106 – Valivý pohyb na nakloněné rovině

Rotující objekt nese svou energii na dvou místech současně a tento jediný fakt určuje téměř každé číslo v této laboratoři. Gravitační válečkové dopravníky ve skladech, kuličková ložiska, bobové a skateboardové dráhy i gravitační dráhy pro kuličky používané k výuce mechaniky – ti všichni závisí na znalosti toho, jak rychle se bude pohybující se těleso pohybovat na úpatí svahu – a rotující těleso nikdy nedorazí tak rychle jako klouzající těleso uvolněné ze stejné výšky.

Když se těleso klouže bez tření, každý joule gravitační potenciální energie, o který přijde, se přemění na kinetickou energii pohybu. Když se těleso valí bez prokluzu, musí se tato energie rozdělit i na rotaci, protože kontaktní plocha vyvíjí třecí moment, který těleso uvádí do otáčení. U pevné koule činí podíl rotační energie pevnou hodnotu dvou sedmin celkové energie, takže na pohyb koule vpřed zbývá pouze pět sedmin. To je původ faktoru 10/7, který se táhne celým laboratorním cvičením: nahrazuje známý vzorec v = √(2gh) pro případ klouzání vzorcem v = √(10gh/7), což je asi o 15 % pomalejší. Jelikož je gravitace konzervativní síla, tvar a délka svahu nemají na tuto rychlost žádný vliv — záleží pouze na výškovém rozdílu.

V této laboratoři porovnáváte dvě rampy, jejichž klesající části jsou dlouhé 1,0 m, ale klesají pod různými úhly, 15° u rampy 1 a 20° u rampy 2, a proto klesají do různých výšek. Pomocí samotného zákona zachování energie předpovíte rychlost kuličky na úpatí každého klesání a poté ji změřte pomocí dvojice fotodiodových bran a elektronického časovače. Poté předpovíte, jak vysoko kulička vyjede poté, co opustí krátkou 45° stoupající část na konci každé rampy, také to změřte a rozhodnete, která ze dvou geometrií vymrští kuličku výše — a proč naměřené hodnoty zaostávají za těmi předpovězenými.

Vzdělávací cíle

Valivý pohyb a sdílení energie

• Když se kulička valí po svahu dolů, část její potenciální energie se přeměňuje na rotační kinetickou energii (protože se otáčí), zatímco klouzající blok nemá žádnou rotaci a veškerá jeho potenciální energie se přeměňuje pouze na translační (pohybovou) kinetickou energii. Protože kulička investuje část energie do otáčení, zbývá jí méně energie na lineární pohyb vpřed, a proto dorazí na úpatí svahu pomaleji. Chybějící translační kinetická energie se neztratila, ale přeměnila se na rotační kinetickou energii valící se kuličky.
• Odvoďte faktory 10/7 a 5/7 ze setrvačníku plné koule, I = (2/5)mr², a podmínka odvalování v = ωr.

Předpověď z zákona zachování mechanické energie

• Použijte mgh = ½mv²² + ½Iω² předpovědět rychlost kuličky na úpatí svahu pouze z výšky pádu, ještě před provedením jakéhokoli měření.
• Uvědomte si, že výpočet závisí pouze na výškovém rozdílu, takže délka rampy, její zakřivení a úhel se promítají pouze prostřednictvím vztahu h = Δx · sin θ.

Kinematika startu a letu

• Vypočítejte zpomalení koule valící se po svahu nahoru a dosadte v_a² = v_d² + 2aΔx, abychom zjistili rychlost, s jakou kulička opouští rampu.
• Rozložte tuto rychlost na složky a vypočítejte výšku vrcholu následujícího volného letu.

Vliv geometrie nájezdu

• Předpovězte a poté potvrďte, že strmější klesání vede k větší počáteční rychlosti a větší výšce vrcholu, a vyčíslete o kolik.
• Vysvětlete, proč jsou obě stoupající části totožné, a proto je počáteční rychlost jedinou proměnnou, která určuje konečnou výšku.

Měření s fotodiodovými bránami a elektronickým časovačem

• Umístěte obě brány správně, spusťte běh tlačítkem A nebo B a přečtěte si hodnotu, kterou vrátí časovač.
• Popište, co přístroj vlastně měří a co je třeba o něm vědět, než bude možné naměřenou hodnotu převést na rychlost.

Porovnání modelu s naměřenými hodnotami

• Vyčíslete rozdíl mezi předpovězenými a naměřenými hodnotami a zohledněte jej z hlediska valivého odporu a odporu vzduchu.

Protokol

Úvod

1. Chceme odhadnout rychlost na konci klesající části každé rampy, abychom odhadli, která rampa dá kuličce nejvyšší odlehlost.
2. Pro toto laboratorní cvičení jsou použity dvě různé rampy:

• Rampa 1 je vysoká 0,259 m a má sklon 15 stupňů
• Rampa 2 je vysoká 0,342 m a má úhel sklonu 20°

3. Každá ze dvou ramp může být rozložena na dvě části: sestupnou část a výstupní část.
4. Obě rampy se liší úhlem a výškou klesající části. Délka klesající části obou ramp činí 1 m.
5. Vzestupná část každé rampy je jinak totožná.

Manipulace A

S ohledem na výše uvedené parametry a s vědomím, že zrychlení způsobené gravitací je 9,8 m/s, odhadněte rychlost na spodní části každé klesající rampy (v m/s).

1. Umístěte jeden ze senzorů stopek na malou desku umístěnou na konci sjezdové dráhy ramp (bílé místo). Umístěte druhý senzor na druhou malou desku umístěnou na konci ramp (černé místo).
2. Umístěte kuličku na vrchol rampy 1 na šedou vodorovnou čáru.
3. Stiskněte tlačítko A pro získání rychlosti kuličky na konci klesající dráhy rampy 1.
4. Pozorujte demonstraci.
5. Demonstrační data jsou zadána do tabulky výsledků. Prohlédněte si získaná data, abyste je mohli porovnat se svými výpočty.
6. Zopakujte kroky 2 až 5 s rampou 2.

Otázka A

Znáte-li rychlost ve spodní části každé klesající rampy, s ohledem na následující parametry:

• Délka stoupajících ramp: 0,17 m
• Úhel stoupajících ramp: 45°

Jaká bude maximální výška, které dosáhne každý z kuliček (v m)?

Manipulace B

1. Umístěte kuličku na vrchol rampy 1 na šedou vodorovnou čáru.
2. Stiskněte tlačítko B, abyste dosáhli maximální výšky, kterou kámen dosáhne po odrazu z rampy 1.
3. Pozorujte demonstraci.
4. Demonstrační data jsou zadána do tabulky výsledků. Prohlédněte si získaná data, abyste je mohli porovnat se svými výpočty.
5. Zopakujte kroky 1 až 4 s využitím rampy 2.

Otázky B

1. Která rampa dodá kuličce maximální výšku?
2. Pokud se výpočty liší od experimentálních dat, jaké faktory tyto rozdíly vysvětlují?

Předvídané výsledky

Přístroj poskytuje tyto parametry a všechny níže uvedené hodnoty z nich vyplývají:

• Délka klesání obou ramp Δx_d = 1,0 m
• Úhel sklonu rampy 1, θ_d1 = 15°, takže sklon 1 činí 1,0 × sin 15° = 0,259 m
• Úhel sklonu rampy 2, θ_d2 = 20°, takže výška rampy 2 činí 1,0 × sin 20° = 0,342 m
• Délka stoupání obou ramp Δx_a = 0,17 m při θ_a = 45°, takže okraj každé rampy leží ve výšce h₀ = 0,17 × sin 45° = 0,12 m nad stolem
• Tíhové zrychlení g = 9,8 m/s²

Krok 1 – rychlost na úpatí každého sjezdu. Kulička, která se kutálí, aniž by klouzala, akumuluje kinetickou energii hned ve dvou formách a obě musí být uhrazeny z potenciální energie, kterou přitom ztrácí:

mgh = ½mv² + ½Iω², kde I = (2/5)mr² a ω = v/r

Dosazením momentu setrvačnosti a podmínky valení se rotační člen zjednoduší na (1/5)mv², takže mgh = ½mv² + (1/5)mv² = (7/10)mv². Hmotnosti se navzájem ruší a po přeskupení dostaneme pracovní rovnici pro kutálející se kouli na libovolném svahu:

v = √(10 g Δx sin θ / 7)

Ukázka dosazení pro rampu 1:

v_d1 = √((10 × 9,8 × 1,0 × sin 15°) / 7) = √((10 × 9,8 × 0,259) / 7) = √3,62 = 1.91 m/s

a pro rampu 2, jejíž převýšení činí 0,342 m:

v_d2 = √((10 × 9,8 × 0,342) / 7) = √4,79 = 2,19 m/s

Krok 2 – zpomalení na stoupající části. Stejná analýza provedená do svahu dává zrychlení kuličky valící se po nakloněné rovině. Je to konstanta, nezávisí na hmotnosti ani poloměru kuličky a je rovna pěti sedminám toho, co by zažíval blok klouzající bez tření:

a = −(5/7) g sin θ_a = −(5 × 9,8 × sin 45°) / 7 = −4,95 m/s²

Minusové znaménko říká, že zrychlení působí proti směru pohybu; faktor $\sin \theta$ je složka gravitace podél svahu; 5/7 je opět daň za to, že musíme zpomalovat jak rotaci, tak posuvný pohyb.

Krok 3 – rychlost na hraně rampy. Při konstantním zrychlení na známé dráze dává třetí kinematická rovnice rychlost, s jakou kulička opouští rampu:

v_a = √(v_d² + 2 a Δx_a)

v_a1 = √(3,62 + 2 × (−4,95) × 0,17) = √(3,62 − 1,68) = √1,94 = 1,40 m/s

v_a2 = √(4,79 − 1,68) = √3,11 = 1.76 m/s

Krok 4 – vertikální složka při startu. Za výšku lze směnit pouze vertikální složku této rychlosti; horizontální složka nese kuličku nad přistávací misku a na vrcholu je stále přítomna. Při úhlu vystřelení 45°:

v_aj = v_a × sin 45° → v_a1y = 1,40 × 0,707 = 0,99 m/s a v_a2y = 1,76 × 0,707 = 1,25 m/s

Krok 5 – výška vrcholu. Jakmile se kulička ocitne ve vzduchu, nepůsobí na ni žádný točivý moment, a tak se dále otáčí stejnou rychlostí, jakou měla na okraji, a její rotační energie je pouze přenášena dál, aniž by se podílela na stoupání. Použijeme-li třetí kinematickou rovnici pouze ve svislém směru, s v = 0 v nejvyšším bodě a a = −g, a měříme-li od stolu namísto od okraje:

h = h₀ + v_aj² / (2 g)

h₁ = 0.12 + 0.99² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,05 = 0,17 m

h₂ = 0.12 + 1.25² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,08 = 0,20 m

Množství	Rampa 1	Nájezd 2
Sestupná délka	1,0 m	1,0 m
Úhel sestupu	15°	20°
Výškový rozdíl sestupu	0,259 m	0,342 m
Vzestupná délka	0,17 m	0,17 m
Úhel stoupání	45°	45°
Rychlost na úpatí sjezdu	1.91 m/s	2,19 m/s
Rychlost na hraně stoupání	1,40 m/s	1.76 m/s
Vertikální rychlost na okraji	0,99 m/s	1,25 m/s
Výška vrcholu nad stolem	0,17 m	0,20 m

Proč je výsledek právě takový. Obě sestupné úseky mají stejnou délku, takže se liší pouze úhlem, který na kuličku působí výhradně prostřednictvím svislého poklesu Δx sin θ. Rampa 2 má pokles 0,342 m oproti 0,259 m u rampy 1, tedy o třetinu více, a jelikož se rychlost v mění jako druhá odmocnina výškového rozdílu, tato třetina představuje pouze nárůst rychlosti o 15 % — což je užitečná připomínka toho, že rychlost je mnohem méně citlivá funkce výšky, než studenti očekávají. Těchto 15 % se pak přenese do stoupání, kde obě rampy vyžadují stejný pevný výškový rozdíl 1,68 m²/s² z v², a protože se mýtné odečítá od menšího čísla na rampě 1, stojí to rampu 1 úměrně více: rampa 1 ztratí při stoupání na hranu 27 % své rychlosti, rampa 2 pouze 20 %. Rampa 2 proto dorazí k okraji o 26 % rychleji než rampa 1, což je větší náskok, než měla na dně. Ve výšce vrcholu se tato výhoda opět zmenší, protože 0,12 m samotného okraje je společné pro obě rampy a k tomu se přidává pouze délka letu: 0,05 m proti 0,08 m. Rampa 2 dodává kuličce větší maximální výšku, a odpověď na otázku B zní, že vítězí strmější sestup, avšak s výrazně menším rozdílem, než by naznačoval rozdíl v úhlech.

Obě trasy se přesně shodují. V krocích 2 a 3 se používá kinematický argument, ale ke stejnému výsledku lze dospět i pouze na základě energie: (7/10)v_a² = (7/10)v_d² − gΔh, kde Δh = 0,17 × sin 45° = 0,12 m, dává v_a² = v_d² − 1,68, což je přesně výsledek, který dostaneme kinematickou metodou. Na to je dobré studenty upozornit, protože to ukazuje, že krok s konstantním zrychlením je spíše praktickým zjednodušením než dodatečným předpokladem a že výpočet by zůstal nezměněn i v případě, že by rampy byly zakřivené namísto rovných, pokud by kulička stále valila a výšky pádu a stoupání by se nezměnily.

Shrnutí úkolů podle věkové kategorie

9. až 10. ročník

Zaměření pozorování, slovní zásoba a kvalitativní souvislost mezi výškou, rychlostí a ujetou vzdáleností. Studenti uvolní kuličku na každé rampě, sledují, co se stane, a vyjádří slovy, že strmější rampa činí kuličku dole rychlejší a vyšle ji výše za hranu. Slova potenciální energie, kinetická energie, rolování a klouzání jsou představeny a používány, bez rovnic.

Aktivity: předpovězte, která rampa vyhraje, ještě než některou z nich spustíte, a zaznamenejte předpověď; popište rozdíl mezi oběma jízdami v krátkém odstavci; označte, kam kulička v tácku dopadne u každé rampy, a porovnejte; uveďte, jaká měření by bylo nutné provést, aby se popis proměnil v číslo. Jakýkoli výpočet na této úrovni se provádí s podporou učitele.

11. ročník

Zaměření kvantitativní zpracování. Studenti provádějí kompletní výpočet obou rychlostí a obou výšek vrcholů sami, za použití zákona zachování mechanické energie a třetí kinematické rovnice, a porovnávají každou předpověděnou hodnotu s naměřenou.

Aktivity: vypočítat v_d pro obě rampy z výšek pádu spočtěte zpomalení na vzestupné části a odtud v_a a v_aj; zjistit výšky obou vrcholů; sestavit tabulku, ve které budou uvedeny předpovězené a naměřené hodnoty, a vyjádřit rozdíl v procentech; vysvětlit směr tohoto rozdílu z hlediska tření a odporu vzduchu, nikoli jej pouze uvést. Žáci by měli být schopni vysvětlit, proč rozdíl ve výšce pádu 32 % vede pouze k rozdílu v rychlosti 15 %.

12. ročník / Úroveň college

Zaměření odvození, validace modelu a analýza chyb. Faktory 10/7 a 5/7 jsou odvozeny, nikoli pouze převzaty, a předpoklady, na nichž jsou založeny, jsou explicitně formulovány a testovány.

Aktivity: odvoďte v = √(10gh/7) z mgh = ½mv² + ½Iω² pro plnou kouli a zopakujte odvození pro dutou kouli (I = (2/3)mr²², koeficient 6/5) a válec, a poté předpovězte, jak by se výsledky změnily; ukažte, že energetická a kinematická cesta k v_a jsou algebraicky totožné a vysvětlete, proč na zakřivení rampy proto nezáleží; odděleně identifikujte zdroje systematických a náhodných chyb a odhadněte velikost každé z nich; uveďte, co ponechaná rotační energie na hraně dělá s letem, a vyčíslete chybu způsobenou jejím zanedbáním; posuďte, zda jediný pokus na rampu může podpořit vyvozený závěr, a navrhněte harmonogram opakování, který by to dokázal.

Laboratorní potřeby

Nástroje

• Rampa 1 – klesající úsek dlouhý 1,0 m se sklonem 15° (výškový pokles 0,259 m), stoupající úsek 0,17 m s 45°
• Rampa 2 – klesající úsek 1,0 m dlouhý pod úhlem 20° (klesá o 0,342 m), stoupající úsek 0,17 m pod úhlem 45°
• Mramorová kulička (plná koule)
• Dvě fotodiody na stojičkách, jedna na úpatí svahu a druhá na konci rampy
• Elektronický časovač s digitálním displejem, připojený k bráně kabelově
• Tlačítko A (rychlost na úpatí klesání) a tlačítko B (maximální výška po odrazu)
• Pískem plněná přistávací miska s odstupňovaným okrajem
• Pravítko

Produkty

• Žádné — tato laboratoř nepoužívá žádné chemické produkty.