106 – Moviment de rodolament per rampes inclinades

Un objecte rodant porta la seva energia a dos llocs alhora, i aquest simple fet determina gairebé tots els nombres d'aquest laboratori. Els transportadors de corrons per gravetat als magatzems, els rodaments de boles, les pistes de bobsleigh i de monopatí i els circuits de bales per gravetat utilitzats per ensenyar mecànica depenen a saber a quina velocitat viatjarà un cos rodant al peu d'un pendent —i un cos rodant mai hi arriba tan ràpid com un que llisca alliberat des de la mateixa alçada.

Quan un cos llisca sense fricció, cada joule d'energia potencial gravitacional que cedeix es converteix en energia cinètica de translació. Quan rodola sense relliscar, aquesta mateixa energia s'ha de compartir amb la rotació, perquè la superfície de contacte exerceix el parell de fricció que fa girar el cos. Per a una esfera sòlida, la part rotacional és una dos setens fixa del total, deixant només cinc setens per impulsar l'esfera cap endavant. Aquest és l'origen del factor 10/7 que es repeteix en tot el laboratori: substitueix el familiar v = √(2gh) del cas de lliscament per v = √(10gh/7), uns 15 % més lent. Com que la gravetat és una força conservativa, la forma i la longitud de la rampa són irrellevants per a aquesta velocitat: només importa el desnivell vertical.

En aquest laboratori compareu dos plans inclinat les seccions descendents dels quals fan 1,0 m de llargada però cauen a diferents angles, 15° per al pla 1 i 20° per al pla 2, i per tant a través de diferents altures. Predireu la velocitat del plomí al peu de cada descens només a partir de la conservació de l'energia, i després la mesurareu amb un parell de barreres de fotodiode i un cronòmetre electrònic. A continuació, predireu quina alçada s'eleva el plomí després de deixar la secció ascendent curta de 45° al final de cada pla inclinat, ho mesurareu també, i decidireu quina de les dues geometries llança el plomí més amunt —i per què els valors mesurats queden una mica per sota dels predits.

Objectius educatius

Moviment de rodament i repartiment d'energia

• Una esfera que roda arriba a la base d'un pla inclinat més lentament que un bloc que llisca perquè, en rodar, una part de l'energia potencial gravitatòria s'inverteix a crear energia cinètica de rotació, a més de l'energia cinètica de translació. Per tant, l'energia cinètica de translació que li queda és menor. L'energia "faltant" no s'ha perdut (ja que suposem que no hi ha fricció per rodament que causi pèrdues de calor), sinó que s'ha convertit en **energia cinètica de rotació**.
• Deduïu els factors 10/7 i 5/7 a partir del moment d'inèrcia d'una esfera sòlida, I = (2/5)mr².², i la condició de rodament v = ωr.

Predicció a partir de la conservació de l'energia mecànica

• Utilitzeu mgh = ½mv²² + ½Iω² per predir la velocitat del marbre al peu del pendent a partir només de l'altura de caiguda, abans de fer cap mesura.
• Reconeixeu que la predicció depèn només del desnivell vertical, de manera que la longitud de la rampa, la curvatura i l'angle hi intervenen només a través de h = Δx · sin θ.

Cinemàtica del llançament i del vol

• Calculeu la desacceleració d'una esfera rodant en un pendent ascendent i apliqueu-hi v_a² = v_d² + 2aΔx per trobar la velocitat a la qual el marbre surt de la rampa.
• Descompon aquesta velocitat en components i troba l'alçada màxima del vol lliure posterior.

La influència de la geometria de la rampa

• Previsiblement, confirmeu que el descens més pendent produeix una velocitat de llançament més gran i una altura de vèrtex més gran, i quantifiqueu-ho.
• Expliqueu per què les dues seccions ascendents, sent idèntiques, fan que la velocitat inicial sigui l'única variable que decideix l'altura final.

Mesura amb barreres de fotodíodes i un cronòmetre electrònic

• Col·loqueu les dues portes correctament, inicieu una execució amb el botó A o el botó B, i llegiu el valor que retorna el temporitzador.
• Descriu què mesura realment l'instrument i què cal saber de l'aparell abans de poder convertir aquesta lectura en una velocitat.

Comparació del model amb el mesurament

• Quantifiqueu la diferència entre els valors predits i els mesurats i expliqueu-la en termes de resistència al rodament i resistència a l'aire.

Protocol

Introducció

1. Volem estimar la velocitat a la part inferior de la rampa descendent de cada rampa per estimar quina rampa donarà a la boleta l'enlairament més alt.
2. Es fan servir dues rampes diferents per a aquest laboratori:

• La rampa 1 té una alçada de 0,259 m i un angle d'inclinació de 15°.
• La rampa 2 té una alçada de 0,342 m i un angle d'inclinació de 20°

3. Cadascuna de les dues rampes es pot dividir en dues parts: una part descendent i una part ascendent.
4. Les dues rampes difereixen pel que fa a l'angle i l'alçada de la seva part descendent. La longitud de la part descendent de les dues rampes és d'1 m.
5. La part ascendent de cada rampa és idèntica a la resta.

Manipulacions A

Considerant els paràmetres proporcionats anteriorment i sabent que l'acceleració deguda a la gravetat és de 9,8 m/s, estimeu la velocitat a la part inferior de cada rampa descendent (en m/s).

1. Col·loca un dels sensors del cronòmetre a la petita placa situada al final de la rampa de descens (ubicació blanca). Col·loca el segon sensor a l'altra placa petita situada al final de les rampes (ubicació negra).
2. Col·loca la bola a dalt de la rampa 1 a la línia horitzontal grisa.
3. Premeu el botó A per obtenir la velocitat de la biga al final de la rampa descendent de la rampa 1.
4. Observeu la demostració.
5. Les dades de la demostració s'introdueixen a la taula de resultats. Consulteu les dades obtingudes per tal de comparar-les amb els vostres càlculs.
6. Repeteix els passos 2 a 5 utilitzant la rampa 2.

Pregunta A

Coneixent la velocitat a la part inferior de cada rampa descendent, tenint en compte els paràmetres següents:

• Longitud de les rampes ascendents: 0,17 m
• Angle de les rampes ascendents: 45°

Quina serà l'alçada màxima que assolirà cada bala (en m)?

Manipulacions B

1. Col·loca la bola a dalt de la rampa 1 a la línia horitzontal grisa.
2. Premeu el botó B per obtenir l'alçada màxima assolida per la boleta després d'enlairar-se des de la rampa 1.
3. Observeu la demostració.
4. Les dades de la demostració s'introdueixen a la taula de resultats. Consulteu les dades obtingudes per tal de comparar-les amb els vostres càlculs.
5. Repetiu els passos de l'1 al 4 utilitzant la rampa 2.

Preguntes B

1. Quina rampa donarà a la bola la seva alçada màxima?
2. Si els càlculs són diferents de les dades experimentals, quins factors expliquen aquestes diferències?

Resultats previstos

L'aparell subministra aquests paràmetres, i totes les xifres següents se'n deriven:

• Longitud descendent de les dues rampes Δx_d = 1,0 m
• Angle de descens de la rampa 1, θ_d1 = 15°, de manera que la rampa 1 baixa 1,0 × sin 15° = 0,259 m
• Angle de descens de la rampa 2, θ_d2 = 20°, per tant, la rampa 2 descendeix 1,0 × sin 20° = 0,342 m
• Longitud ascendent d'ambdues rampes Δx_a = 0.17 m a θ_a = 45°, de manera que la vora de cada rampa queda a una alçada h₀ = 0.17 × sin 45° = 0.12 m per sobre de la taula
• Acceleració deguda a la gravetat g = 9,8 m/s²

Pas 1 — velocitat al peu de cada descens. Una estatua de marbre que roda sense lliscar emmagatzema energia cinètica de dues maneres alhora, i ambdues s'han de pagar amb l'energia potencial a la qual renuncia:

mgh = ½mv²² + ½Iω², amb I = (2/5)mr² i ω = v/r

Substituint el moment d'inèrcia i la condició de rodament, el terme rotacional es redueix a (1/5)mv², per tant, mgh = ½mv²² + (1/5)mv² = (7/10)mv². La massa s'anul·la, i reordenant s'obté l'equació de treball per a una esfera rodant sobre qualsevol pendent:

v = √(10 g Δx sin θ / 7)

Mostrant la substitució un cop, per a la rampa 1:

v_d1 = √((10 × 9,8 × 1,0 × sin 15°) / 7) = √((10 × 9,8 × 0,259) / 7) = √3,62 = 1,91 m/s

i per a la rampa 2, el desnivell de la qual és de 0,342 m:

v_d2 = √((10 × 9,8 × 0,342) / 7) = √4,79 = 2.19 m/s

Pas 2 — desacceleració a la secció ascendent. El mateix anàlisi fet costa amunt dóna l'acceleració d'una esfera rodant en un pendent. És una constant, no depèn de la massa ni del radi del marbre, i és cinc setenes parts de la qual experimentaria un bloc lliscant sense fricció:

a = −(5/7) g sin θ_a = −(5 × 9,8 × sin 45°) / 7 = −4.95 m/s²

El signe menys indica que l'acceleració s'oposa al moviment; el factor $\sin \theta$ és la component de la gravetat al llarg del pla inclinat; el 5/7 és de nou la penalització per haver de frenar tant el gir com la translació.

Pas 3 — velocitat a la sortida de la rampa. Amb una acceleració constant en una distància coneguda, la tercera equació cinemàtica dóna la velocitat a la qual el marbre surt de la rampa:

v_a = √(v_d² + 2 a Δx_a)

v_a1 = √(3,62 + 2 × (−4,95) × 0,17) = √(3,62 − 1,68) = √1,94 = 1,40 m/s

v_a2 = √(4.79 − 1.68) = √3.11 = 1,76 m/s

Pas 4: la component vertical en el llançament. Només la part vertical d'aquesta velocitat es pot intercanviar per altura; la part horitzontal duu el marbre més enllà de la safata d'aterratge i encara hi és al vèrtex. Amb un angle de llançament de 45°:

v_ai = v_a × sin 45° → v_a1y = 1,40 × 0,707 = 0,99 m/s i v_a2y = 1,76 × 0,707 = 1,25 m/s

Pas 5 — l'altura del cim. Un cop el marbre és a l'aire, no hi actua cap moment de força, de manera que continua girant a la velocitat que tenia a la vora i la seva energia rotacional simplement es transporta, sense prendre part en l'ascens. Aplicant la tercera equació cinemàtica només a la direcció vertical, amb v = 0 a l'àpex i a = −g, i mesurant des de la taula en lloc de des de la vora:

h = h₀ + v_ai² / (2g)

h₁ = 0.12 + 0.99² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,05 = 0,17 m

h₂ = 0.12 + 1.25² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,08 = 0,20 m

Per què el resultat surt així. Ambdues seccions descendents tenen la mateixa longitud, de manera que l'única cosa que les distingeix és l'angle, i l'angle actua sobre la bola de marbre íntegrament a través de la caiguda vertical Δx sin θ. La rampa 2 cau 0,342 m enfront dels 0,259 m de la rampa 1, un terç més, i com que v varia com l'arrel quadrada de la caiguda, aquest terç es converteix només en un guany de velocitat de 15 % — un recordatori útil que la velocitat és una funció molt menys sensible de l'altura del que esperen els estudiants. Aquests 15 % es mantenen després en la pujada, on ambdues rampes tenen el mateix cost fix de 1,68 m²/s² fora de servei², i com que el peatge es resta d'un nombre més petit a la rampa 1, aquesta paga proporcionalment més: la rampa 1 perd 27 % de la seva velocitat en pujar el llavi, la rampa 2 només 20 %. Per tant, la rampa 2 arriba al llavi 26 % més ràpida que la rampa 1, un marge més gran que el que tenia a la base. A l'altura de l'apèx, aquest avantatge es comprimeix de nou, perquè els 0,12 m del llavi en si són comuns a ambdós i només el vol s'hi suma: 0,05 m contra 0,08 m. La rampa 2 driu a la canica la màxima altura més gran, i la resposta a la pregunta B és que guanya la pendent més pronunciada, però per una diferència notablement menor de la que suggeriria la diferència dels angles.

Les dues rutes coincideixen exactament. Els passos 2 i 3 utilitzen un argument cinemàtic, però la mateixa resposta es deriva només de l'energia: (7/10)v_a² = (7/10)v_d² − gΔh amb Δh = 0,17 × sin 45° = 0,12 m dona v_a² = v_d² − 1,68, que és precisament el que retorna la ruta cinemàtica. Val la pena assenyalar-ho als estudiants, perquè mostra que l'etapa d'acceleració constant és més una comoditat que no pas una suposició addicional, i que el càlcul es mantindria inalterat si les rampes fossin corbes en lloc de rectes, sempre que la bola continuï rodant i les alçades de caiguda i pujada no canviïn.

Resum de tasques per rang de qualificació

De 9è a 10è grau

Enfocament observació, vocabulari i el vincle qualitatiu entre alçada, velocitat i distància recorreguda. Els estudiants deixen anar el marbre a cada rampa, observen què passa i posen en paraules que la rampa més inclinada fa que el marbre vagi més ràpid al fons i l'envia més amunt després de la vora. Les paraules energia potencial, energia cinètica, rodant i lliscament s'introdueixen i s'utilitzen, sense les equacions.

Activitats: Preediu quina rampa guanyarà abans de fer rodar cap de les dues i anoteu la predicció; descriviu la diferència entre les dues tirades en un paràgraf breu; marqueu on cau la canica a la safata per a cada rampa i compareu-ho; indiqueu quines mesures caldria prendre per convertir la descripció en un nombre. Qualsevol càlcul en aquest nivell es fa amb el suport del mestre.

11è curs

Enfocament tractament quantitatiu. Els estudiants realitzen ells mateixos el càlcul complet de les dues velocitats i les dues alçades d'apex, utilitzant la conservació de l'energia mecànica i la tercera equació cinemàtica, i compareixen cada valor predit amb el mesurat.

Activitats: calcula v_d per a ambdues rampa des de les altures de caiguda; calculeu la desacceleració a la secció ascendent i, per tant, $v$_a i v_ai; obtenir les altures dels dos apèx; tabular els valors predits contra els mesurats i expressar la diferència com a percentatge; explicar la direcció d'aquesta diferència en termes de fricció i resistència de l'aire en lloc de limitar-se a constatar-la. Els estudiants haurien de ser capaços d'explicar per què la diferència de 32 % en l'alçada de caiguda produeix només una diferència de 15 % en la velocitat.

12è curs / Nivell universitari

Enfocament derivació, validació del model i anàlisi d'errors. Els factors 10/7 i 5/7 es deriven en lloc de citar-se, i les hipòtesis que hi ha al darrere es fan explícites i es proven.

Activitats: Per deduir v = √(10gh/7) a partir de mgh = ½mv² (assumint que l'equació correcta per a l'energia cinètica de rodament inclou el moment d'inèrcia d'un cilindre/disc on I = ½mr², donant com a resultat E_k = ½mv² + ½Iω² = ¾mv², o un altre factor depenent de la geometria), seguim aquests passos algebraics: Partint de l'equació d'energia (per exemple, per a un cilindre que roda sense lliscar, $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$). Sabent que $I = \frac{1}{2}mr^2$ i $\omega = \frac{v}{r}$: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}mr^2\right)\left(\frac{v}{r}\right)^2$ $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2$ $mgh = \frac{3}{4}mv^2$ *(Nota: Per obtenir exactament el factor $7$ del teu enunciat, suposem una equació general equivalent tipus $mgh = \frac{7}{10}mv^2$)*: Partint de: $mgh = \frac{7}{10}mv^2$ 1. Dividim ambdós costats per $m$: $gh = \frac{7}{10}v^2$ 2. Multipliquem ambdós costats per $10/7$: $\frac{10}{7}gh = v^2$ 3. Fem l'arrel quadrada a ambdós costats: $v = \sqrt{\frac{10gh}{7}}$² + ½Iω² per a una esfera sòlida i repetiu la derivació per a una esfera buida ($I = (2/3)mr^2$)², factor 6/5) i un cilindre, després prediu com canviarien els resultats; mostra que les rutes energètica i cinemàtica cap a v_a són algebràicament idèntiques i expliquen per què la curvatura de la rampa, per tant, no importa; identifiqueu les fonts d'error sistemàtic i aleatori per separat i estimeu la mida de cadascuna; indiqueu què li fa al vol l'energia de rotació retinguda al llavi i quantifiqueu l'error cometut en ignorar-la; avalueu si una sola tirada per rampa pot sostenir la conclusió extreta, i dissenyeu el calendari de repetició que ho faria.

Equipament de laboratori

Instruments

• Rampa 1: secció descendent de 1,0 m de llargada a 15° (cau 0,259 m), secció ascendent de 0,17 m a 45°
• Rampa 2: secció descendent de 1,0 m de longitud a 20° (baixa 0,342 m), secció ascendent de 0,17 m a 45°
• Bola de vidre
• Dues barreres de fotodíodes sobre suports, una al peu de la baixada i l'altra al final de la rampa
• Temporitzador electrònic amb pantalla digital, connectat als portons per cable
• Botó A (velocitat al peu de la baixada) i botó B (alçada màxima després del llançament)
• Safata de recepció plena de sorra amb un cantell graduat
• Regla

Productes

• Cap — aquest laboratori no utilitza cap producte químic.