106 – Movimiento de rodadura en rampas inclinadas

Un objeto que rueda lleva su energía en dos lugares a la vez, y ese único hecho determina casi todos los números en este laboratorio. Los transportadores de rodillos por gravedad en los almacenes, los rodamientos de bolas, las pistas de bobsleigh y monopatín, y los circuitos de canicas alimentados por gravedad utilizados para enseñar mecánica, dependen todos de saber qué tan rápido viajará un cuerpo rodante al pie de una pendiente, y un cuerpo rodante nunca llega tan rápido como uno que se desliza liberado desde la misma altura.

Cuando un cuerpo se desliza sin fricción, cada joule de energía potencial gravitatoria que cede se convierte en energía cinética de traslación. Cuando rueda sin deslizarse, esa misma energía debe repartirse con la rotación, ya que la superficie de contacto ejerce el par de fricción que hace girar al cuerpo. En el caso de una esfera sólida, la parte correspondiente a la rotación es fija: dos séptimas partes del total, lo que deja solo cinco séptimas para impulsar la esfera hacia delante. Este es el origen del factor 10/7 que se aplica en todo el laboratorio: sustituye la conocida fórmula v = √(2gh) del caso de deslizamiento por v = √(10gh/7), lo que supone una velocidad aproximadamente un 15 % menor. Dado que la gravedad es una fuerza conservativa, la forma y la longitud de la pendiente son irrelevantes para esa velocidad; solo importa la caída vertical.

En este laboratorio se comparan dos rampas cuyas secciones descendentes tienen una longitud de 1,0 m, pero descienden con ángulos diferentes, de 15° para la rampa 1 y de 20° para la rampa 2, y por lo tanto a través de alturas distintas. Predecirás la velocidad de la canica al pie de cada descenso basándote únicamente en la conservación de la energía, para luego medirla con un par de puertas de fotodiodos y un cronómetro electrónico. A continuación, predecirás qué altura alcanza la canica después de abandonar la corta sección ascendente de 45° al final de cada rampa, medirás también dicha altura y decidirás cuál de las dos geometrías lanza la canica más alto —y por qué los valores medidos quedan un poco por debajo de los previstos—.

Objetivos Educativos

Movimiento de rodadura y el intercambio de energía

• Un esfera que rueda llega al pie de una pendiente más lentamente que un bloque que desliza desde la misma altura porque parte de la energía potencial gravitatoria de la esfera se invierte en dotarla de energía cinética de rotación, además de la de traslación; por lo tanto, tiene menos energía cinética de traslación disponible para su movimiento lineal que el bloque, el cual convierte toda su energía potencial exclusivamente en energía cinética de traslación. La energía cinética "faltante" (o que no se ha destinado a la traslación) no se ha perdido, sino que se ha transformado en energía cinética de rotación (momento angular de giro sobre su propio eje).
• Rastrea los factores 10/7 y 5/7 hasta el momento de inercia de una esfera sólida, I = (2/5)mr², y la condición de rodadura v = ωr.

Predicción a partir de la conservación de la energía mecánica

• Usa mgh = ½mv²² + ½Iω² predecir la velocidad de la canica al pie de un plano inclinado a partir únicamente de la altura de caída, antes de realizar cualquier medición.
• Reconoce que la predicción depende únicamente de la caída vertical, de modo que la longitud de la rampa, la curvatura y el ángulo intervienen únicamente a través de h = Δx · sin θ.

Cinemática del lanzamiento y del vuelo

• Calcular la desaceleración de una esfera rodante en una pendiente ascendente y aplicar v_a² = v_d² + 2aΔx para encontrar la velocidad a la que la canica abandona la rampa.
• Resuelve esa velocidad en componentes y encuentra la altura máxima del vuelo libre subsiguiente.

La influencia de la geometría de la rampa

• Predice y luego confirma que el descenso más pronunciado produce la mayor velocidad de salida y la mayor altura máxima, y cuantifica en cuánto.
• Explique por qué las dos secciones ascendentes, al ser idénticas, hacen que la velocidad inicial sea la única variable que determina la altura final.

Medición con barreras de fotodiodo y un cronómetro electrónico

• Coloca las dos puertas correctamente, inicia una ejecución con el botón A o el botón B, y lee el valor que devuelve el temporizador.
• Describa lo que el instrumento mide realmente y qué se debe saber sobre el aparato antes de que esa lectura pueda convertirse en una velocidad.

Comparación del modelo con la medición

• Cuantifique la diferencia entre los valores previstos y medidos y explíquela en función de la resistencia a la rodadura y la resistencia al aire.

Protocolo

Introducción

1. Queremos estimar la velocidad en la parte inferior de la rampa descendente de cada pista para estimar cuál pista dará a la canica el mayor impulso.
2. Se usan dos rampas diferentes para este laboratorio:

• La rampa 1 tiene 0.259 m de altura y un ángulo de inclinación de 15°
• La rampa 2 tiene una altura de 0.342 m y un ángulo de inclinación de 20°

3. Cada una de las dos rampas puede dividirse en dos partes: una descendente y una ascendente.
4. Las dos rampas difieren con respecto al ángulo y la altura de su porción descendente. La longitud de la porción descendente de ambas rampas es de 1 m.
5. La parte ascendente de cada rampa es idéntica en lo demás.

Manipulaciones A

Considerando los parámetros proporcionados anteriormente y sabiendo que la aceleración debida a la gravedad es de 9.8 m/s, estima la velocidad en la parte inferior de cada rampa descendente (en m/s).

1. Coloca un sensor del cronómetro en la pequeña tabla situada al final de la rampa descendente (ubicación blanca). Coloca el segundo sensor en la otra pequeña tabla situada al final de las rampas (ubicación negra).
2. Coloca la canica en la parte superior de la rampa 1 sobre la línea horizontal gris.
3. Presiona el botón A para obtener la velocidad de la canica al final de la rampa descendente 1.
4. Observe la demostración.
5. Los datos de la demostración se ingresan en la tabla de resultados. Consulte los datos obtenidos para compararlos con sus cálculos.
6. Repite los pasos 2 a 5 usando la rampa 2.

Pregunta A

Sabiendo la velocidad en el fondo de cada rampa descendente, considerando los siguientes parámetros:

• Longitud de las rampas ascendentes: 0.17 m
• Ángulo de rampas ascendentes: 45°

¿Cuál será la altura máxima alcanzada por cada canica (en m)?

Manipulaciones B

1. Coloca la canica en la parte superior de la rampa 1 sobre la línea horizontal gris.
2. Presiona el botón B para obtener la altura máxima alcanzada por la canica después de despegar de la rampa 1.
3. Observe la demostración.
4. Los datos de la demostración se ingresan en la tabla de resultados. Consulte los datos obtenidos para compararlos con sus cálculos.
5. Repite los pasos 1 a 4 usando la rampa 2.

Preguntas B

1. ¿Qué rampa le dará a la canica su altura máxima?
2. Si los cálculos son diferentes de los datos experimentales, ¿qué factores explican estas diferencias?

Resultados esperados

El aparato suministra estos parámetros, y cada cifra a continuación se deriva de ellos:

• Longitud descendente de ambas rampas Δx_d = 1,0 m
• Ángulo de descenso de la rampa 1, θ_d1 = 15°, por lo que la rampa 1 baja 1.0 × sin 15° = 0.259 m
• Ángulo descendente de la rampa 2, θ_D2 = 20°, por lo que la rampa 2 baja 1.0 × sin 20° = 0.342 m
• Longitud ascendente de ambas rampas Δx_a = 0,17 m en θ_a = 45°, por lo que el borde de cada rampa se sitúa a una altura h₀ = 0.17 × sin 45° = 0.12 m por encima de la mesa
• Aceleración debida a la gravedad g = 9,8 m/s²

Paso 1: velocidad al pie de cada descenso. Una canica que rueda sin deslizar almacena energía cinética en dos formas a la vez, y ambas deben pagarse con la energía potencial que pierde:

mgh = ½mv²² + ½Iω², con I = (2/5)mr² y ω = v/r

Sustituyendo el momento de inercia y la condición de rodadura, el término rotacional se reduce a (1/5)mv², por lo que mgh = ½mv² + (1/5)mv² = (7/10)mv². La masa se cancela y, al reorganizar, se obtiene la ecuación de trabajo para una esfera rodante en cualquier pendiente:

v = √(10 g Δx sin θ / 7)

Mostrando la sustitución una vez, para la rampa 1:

v_d1 = √((10 × 9,8 × 1,0 × sin 15°) / 7) = √((10 × 9,8 × 0,259) / 7) = √3,62 = 1,91 m/s

y para la rampa 2, cuya caída es de 0,342 m:

v_D2 = √((10 × 9,8 × 0,342) / 7) = √4,79 = 2,19 m/s

Paso 2: desaceleración en la sección ascendente. El mismo análisis realizado cuesta arriba proporciona la aceleración de una esfera que rueda en un plano inclinado. Es una constante, no depende de la masa ni del radio de la canica, y es cinco séptimos de lo que experimentaría un bloque deslizante sin fricción:

a = −(5/7) g sen θ_a = −(5 × 9,8 × sin 45°) / 7 = −4,95 m/s²

El signo menos indica que la aceleración se opone al movimiento; el factor $\sin \theta$ es la componente de la gravedad a lo largo de la pendiente; los 5/7 son, de nuevo, el precio a pagar por tener que frenar tanto la rotación como la traslación.

Paso 3: velocidad en el borde de la rampa. Con una aceleración constante a lo largo de una distancia conocida, la tercera ecuación cinemática da la velocidad a la que la canica sale de la rampa:

v_a = √(v_d² + 2 a Δx_a)

v_a1 = √(3,62 + 2 × (−4,95) × 0,17) = √(3,62 − 1,68) = √1,94 = 1,40 m/s

v_a2 = √(4,79 − 1,68) = √3,11 = 1,76 m/s

Paso 4: la componente vertical en el lanzamiento. Solo la parte vertical de esa velocidad puede intercambiarse por altura; la parte horizontal lleva a la canica sobre la bandeja de aterrizaje y sigue estando allí en el vértice. A un ángulo de lanzamiento de 45°:

v_ay = v_a × sen 45° → v_a1y = 1.40 × 0.707 = 0,99 m/s y v_a2y = 1.76 × 0.707 = 1,25 m/s

Paso 5: la altura del vértice. Una vez que la canica está en el aire, no actúa ningún par de torsión sobre ella, por lo que sigue girando a la velocidad que tenía en el borde y su energía rotacional simplemente se transporta, sin tomar parte en la subida. Aplicando la tercera ecuación cinemática únicamente a la dirección vertical, con v = 0 en el vértice y a = −g, y midiendo desde la mesa en lugar de desde el borde:

h = h₀ + v_ay² / (2 g)

h₁ = 0.12 + 0.99² / (2 × 9.8) = 0.12 + 0.05 = 0,17 m

h₂ = 0.12 + 1.25² / (2 × 9.8) = 0.12 + 0.08 = 0.20 m

¿Por qué el resultado sale de esta manera?. Ambos tramos descendentes tienen la misma longitud, por lo que lo único que los distingue es el ángulo, y este actúa sobre la canica exclusivamente a través de la caída vertical Δx sin θ. La rampa 2 tiene una caída de 0,342 m frente a los 0,259 m de la rampa 1, es decir, un tercio más; y, dado que v varía como la raíz cuadrada de la caída, ese tercio se traduce únicamente en un aumento de velocidad de 15 % —un recordatorio útil de que la velocidad es una función mucho menos sensible a la altura de lo que los alumnos esperan. Esos 15 % se mantienen luego durante el ascenso, donde ambas rampas tienen la misma altura fija de 1,68 m²/s² fuera de servicio², y como el peaje se resta de una cifra menor en la rampa 1, a esta le cuesta proporcionalmente más: la rampa 1 pierde 27 % de su velocidad al subir el saliente, mientras que la rampa 2 solo pierde 20 %. Por lo tanto, la rampa 2 llega al borde 26 % más rápido que la rampa 1, un margen mayor que el que tenía en la parte inferior. En la altura del vértice, esa ventaja se reduce de nuevo, ya que los 0,12 m del reborde en sí son comunes a ambas y solo el vuelo se suma a ello: 0,05 m frente a 0,08 m. La rampa 2 le da a la canica la mayor altura máxima, y la respuesta a la pregunta B es que un descenso más pronunciado gana, pero por mucho menos de lo que sugeriría la diferencia en los ángulos.

Las dos rutas coinciden exactamente. Los pasos 2 y 3 usan un argumento cinemático, pero se llega al mismo resultado solo a partir de la energía: (7/10)v_a² = (7/10)v_d² − gΔh con Δh = 0.17 × sin 45° = 0.12 m da v_a² = v_d² − 1.68, que es precisamente lo que devuelve la ruta cinemática. Vale la pena señalar esto a los estudiantes, porque muestra que el paso de aceleración constante es una conveniencia más que una suposición adicional, y que el cálculo sobreviviría sin cambios si las rampas fueran curvas en lugar de rectas, siempre y cuando la canica siga rodando y las alturas de caída y ascenso no cambien.

Resumen de la asignación por rango de calificación

Grados 9–10

Enfoque: observación, vocabulario y el vínculo cualitativo entre altura, velocidad y distancia recorrida. Los estudiantes sueltan la canica en cada rampa, observan lo que sucede y expresan con palabras que la rampa más empinada hace que la canica sea más rápida en la parte inferior y la envía más arriba después del borde. Las palabras energía potencial, energía cinética, rodando y deslizamiento se introducen y utilizan, sin las ecuaciones.

Actividades predice qué rampa ganará antes de ejecutar cualquiera de las dos y registra la predicción; describe la diferencia entre las dos carreras en un párrafo corto; marca dónde cae la canica en la bandeja para cada rampa y compara; indica qué medidas tendrían que tomarse para convertir la descripción en un número. Cualquier cálculo a este nivel se realiza con el apoyo del profesor.

Undécimo grado

Enfoque: tratamiento cuantitativo. Los estudiantes realizan por sí mismos el cálculo completo de las dos velocidades y las dos alturas de los vértices, utilizando la conservación de la energía mecánica y la tercera ecuación cinemática, y comparan cada valor predicho con el medido.

Actividades calcular v_d para ambas rampas desde las alturas de caída; calcular la deceleración en la sección ascendente y por lo tanto v_a y v_ay; calcular las dos alturas del vértice; comparar en una tabla los valores previstos con los medidos y expresar la diferencia en porcentaje; explicar la dirección de esa diferencia en términos de fricción y resistencia del aire, en lugar de limitarse a señalarla. Los alumnos deben ser capaces de explicar por qué una diferencia de 32 % en la altura de caída solo produce una diferencia de 15 % en la velocidad.

12.º curso / Nivel universitario

Enfoque: derivación, validación de modelos y análisis de errores. Los factores 10/7 y 5/7 se deducen en lugar de citarse, y los supuestos detrás de ellos se hacen explícitos y se prueban.

Actividades derivar v = √(10gh/7) a partir de mgh = ½mv² + ½Iω² para una esfera sólida y repetir la derivación para una esfera hueca (I = (2/3)mr², factor 6/5) y un cilindro, luego prediga cómo cambiarían los resultados; muestre que las rutas de energía y cinemática hacia v_a son algebraicamente idénticos y explican por qué la curvatura de la rampa por lo tanto no importa; identifique las fuentes de error sistemático y aleatorio por separado y estime el tamaño de cada una; indique qué le hace a la vuelo la energía rotacional retenida en el borde y cuantifique el error cometido al ignorarla; evalúe si una sola ejecución por rampa puede respaldar la conclusión extraída y diseñe el cronograma de repetición que lo haría.

Esenciales de laboratorio

Instrumentos

• Rampa 1 — sección descendente de 1,0 m de largo a 15° (desciende 0,259 m), sección ascendente de 0,17 m a 45°
• Rampa 2: sección descendente de 1,0 m de longitud a 20° (desciende 0,342 m), sección ascendente de 0,17 m a 45°
• Canica (esfera maciza)
• Dos puertas de fotodiodo en soportes, una al pie de la bajada y otra al final de la rampa
• Temporizador electrónico con pantalla digital, conectado por cable a las puertas
• Botón A (velocidad al pie del descenso) y botón B (altura máxima después del lanzamiento)
• Bandeja de aterrizaje llena de arena con un borde graduado
• Regla

Productos

• Ninguno: este laboratorio no utiliza productos químicos.