Vale la pena señalar esto a los estudiantes, porque muestra que el paso de aceleración constante es una conveniencia más que una suposición adicional, y que el cálculo sobreviviría sin cambios si las rampas fueran curvas en lugar de rectas, siempre y cuando la canica siga rodando y las alturas de caída y ascenso no cambien.

Resumen de tareas por rango de calificaciones

Grado 9-10

Enfoque observación, vocabulario y el vínculo cualitativo entre altura, velocidad y distancia recorrida. Los estudiantes sueltan la canica en cada rampa, observan lo que sucede y expresan con palabras que la rampa más empinada hace que la canica sea más rápida en la parte inferior y la envía más lejos después del borde. Las palabras energía potencial, energía cinética, rodando y deslizamiento se introducen y utilizan, sin las ecuaciones.

Actividades: predice qué rampa ganará antes de probar cualquiera de las dos y anota la predicción; describe la diferencia entre las dos pruebas en un párrafo corto; marca dónde cae la canica en la bandeja para cada rampa y compáralo; indica qué mediciones tendrían que tomarse para convertir la descripción en un número. Cualquier cálculo en este nivel se realiza con el apoyo del maestro.

Undécimo grado

Enfoque tratamiento cuantitativo. Los estudiantes realizan por sí mismos el cálculo completo de las dos velocidades y las dos alturas de vértice, utilizando la conservación de la energía mecánica y la tercera ecuación cinemática, y comparan cada valor predicho con el medido.

Actividades: calcular v_d para ambas rampas desde las alturas de caída; calcular la desaceleración en la sección ascendente y por lo tanto v_a y v_ay; obtener las dos alturas del ápice; comparar en una tabla los valores predichos con los medidos y expresar la diferencia en porcentaje; explicar la dirección de esa diferencia en términos de fricción y resistencia del aire, en lugar de limitarse a señalarla. Los alumnos deben ser capaces de explicar por qué la diferencia de 32 % en la altura de caída produce solo una diferencia de 15 % en la velocidad.

12.º grado / Nivel universitario

Enfoque derivación, validación de modelos y análisis de errores. Los factores de 10/7 y 5/7 se deducen en lugar de citarse, y los supuestos detrás de ellos se hacen explícitos y se prueban.

Actividades: derivar v = √(10gh/7) a partir de mgh = ½mv² + ½Iω² para una esfera sólida y repetir la deducción para una esfera hueca (I = (2/3)mr², factor 6/5) y un cilindro, luego prediga cómo cambiarían los resultados; muestre que las rutas de energía y cinemática hacia v_a son algebraicamente idénticos y explica por qué, por lo tanto, la curvatura de la rampa no importa; identifica por separado las fuentes de error sistemático y aleatorio y estima la magnitud de cada una; indica qué le hace a vuelo la energía rotacional retenida en el borde y cuantifica el error cometido al ignorarla; evalúa si una sola ejecución por rampa puede respaldar la conclusión obtenida, y diseña el programa de repetición que sí lo haría.

Elementos esenciales para el laboratorio

Instrumentos

• Rampa 1: sección descendente de 1.0 m de largo a 15° (desciende 0.259 m), sección ascendente de 0.17 m a 45°
• Rampa 2: sección descendente de 1.0 m de largo a 20° (desciende 0.342 m), sección ascendente de 0.17 m a 45°
• Canica (esfera sólida)
• Dos compuertas de fotodiodo en soportes, una al pie de la bajada y otra al final de la rampa
• Temporizador electrónico con pantalla digital, conectado por cable a las puertas
• Botón A (velocidad al pie del descenso) y botón B (altura máxima después del lanzamiento)
• Bandeja de aterrizaje llena de arena con un borde graduado
• Regla

Productos

• Ninguno: este laboratorio no utiliza productos químicos.