106 – Moto rotolante sulle rampe inclinate

Un oggetto che rotola trasporta la sua energia in due posti contemporaneamente, e questo singolo fatto determina quasi ogni numero in questo laboratorio. Le rulliere a gravità nei magazzini, i cuscinetti a sfere, le piste per bob e skateboard e le piste per biglie a gravità usate per insegnare la meccanica dipendono tutte dal sapere quanto velocemente viaggerà un corpo rotolante ai piedi di un pendolo — e un corpo rotolante non arriva mai veloce quanto uno scorrevole rilasciato dalla stessa altezza.

Quando un corpo scivola senza attrito, ogni joule di energia potenziale gravitazionale che cede si trasforma in energia cinetica di traslazione. Quando rotola senza slittare, quella stessa energia deve essere ripartita tra la traslazione e la rotazione, poiché la superficie di contatto esercita la coppia di attrito che fa ruotare il corpo. Per una sfera solida, la quota rotazionale è fissa e pari a due settimi del totale, lasciando solo cinque settimi per spingere la sfera in avanti. Questa è l’origine del fattore 10/7 che ricorre in tutto l’esperimento: sostituisce la nota formula v = √(2gh) del caso di scorrimento con v = √(10gh/7), che risulta circa 15 % più lenta. Poiché la gravità è una forza conservativa, la forma e la lunghezza del pendio sono irrilevanti per quella velocità: conta solo il dislivello verticale.

In questo laboratorio si confrontano due rampe le cui sezioni di discesa sono entrambe lunghe 1,0 m ma scendono con angoli diversi, 15° per la rampa 1 e 20° per la rampa 2, e quindi attraverso altezze diverse. Si prevede la velocità della biglia alla base di ciascuna discesa basandosi unicamente sulla conservazione dell'energia, per poi misurarla con una coppia di fotodiodi e un timer elettronico. Si prevede quindi l'altezza a cui sale la biglia dopo aver lasciato la breve sezione di salita a 45° alla fine di ciascuna rampa, si misura anch'essa e si stabilisce quale delle due geometrie lancia la biglia più in alto, e perché i valori misurati sono leggermente inferiori a quelli previsti.

Obiettivi Educativi

Moto di rotolamento e condivisione dell'energia

• Una sfera che rotola arriva ai piedi di un piano inclinato più lentamente di un blocco che scivola rilasciato dalla stessa altezza perché parte dell'energia potenziale iniziale della sfera viene impiegata per farla ruotare (energia cinetica di rotazione), anziché essere convertita interamente in energia cinetica di traslazione come accade per il blocco. L'energia cinetica di traslazione mancante è andata a finire nell'energia cinetica di rotazione della sfera.
• Riconduci i fattori 10/7 e 5/7 al momento d'inerzia di una sfera piena, I = (2/5)mr²², e la condizione di rotolamento $v = \omega r$.

Previsione basata sulla conservazione dell'energia meccanica

• Usa mgh = ½mv²² + ½Iω² prevedere la velocità della biglia alla base di un piano inclinato basandosi unicamente sull'altezza di caduta, prima che venga effettuata qualsiasi misurazione.
• Riconosci che la previsione dipende solo dal dislivello, in modo tale che la lunghezza della rampa, la curvatura e l'angolo entrano in gioco solo attraverso h = Δx · sin θ.

Cinematica del lancio e del volo

• Calcola la decelerazione di una sfera che rotola su una salita e applica v_a² = v_d² + 2aΔx per calcolare la velocità con cui la biglia lascia la rampa.
• Scomporre quella velocità nelle sue componenti e determinare l'altezza dell'apice del successivo volo libero.

L'influenza della geometria della rampa

• Prevedere e poi verificare che la discesa più ripida produca una maggiore velocità di decollo e una maggiore altezza del punto di massimo inclinazione, quantificandone l'entità.
• Spiega perché, essendo identiche le due sezioni ascendenti, la velocità iniziale è l'unica variabile che determina l'altezza finale.

Misurazione con gate a fotodiodo e un timer elettronico

• Posiziona correttamente i due cancelli, avvia un ciclo premendo il pulsante A o il pulsante B e leggi il valore restituito dal timer.
• Descrivi cosa misura effettivamente lo strumento e cosa si deve sapere sull'apparato prima che tale lettura possa essere trasformata in una velocità.

Confronto tra il modello e i dati di misura

• Quantificare la differenza tra i valori previsti e quelli misurati e spiegarla in termini di resistenza al rotolamento e resistenza aerodinamica.

Protocollo

Introduzione

1. Vogliamo stimare la velocità sul fondo della pendenza discendente di ciascuna rampa per stimare quale rampa darà alla biglia il decollo più alto.
2. Per questo laboratorio vengono utilizzate due rampe diverse:

• La rampa 1 è alta 0,259 m e presenta un angolo di inclinazione di 15°
• La rampa 2 è alta 0,342 m e ha un angolo di inclinazione di 20°

3. Ciascuna delle due rampe può essere suddivisa in due tratti: un tratto in discesa e un tratto in salita.
4. Le due rampe differiscono per l'angolo e l'altezza della loro parte discendente. La lunghezza della parte discendente di entrambe le rampe è di 1 m.
5. La parte ascendente di ciascuna rampa è per il resto identica.

Manipolazioni A

Tenendo conto dei parametri indicati sopra e sapendo che l'accelerazione di gravità è pari a 9,8 m/s, calcola la velocità alla base di ciascuna rampa discendente (in m/s).

1. Posizionare uno dei sensori del cronometro sulla piccola tavola collocata all'estremità del tratto discendente delle rampe (posizione bianca). Posizionare il secondo sensore sull'altra piccola tavola collocata all'estremità delle rampe (posizione nera).
2. Posiziona la biglia in cima alla rampa 1 sulla linea orizzontale grigia.
3. Premere il pulsante A per ottenere la velocità della biglia alla fine della discesa della rampa 1.
4. Osserva la dimostrazione.
5. I dati di esempio sono riportati nella tabella dei risultati. Consulta i dati ottenuti per confrontarli con i tuoi calcoli.
6. Ripeti i passaggi da 2 a 5 usando la rampa 2.

Domanda A

Conoscendo la velocità alla base di ciascuna rampa in discesa, tenendo conto dei seguenti parametri:

• Lunghezza delle rampe ascendenti: 0,17 m
• Angolo delle rampe di salita: 45°

Quale sarà l'altezza massima raggiunta da ciascuna biglia (in m)?

Manipolazioni B

1. Posiziona la biglia in cima alla rampa 1 sulla linea orizzontale grigia.
2. Premere il pulsante B per ottenere l'altezza massima raggiunta dalla biglia dopo il decollo dalla rampa 1.
3. Osserva la dimostrazione.
4. I dati di esempio sono riportati nella tabella dei risultati. Consulta i dati ottenuti per confrontarli con i tuoi calcoli.
5. Ripetere i passaggi da 1 a 4 utilizzando la rampa 2.

Domande B

1. Quale rampa consentirà alla biglia di raggiungere la massima altezza?
2. Se i calcoli differiscono dai dati sperimentali, quali fattori spiegano tali differenze?

Risultati Previsti

L'apparato fornisce questi parametri, e tutte le figure riportate di seguito ne derivano:

• Lunghezza di discesa di entrambe le rampe Δx_d 1,0 m
• Angolo di discesa della rampa 1, θ_d1 = 15°, quindi la rampa 1 ha un dislivello pari a 1,0 × sin 15° = 0,259 m
• Angolo di discesa della rampa 2, θ_d2 = 20°, quindi la rampa 2 ha un dislivello pari a 1,0 × sin 20° = 0,342 m
• Lunghezza di salita di entrambe le rampe Δx_a = 0,17 m a θ_a = 45°, quindi il bordo di ciascuna rampa si trova a h₀ = 0,17 × sin 45° = 0,12 m sopra il tavolo
• Accelerazione di gravità g = 9,8 m/s²

Passo 1 — velocità alla base di ogni discesa. Una biglia che rotola senza scivolare immagazzina energia cinetica in due forme contemporaneamente, ed entrambe devono essere compensate dall’energia potenziale che essa cede:

mgh = ½mv² + ½Iω², con I = (2/5)mr² e ω = v/r

Sostituendo il momento d'inerzia e la condizione di rotolamento, il termine rotazionale si riduce a (1/5)mv², quindi mgh = ½mv² + (1/5)mv² = (7/10)mv². La massa si elide e il riordinamento fornisce l'equazione di lavoro per una sfera che rotola su qualsiasi piano inclinato:

v = √(10 g Δx sin θ / 7)

Mostrando la sostituzione una volta, per la rampa 1:

v_d1 = √((10 × 9,8 × 1,0 × sin 15°) / 7) = √((10 × 9,8 × 0,259) / 7) = √3,62 = 1,91 m/s

e per la rampa 2, il cui dislivello è pari a 0,342 m:

v_d2 = √((10 × 9,8 × 0,342) / 7) = √4,79 = 2,19 m/s

Passaggio 2 — decelerazione sul tratto in salita. La stessa analisi eseguita in salita fornisce l'accelerazione di una sfera che rotola su un piano inclinato. È una costante, non dipende dalla massa o dal raggio della biglia ed è pari a cinque settimi di quella che subirebbe un blocco in scorrimento senza attrito:

a = −(5/7) g sin θ_a = −(5 × 9,8 × sin 45°) / 7 = −4,95 m/s²

Il segno meno indica che l'accelerazione si oppone al moto; il fattore $\sin\theta$ è la componente della gravità lungo il piano inclinato; il 5/7 è nuovamente la penalità per dover rallentare la rotazione oltre alla traslazione.

Fase 3: velocità al bordo della rampa. Con un'accelerazione costante su una distanza nota, la terza equazione cinematica fornisce la velocità con cui la biglia lascia la rampa:

v_a = √(v_d² + 2 a Δx_a)

v_a1 = √(3,62 + 2 × (−4,95) × 0,17) = √(3,62 − 1,68) = √1,94 = 1,40 m/s

v_a2 = √(4.79 − 1.68) = √3.11 = 1,76 m/s

Fase 4: la componente verticale al lancio. Solo la componente verticale di quella velocità può essere convertita in altezza; la componente orizzontale trasporta la biglia oltre il vassoio di arrivo ed è ancora presente nel punto più alto. Con un angolo di lancio di 45°:

v_ehi = v_a × sin 45° → v_a1y = 1,40 × 0,707 = 0,99 m/s e v_a2y = 1,76 × 0,707 = 1,25 m/s

Passaggio 5 — l'altezza del vertice. Una volta che il marmo è in aria, nessun momento torcente agisce su di esso, quindi continua a girare alla velocità che aveva sul bordo e la sua energia rotazionale viene semplicemente trasportata, senza prendere parte alla salita. Applicando la terza equazione cinematica alla sola direzione verticale, con v = 0 all'apice e a = −g, e misurando dal tavolo anziché dal bordo:

h = h₀ + v_ehi² / (2g)

h₁ = 0.12 + 0.99² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,05 = 0,17 m

h₂ = 0.12 + 1.25² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,08 = 0,20 m

Perché il risultato viene fuori in questo modo. Entrambe le sezioni discendenti hanno la stessa lunghezza, quindi l’unica cosa che le distingue è l’angolo, e l’angolo agisce sulla biglia esclusivamente attraverso la caduta verticale Δx sin θ. La rampa 2 presenta una caduta di 0,342 m contro i 0,259 m della rampa 1, ovvero un terzo in più, e poiché v varia in proporzione alla radice quadrata della caduta, quel terzo in più si traduce solo in un aumento di velocità pari a 15 % — un utile promemoria del fatto che la velocità è una funzione dell’altezza molto meno sensibile di quanto gli studenti si aspettino. Quel 15 % viene poi mantenuto durante la salita, dove entrambe le rampe comportano lo stesso dislivello fisso di 1,68 m²/s² fuori da v², e poiché il pedaggio viene sottratto da un numero inferiore sulla rampa 1, questa ne risente proporzionalmente di più: la rampa 1 perde 27 % della sua velocità durante la salita sul bordo, mentre la rampa 2 ne perde solo 20 %. La rampa 2 arriva quindi al bordo 26 % più velocemente della rampa 1, con un margine maggiore rispetto a quello che aveva alla base. All’altezza dell’apice tale vantaggio si riduce nuovamente, poiché i 0,12 m del bordo stesso sono comuni a entrambe e solo la corsa si aggiunge ad essi: 0,05 m contro 0,08 m. La rampa 2 conferisce alla biglia la maggiore altezza massima, e la risposta alla domanda B è che una discesa più ripida vince, ma in misura notevolmente inferiore a quanto la differenza tra gli angoli lascerebbe supporre.

I due percorsi concordano esattamente. I passaggi 2 e 3 utilizzano un argomento cinematico, ma la stessa risposta deriva unicamente dall'energia: (7/10)v_a² = (7/10)v_d² − gΔh con Δh = 0,17 × sin 45° = 0,12 m dà v_a² = v_d² − 1,68, che è esattamente ciò che restituisce il percorso cinematico. Vale la pena farlo notare agli studenti, perché mostra che il passaggio dell'accelerazione costante è una comodità piuttosto che un'ipotesi aggiuntiva, e che il calcolo rimarrebbe invariato se le rampe fossero curve anziché dritte, purché la biglia continui a rotolare e le altezze di discesa e salita rimangano inalterate.

Riepilogo del compito per intervallo di voti

Classe 9-10

Concentrazione: osservazione, vocabolario e il legame qualitativo tra altezza, velocità e distanza percorsa. Gli studenti lasciano andare la marcia su ogni rampa, osservano cosa succede e traducono in parole il fatto che la rampa più ripida rende la marcia più veloce in basso e la fa viaggiare più lontano dopo il bordo. Le parole energia potenziale, energia cinetica, rotolamento e scivolamento vengono introdotte e utilizzate, senza le equazioni.

Attività: predici quale rampa vincerà prima di far partire entrambe e registra la previsione; descrivi la differenza tra le due corse in un breve paragrafo; segna dove si ferma la pallina nel vassoio per ciascuna rampa e confronta; indica quali misurazioni bisognerebbe prendere per trasformare la descrizione in un numero. Qualsiasi calcolo a questo livello viene fatto con il supporto del docente.

Undicesimo anno

Concentrazione: trattamento quantitativo. Gli studenti eseguono autonomamente il calcolo completo delle due velocità e delle due altezze di culmine, utilizzando la conservazione dell'energia meccanica e la terza equazione cinematica, e confrontano ciascun valore previsto con quello misurato.

Attività: calcola v_d per entrambe le rampe dalle altezze di caduta: calcolare la decelerazione sulla sezione ascendente e di conseguenza v_a e v_ehi; calcolare entrambe le altezze apicali; mettere in tabella i valori previsti rispetto a quelli misurati ed esprimere la differenza in percentuale; spiegare la direzione di tale differenza in termini di attrito e resistenza dell’aria, anziché limitarsi a rilevarla. Gli studenti dovrebbero essere in grado di spiegare perché una differenza di 32 % nell’altezza di caduta produca solo una differenza di 15 % nella velocità.

12ª classe / Livello universitario

Concentrazione: derivazione, validazione del modello e analisi degli errori. I fattori 10/7 e 5/7 sono derivati anziché citati, e le ipotesi alla base di essi sono rese esplicite e testate.

Attività: derivare v = √(10gh/7) da mgh = ½mv² + ½Iω² per una sfera piena e ripetere la derivazione per una sfera cava (I = (2/3)mr², fattore 6/5) e un cilindro, quindi prevedere come cambierebbero i risultati; mostrare che i percorsi energetico e cinematico per v_a sono algebricamente identici e spiegano perché la curvatura della rampa non ha quindi importanza; identificare separatamente le fonti di errore sistematico e casuale e stimare la dimensione di ciascuna; dichiarare cosa fa l'energia rotazionale trattenuta sul bordo al volo e quantificare l'errore commesso ignorandola; valutare se una singola esecuzione per rampa possa supportare la conclusione tratta e progettare il programma di ripetizione che lo farebbe.

Materiale essenziale di laboratorio

Strumenti

• Rampa 1 — sezione in discesa lunga 1,0 m a 15° (dislivello 0,259 m), sezione in salita di 0,17 m a 45°
• Rampa 2 — sezione in discesa lunga 1,0 m a 20° (dislivello 0,342 m), sezione in salita di 0,17 m a 45°
• Sfera di marmo
• Due barriere a fotodiodo su supporto, una ai piedi della discesa e una alla fine della rampa
• Timer elettronico con display digitale, cablato ai cancelli
• Pulsante A (velocità ai piedi della discesa) e pulsante B (altezza massima dopo il lancio)
• Vassoio di atterraggio riempito di sabbia con un bordo graduato
• Righello

Prodotti

• Nessuno: questo laboratorio non utilizza prodotti chimici.