106 – Mișcare de rostogolire pe rampe înclinate

Un obiect care se rostogolește își poartă energia în două locuri în același timp, iar acest singur fapt determină aproape fiecare cifră din acest laborator. Transportoarele cu role gravitaționale din depozite, rulmenții cu bile, pârtiile de bob și skateboard și traseele de marmură acționate gravitațional folosite pentru a preda mecanica depind toate de cunoașterea vitezei cu care un corp care se rostogolește va călători la baza unei pante — iar un corp care se rostogolește nu ajunge niciodată la fel de repede ca unul care alunecă și este eliberat de la aceeași înălțime.

Atunci când un corp alunecă fără frecare, fiecare joule de energie potențială gravitațională pe care o cedează se transformă în energie cinetică de translație. Atunci când se rostogolește fără a aluneca, aceeași energie trebuie împărțită cu rotația, deoarece suprafața de contact exercită cuplul de frecare care pune corpul în rotație. Pentru o sferă solidă, partea alocată rotației este fixă, reprezentând două șapte din total, rămânând doar cinci șapte pentru a propulsa sfera înainte. Aceasta este originea factorului 10/7 care se regăsește în întregul laborator: el înlocuiește binecunoscuta formulă v = √(2gh) din cazul alunecării cu v = √(10gh/7), cu o viteză cu aproximativ 15 % mai mică. Deoarece gravitația este o forță conservativă, forma și lungimea pantei sunt irelevante pentru acea viteză — contează doar căderea verticală.

În acest laborator veți compara două planuri înclinate ale căror secțiuni descendente au ambele o lungime de 1,0 m, dar coboară la unghiuri diferite, 15° pentru planul 1 și 20° pentru planul 2, coborând prin urmare de la înălțimi diferite. Veți calcula în prealabil viteza marmurei la baza fiecărei coborâri bazându-vă exclusiv pe conservarea energiei, apoi o veți măsura folosind o pereche de porți cu fotodiode și un cronometru electronic. Ulterior, veți prezice la ce înălțime se ridică marmura după ce părăsește secțiunea scurtă ascendentă de 45° de la capătul fiecărui plan, veți măsura și aceasta și veți stabili care dintre cele două geometrii lansează marmura mai sus — și de ce valorile măsurate sunt puțin mai mici decât cele prezise.

Obiective educaționale

Mișcarea de rulare și partajarea energiei

• Un corp sferic care se rostogolește ajunge la baza unui plan înclinat mai lent decât un bloc care alunecă de la aceeași înălțime deoarece o parte din energia potențială gravitațională inițială este convertită în energie cinetică de rotație, nu doar în energie cinetică de traslație. Energia cinetică lipsitoare de la mișcarea de traslație s-a transformat în energie cinetică de rotație a sferei.
• Urmăriți factorii 10/7 și 5/7 până la momentul de inerție al unei sfere solide, I = (2/5)mr²², și condiția de rulare v = ωr.

Predicție bazată pe conservarea energiei mecanice

• Folosește mgh = ½mv²² + ½Iω² pentru a prezice viteza marmurei la baza unei pante doar pe baza înălțimii de cădere, înainte de a se efectua vreo măsurătoare.
• Observați că predicția depinde numai de căderea verticală, astfel încât lungimea rampa, curburile și unghiul intră în ecuație doar prin $h = \Delta x \cdot \sin \theta$.

Cinematica lansării și a zborului

• Calculează decelerarea unei sfere care se rostogolește pe o pantă ascendentă și aplică v_a² = v_d² + 2aΔx pentru a afla viteza cu care bila părăsește rampa.
• Descompuneți această viteză în componente și găsiți înălțimea maximă a zborului liber ulterior.

Influența geometriei rampei

• Preziceți și apoi confirmați că o coborâre mai abruptă produce o viteză de lansare mai mare și o înălțime maximă mai mare, și cuantificați cu cât.
• Explicați de ce cele două secțiuni ascendente, fiind identice, fac ca viteza inițială să fie singura variabilă care decide înălțimea finală.

Măsurare cu bariere cu fotodiodă și un cronometru electronic

• Poziționează corect cele două porți, declanșează o rulare cu butonul A sau butonul B și citește valoarea pe care o returnează cronometrul.
• Descrieți ce măsoară efectiv instrumentul și ce trebuie cunoscut despre aparat înainte ca acea citire să poată fi transformată în viteză.

Compararea modelului cu măsurătoarea

• Cuantificați diferența dintre valorile prevăzute și cele măsurate și justificați-o în funcție de rezistența la rulare și rezistența aerului.

Protocol

Introducere

1. Dorim să estimăm viteza din partea de jos a pantei descendente a fiecărei rampe pentru a estima care rampă va oferi bilei cele mai mari decolare.
2. Două rampe diferite sunt utilizate pentru acest laborator:

• Rampa 1 are 0,259 m înălțime și are un unghi de înclinație de 15°
• Rampa 2 are 0,342 m înălțime și un unghi de înclinație de 20°

3. Fiecare dintre cele două rampe poate fi descompusă în două porțiuni: o porțiune descendentă și o porțiune ascendentă.
4. Cele două rampe diferă în ceea ce privește unghiul și înălțimea porțiunii lor descendente. Lungimea porțiunii descendente a ambelor rampe este de 1 m.
5. Porțiunea ascendentă a fiecărei rampe este, în rest, identică.

Manipulări A

Având în vedere parametrii furnizați mai sus și știind că accelerația gravitațională este de 9,8 m/s, estimați viteza la baza fiecărei rampe descendente (în m/s).

1. Poziționați primul senzor al cronometrului pe placa mică amplasată la capătul pantei descendente a rampelor (locație albă). Poziționați al doilea senzor pe cealaltă placă mică amplasată la capătul rampelor (locație neagră).
2. Poziționați bila în partea de sus a rampei 1 pe linia orizontală gri.
3. Apăsați butonul A pentru a obține viteza bilei la capătul pantei descendente a rampei 1.
4. Observați demonstrația.
5. Datele de demonstrație sunt introduse în tabelul de rezultate. Consultați datele obținute pentru a le compara cu calculele dumneavoastră.
6. Repetați pașii de la 2 la 5 folosind rampa 2.

Întrebarea A

Cunoscând viteza din partea de jos a fiecărei rampe de coborâre, luând în considerare următorii parametri:

• Lungimea rampelor ascendente: 0,17 m
• Unghiul rampelor ascendente: 45°

Care va fi înălțimea maximă atinsă de fiecare bilă (în m)?

Manipulări B

1. Poziționați bila în partea de sus a rampei 1 pe linia orizontală gri.
2. Apăsați butonul B pentru a obține înălțimea maximă atinsă de bilă după ce a părăsit rampa 1.
3. Observați demonstrația.
4. Datele de demonstrație sunt introduse în tabelul de rezultate. Consultați datele obținute pentru a le compara cu calculele dumneavoastră.
5. Repetați pașii 1 până la 4 folosind rampa 2.

Întrebările B

1. Care rampă va da globului înălțimea maximă?
2. Dacă calculele diferă de datele experimentale, ce factori explică aceste diferențe?

Rezultate anticipate

Aparatul furnizează acești parametri, și fiecare cifră de mai jos decurge din aceștia:

• Lungimea descendentă a ambelor rampă Δx_d = 1,0 m
• Unghiul de descendență al rantei 1, θ_d1 = 15°, deci rampa 1 coboară 1,0 × sin 15° = 0,259 m
• Unghiul de descendență al rantei 2, θ_d2 = 20°, deci rampa 2 coboară 1,0 × sin 20° = 0,342 m
• Lungimea crescătoare a ambelor rampă Δx_a = 0,17 m la θ_a = 45°, astfel încât buza fiecărei rampă se află la înălțimea h₀ = 0.17 × sin 45° = 0.12 m deasupra mesei
• Accelerația datorată gravitației g = 9,8 m/s²

Pasul 1 — viteza la baza fiecărei coborâri. O bilă de marmură care se rostogolește fără să alunece stochează energie cinetică sub două forme simultan, și ambele trebuie achitate din energia potențială pe care o pierde:

mgh = ½mv² + ½Iω², unde I = (2/5)mr² și ω = v/r

Substituirea momentului de inerție și a condiției de rulare reduce termenul rotațional la (1/5)mv², deci mgh = ½mv²² + (1/5)mv² = (7/10)mv². Masa se anulează, iar rearanjarea oferă ecuația de lucru pentru o sferă care se rostogolește pe orice pantă:

v = √(10 g Δx sin θ / 7)

Arătând substituția o dată, pentru rampa 1:

v_d1 = √((10 × 9,8 × 1,0 × sin 15°) / 7) = √((10 × 9,8 × 0,259) / 7) = √3,62 = 1,91 m/s

iar pentru rampa 2, a cărei cădere este de 0,342 m:

v_d2 = √((10 × 9,8 × 0,342) / 7) = √4,79 = 2,19 m/s

Pasul 2 — decelerarea pe secțiunea ascendentă. Aceeași analiză aplicată în urcare oferă accelerația unei sfere care se rostogolește pe un plan înclinat. Aceasta este o constantă, nu depinde de masa sau de raza marmurei și este egală cu cinci șeptimi din accelerația pe care ar resimți-o un bloc care alunecă fără frecare:

a = −(5/7) g sin θ_a = −(5 × 9,8 × sin 45°) / 7 = −4,95 m/s²

Semnul minus indică faptul că accelerația se opune mișcării; factorul $\sin \theta$ reprezintă componenta gravitației de-a lungul pantei; iar 5/7 este din nou penalizarea pentru necesitatea de a încetini atât rotația, cât și translația.

Pasul 3 — viteza la marginea rampei. Cu o accelerație constantă pe o distanță cunoscută, a treia ecuație cinematică oferă viteza cu care bila părăsește rampa:

v_a = √(v_d² + 2 a Δx_a)

v_a1 = √(3.62 + 2 × (−4.95) × 0.17) = √(3.62 − 1.68) = √1.94 = 1,40 m/s

v_a2 = √(4,79 − 1,68) = √3,11 = 1,76 m/s

Pasul 4 — componenta verticală la lansare. Doar partea verticală a acelei viteze poate fi schimbată pe înălțime; partea orizontală duce bila de sticlă deasupra tăvii de aterizare și este încă prezentă în punctul cel mai înalt. La un unghi de lansare de 45°:

v_ai = v_a × sin 45° → v_a1y = 1,40 × 0,707 = 0.99 m/s și v_a2y = 1,76 × 0,707 = 1,25 m/s

Pasul 5 — înălțimea vârfului. Odată ce marmura se află în aer, asupra ei nu acționează niciun cuplu, așa că continuă să se rotească cu orice viteză pe care o avea la margine, iar energia sa rotațională este pur și simplu transportată, fără a lua parte la ascensiune. Aplicând a treia ecuație cinematică doar pentru direcția verticală, cu v = 0 în apex și a = −g, și măsurând de la masă și nu de la margine:

h = h₀ + v_ai² / (2g)

h₁ = 0.12 + 0.99² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,05 = 0,17 m

h₂ = 0.12 + 1.25² / (2 × 9.8) = 0.12 + 0.08 = 0,20 m

De ce rezultatul iese așa. Ambele secțiuni descendente au aceeași lungime, așa că singurul element care le deosebește este unghiul, iar unghiul acționează asupra bilei exclusiv prin căderea verticală Δx sin θ. Rampa 2 are o cădere de 0,342 m, față de 0,259 m în cazul rampei 1, adică cu o treime mai mult, iar deoarece v variază proporțional cu rădăcina pătrată a căderii, acea treime se traduce doar într-un câștig de viteză de 15 % — un memento util că viteza este o funcție mult mai puțin sensibilă la înălțime decât se așteaptă elevii. Acei 15 % sunt apoi reportați pe parcursul urcării, unde ambele rampe au aceeași înălțime fixă de 1,68 m²/s² din v², iar deoarece taxa de trecere este scăzută dintr-un număr mai mic pe rampa 1, aceasta costă proporțional mai mult pentru rampa 1: rampa 1 pierde 27 % din viteză la urcarea pe margine, iar rampa 2 doar 20 %. Prin urmare, rampa 2 ajunge la marginea denivelării cu 26 % mai repede decât rampa 1, o marjă mai mare decât cea pe care o avea la bază. La înălțimea punctului de vârf, acest avantaj se reduce din nou, deoarece cei 0,12 m ai marginii în sine sunt comuni ambelor, iar doar zborul se adaugă la aceasta: 0,05 m față de 0,08 m. Rampa 2 oferă bilei cea mai mare înălțime maximă, iar răspunsul la întrebarea B este că o coborâre mai abruptă câștigă, dar cu mult mai puțin decât ar sugera diferența dintre unghiuri.

Cele două rute coincid exact. Pașii 2 și 3 folosesc un argument cinematic, dar același rezultat reiese doar din energie: (7/10)v_a² = (7/10)v_d² − gΔh cu Δh = 0,17 × sin 45° = 0,12 m dă v_a² = v_d² − 1,68, exact rezultatul pe care îl oferă calea cinematică. Merită să le subliniem acest lucru studenților, deoarece arată că pasul cu accelerație constantă este o comoditate și nu o ipoteză suplimentară, și că calculul ar rămâne neschimbat dacă planurile înclinate ar fi curbate în loc să fie drepte, atât timp cât bila continuă să se rostogolească, iar înălțimile de coborâre și urcare rămân aceleași.

Rezumatul temei pe intervale de note

Clasele a IX-a și a X-a

Concentrare: observație, vocabular și legătura calitativă dintre înălțime, viteză și distanța parcursă. Elevii eliberează bila pe fiecare rampă, privesc ce se întâmplă și exprimă în cuvinte faptul că rampa mai abrupte face ca bila să fie mai rapidă la bază și o trimite mai sus după margine. Cuvintele energie potențială, energie cinetică, rulare și alunecare sunt introduse și utilizate, fără ecuații.

Activități: preziceți care rampă va câștiga înainte de a rula oricare dintre ele și înregistrați predicția; descrieți diferența dintre cele două rulări într-un paragraf scurt; marcați unde aterizează bila în tavă pentru fiecare rampă și comparați; precizați ce măsurători ar trebui efectuate pentru a transforma descrierea într-un număr. Orice calcul la acest nivel se face cu sprijinul profesorului.

Clasa a XI-a

Concentrare: tratament cantitativ. Studenții efectuează ei înșiși calculul complet al celor două viteze și al celor două înălțimi maxime, utilizând conservarea energiei mecanice și a treia ecuație cinematică, și compară fiecare valoare prevăzută cu cea măsurată.

Activități: calculează v_d pentru ambele rampă de la înălțimile de cădere; calculați decelerația pe secțiunea ascendentă și prin urmare v_a și v_ai; să determine ambele înălțimi ale vârfurilor; să compare valorile prevăzute cu cele măsurate și să exprime diferența sub formă de procent; să explice direcția acestei diferențe din perspectiva frecării și a rezistenței aerului, nu doar să o menționeze. Elevii ar trebui să poată explica de ce diferența de 32 % în înălțimea de cădere produce doar o diferență de 15 % în viteză.

Clasa a XII-a / Nivel universitar

Concentrare: deducere, validarea modelului și analiza erorilor. Factorii 10/7 și 5/7 sunt deduși în loc să fie citați, iar ipotezele care stau la baza lor sunt făcute explicite și testate.

Activități: deduceți v = √(10gh/7) din mgh = ½mv² + ½Iω² pentru o sferă solidă și repetă derivarea pentru o sferă sferică goală (I = (2/3)mr²², factorul 6/5) și un cilindru, apoi preziceți cum s-ar schimba rezultatele; arătați că căile energetice și cinematice către v_a sunt identice algebric și explică de ce curbura rampa nu contează prin urmare; identifică separat sursele de erori sistematice și aleatoare și estimează dimensiunea fiecăreia; precizează ce face energie rotațională reținută de la buză la zbor și cuantifică eroare făcută prin ignorarea ei; evaluează dacă o singură rulare per rampă poate susține concluzia trasă și proiectează calendarul de repetiție care ar face-o.

Esențiale de laborator

Instrumente

• Rampa 1 — secțiune descendentă de 1,0 m lungime la 15° (coboară 0,259 m), secțiune ascendentă de 0,17 m la 45°
• Rampa 2 — secțiune descendentă de 1,0 m lungime la 20° (coboară 0,342 m), secțiune ascendentă de 0,17 m la 45°
• Bilă de sticlă (sferă solidă)
• Două porți cu fotodiode pe suporturi, una la baza coborârii și una la capătul rampa
• Cronometru electronic cu afișaj digital, cablat la porți
• Butonul A (viteza la baza coborârii) și butonul B (înălțimea maximă după lansare)
• Tavă de aterizare umplută cu nisip, cu o margine gradată
• Rigla

Produse

• Niciunul — acest laborator nu folosește produse chimice.