106 – Ruch obrotowy na pochyłych rampach

Toczący się obiekt niesie swoją energię w dwóch miejscach jednocześnie i ten jeden fakt determinuje prawie każdą wartość liczbową w tym laboratorium. Grawitacyjne przenośniki rolkowe w magazynach, łożyska kulkowe, tor bobslejowy i deskorolkowy oraz grawitacyjne tory kulkowe służące do nauczania mechaniki – wszystkie one zależą od znajomości tego, jak szybko toczące się ciało będzie poruszać się u podstawy równi pochyłej, a toczące się ciało nigdy nie dociera na miejsce tak szybko jak ciało ślizgające się, zwolnione z tej samej wysokości.

Gdy ciało ślizga się bez tarcia, każdy dżul energii potencjalnej grawitacyjnej, który traci, zamienia się w energię kinetyczną ruchu przesuwnego. Gdy toczy się bez poślizgu, ta sama energia musi zostać podzielona między ruch obrotowy, ponieważ powierzchnia styku wywiera moment tarcia, który wprawia ciało w ruch obrotowy. W przypadku bryły kulistej udział energii obrotowej wynosi stałe dwie siódme całości, pozostawiając jedynie pięć siódmych na napędzanie kuli do przodu. Stąd bierze się współczynnik 10/7, który przewija się przez całe laboratorium: zastępuje on znane równanie v = √(2gh) dla przypadku poślizgu równaniem v = √(10gh/7), co oznacza prędkość o około 15 % mniejszą. Ponieważ grawitacja jest siłą zachowawczą, kształt i długość zbocza nie mają znaczenia dla tej prędkości — liczy się wyłącznie różnica wysokości.

W tym laboratorium porównujesz dwie równinie pochyłe, których odcinki zbiegające mają długość 1,0 m, ale opadają pod różnymi kątami – 15° dla równi 1 i 20° dla równi 2 – a zatem na różne wysokości. Przewidzisz prędkość marmurowej kulki u podnóża każdego zjazdu, opierając się wyłącznie na zasady zachowania energii, a następnie zmierzysz ją za pomocą pary bramek fotodiodowych i elektronicznego stoperu. Następnie przewidzisz, na jaką wysokość kulka wzniesie się po opuszczeniu krótkiego, wznoszącego się pod kątem 45° odcinka na końcu każdej równi, zmierzysz to również i rozstrzygniesz, która z dwóch geometrii wyrzuca kulkę wyżej – oraz dlaczego zmierzone wartości są nieco mniejsze od przewidywanych.

Cele edukacyjne

Ruch toczny i podział energii

• Wyjaśnienie, dlaczego staczająca się kula dociera do podnóża równi pochyłej wolniej niż ześlizgujący się blok puszczony z tej samej wysokości, wynika z zasady zachowania energii. W przypadku idealnego ześlizgu (bez tarcia) cała początkowa energia potencjalna grawitacji zostaje zamieniona wyłącznie na liniową energię kinetyczną ruchu postępowego bloku. W przypadku staczającej się kuli, początkowa energia potencjalna musi zostać podzielona na dwie części: 1. Liniową energię kinetyczną ruchu postępowego (dzięki której kula przemieszcza się w dół zbocza). 2. Rotacyjną energię kinetyczną ruchu obrotowego (ponieważ kula musi się obracać wokół własnej osi). Ponieważ część energii początkowej zostaje zużyta na wprawienie kuli w ruch obrotowy, na ruch postępowy (prędkość liniową) pozostaje mniej energii niż w przypadku bloku. Z tego powodu kula porusza się wolniej i dociera na dół jako ostatnia. „Brakująca” translationalna energia kinetyczna nie zniknęła – została przekształcona w **rotacyjną energię kinetyczną ruchu obrotowego** kuli.
• Wywiedź czynniki 10/7 oraz 5/7 z momentu bezwładności jednorodnej kuli, $I = (2/5)mr^2$.², oraz warunek toczącego się ruchu $v = \omega r$.

Przewidywanie wynikające z zasady zachowania energii mechanicznej

• Użyj mgh = ½mv² + ½Iω² przewidzieć prędkość marmurowej kulki u podnóża równi pochyłej na podstawie samej wysokości zrzutu, przed wykonaniem jakiegokolwiek pomiaru.
• Zauważ, że przewidywanie zależy tylko od pionowego spadku, tak że długość rrampy, krzywizna i kąt wchodzą do wzoru wyłącznie poprzez $h = \Delta x \cdot \sin \theta$.

Kinematyka startu i lotu

• Oblicz opóźnienie staczającej się kuli na wzniesieniu i zastosuj v_a² = v_d² + 2aΔx, aby znaleźć prędkość, z jaką marmurowa kula opuszcza równię.
• Rozłóż tę prędkość na składowe i znajdź wysokość wierzchołka (apogeum) późniejszego swobodnego lotu.

Wpływ geometrii pochylni

• Przewidź, a następnie potwierdź, że bardziej strome zejście daje większą prędkość początkową i większą wysokość wierzchołka, oraz oszacuj liczbowo, o ile.
• Wyjaśnij, dlaczego te dwie wznoszące się sekcje, będące identycznymi, sprawiają, że prędkość początkowa jest jedyną zmienną decydującą o wysokości końcowej.

Pomiar z bramkami fotodiodowymi i zegarem elektronicznym

• Umieść obie bramki poprawnie, uruchom bieg za pomocą przycisku A lub przycisku B i odczytaj wartość zwracaną przez stoper.
• Opisz, co instrument rzeczywiście mierzy i co trzeba wiedzieć o aparaturze, zanim odczyt ten będzie można przekształcić w prędkość.

Porównanie modelu z pomiarem

• Określ ilościowo różnicę między wartościami przewidywanymi a zmierzonymi i wyjaśnij ją za pomocą oporu toczenia oraz oporu powietrza.

Protokół

Wstęp

1. Chcemy oszacować prędkość na dole zjeżdżalni każdego z torów, aby oszacować, który tor zapewni marmurowi najwyższe odbicie.
2. Do tego laboratorium używane są dwie różne rampy:

• Rampa 1 ma wysokość 0,259 m i kąt nachylenia 15°.
• Rampa 2 ma wysokość 0,342 m i kąt nachylenia 20°

3. Każda z dwóch ramp może zostać podzielona na dwie części: część zjazdową i część podjazdową.
4. Dwie rampy różnią się kątem nachylenia i wysokością ich opadającej części. Długość opadającej części obu ramp wynosi 1 m.
5. Idąca część każdej rampy jest w pozostałym zakresie identyczna.

Manipulacje A

Biorąc pod uwagę podane wyżej parametry i wiedząc, że przyspieszenie ziemskie wynosi 9,8 m/s², oszacuj prędkość na dole każdej z ramp zjazdowych (w m/s).

1. Umieść jeden z czujników stopera na małej płytce umieszczonej na końcu zjazdu z ramp (białe miejsce). Umieść drugi czujnik na drugiej małej płytce umieszczonej na końcu ramp (czarne miejsce).
2. Umieść kulkę na górze rampy 1 na szarej poziomej linii.
3. Naciśnij przycisk A, aby uzyskać prędkość kulki na końcu zjazdu po rampie 1.
4. Obserwuj demonstrację.
5. Dane demonstracyjne zostały wprowadzone do tabeli wyników. Zapoznaj się z uzyskanymi danymi, aby porównać je z Twoimi obliczeniami.
6. Powtórz kroki od 2 do 5, używając rampy 2.

Pytanie A

Znając prędkość na dole każdej zstępującej rampy, biorąc pod uwagę następujące parametry:

• Długość ramp wznoszących: 0,17 m
• Kąt nachylenia ramp wznoszących: 45°

Jaka będzie maksymalna wysokość osiągnięta przez każdą kulkę (w metrach)?

Manipulacje B

1. Umieść kulkę na górze rampy 1 na szarej poziomej linii.
2. Naciśnij przycisk B, aby uzyskać maksymalną wysokość osiągniętą przez kulkę po wybiciu z rampy 1.
3. Obserwuj demonstrację.
4. Dane demonstracyjne zostały wprowadzone do tabeli wyników. Zapoznaj się z uzyskanymi danymi, aby porównać je z Twoimi obliczeniami.
5. Powtórz kroki od 1 do 4, używając rampy 2.

Pytanie B

1. Który pochylnia zapewni marmurowi maksymalną wysokość?
2. Jeśli obliczenia różnią się od danych eksperymentalnych, jakie czynniki wyjaśniają te różnice?

Przewidywane wyniki

Aparat dostarcza te parametry i każda poniższa wielkość z nich wynika:

• Malejąca długość obu ramp Δx_d = 1,0 m
• Kąt nachylenia w dół rampy 1, θ_D1 = 15°, więc pochylnia 1 opada o 1,0 × sin 15° = 0,259 m
• Kąt nachylenia rampy 2 w dół, θ_d2 = 20°, więc pochylnia 2 opada o 1,0 × sin 20° = 0,342 m
• Rosnąca długość obu ramp Δx_a = 0,17 m przy θ_a = 45°, więc krawędź każdej rampy znajduje się na wysokości h₀ = 0,17 × sin 45° = 0,12 m nad stół
• Przyspieszenie grawitacyjne g = 9,8 m/s²

Krok 1 — prędkość u podnóża każdego zjazdu. Marmurowa kula tocząca się bez poślizgu gromadzi energię kinetyczną w dwóch postaciach jednocześnie, i za obie trzeba zapłacić energią potencjalną, którą traci:

mgh = ½mv² + ½Iω², gdzie I = (2/5)mr² i $\omega = v/r$

Podstawienie momentu bezwładności i warunku toczenia redukuje człon obrotowy do (1/5)mv², więc mgh = ½mv²² + (1/5)mv² = (7/10)mv². Masa się skraca, a przekształcenie daje ostateczny wzór dla staczającej się kuli na dowolnym nachyleniu:

v = √(10 g Δx sin θ / 7)

Pokazując podstawienie raz, dla pochylni 1:

v_D1 = √((10 × 9,8 × 1,0 × sin 15°) / 7) = √((10 × 9,8 × 0,259) / 7) = √3,62 = 1,91 m/s

a dla rampy 2, której spadek wynosi 0,342 m:

v_d2 = √((10 × 9,8 × 0,342) / 7) = √4,79 = 2,19 m/s

Krok 2 — hamowanie na odcinku wznoszącym. Ta sama analiza przeprowadzona dla ruchu pod górę daje przyspieszenie toczącej się kuli na równi pochyłej. Jest ono stałe, nie zależy od masy ani promień marmurowej kuli i wynosi pięć siódmych tego, czego doświadczyłby blok poruszający się bez tarcia:

a = −(5/7) g sin θ_a = −(5 × 9,8 × sin 45°) / 7 = −4,95 m/s²

Znak minus mówi, że przyspieszenie przeciwdziała ruchowi; czynnik $\sin \theta$ to składowa grawitacji wzdłuż równi; 5/7 to z kolei kara za konieczność spowalniania zarówno obrotu, jak i ruchu postępowego.

Krok 3 — prędkość na krawędzi rami. Przy stałym przyspieszeniu na znanym odcinku trzecie równanie kinematyczne pozwala obliczyć prędkość, z jaką kulka opuszcza równię:

v_a = √(v_d² + 2 a Δx_a)

v_a1 = √(3.62 + 2 × (−4.95) × 0.17) = √(3.62 − 1.68) = √1.94 = 1,40 m/s

v_a2 = √(4,79 − 1,68) = √3,11 = 1,76 m/s

Krok 4 — składowa pionowa przy starcie. Tylko pionowa składowa tej prędkości może zostać zamieniona na wysokość; składowa pozioma niesie marmurkową kulkę nad tacę lądowania i nadal jest obecna w najwyższym punkcie. Przy kącie wystrzału 45°:

v_tak = v_a × sin 45° → v_a1r = 1,40 × 0,707 = 0,99 m/s i v_a2y = 1,76 × 0,707 = 1,25 m/s

Krok 5 — wysokość wierzchołka. Gdy marmurowa kula znajdzie się w powietrzu, nie działa na nią żaden moment obrotowy, więc kręci się nadal z taką samą prędkością, jaką miała na krawędzi, a jej energia rotacyjna jest po prostu unoszona wraz z nią, nie biorąc udziału w wznoszeniu. Stosując trzecie równanie kinematyczne wyłącznie do kierunku pionowego, gdzie v = 0 w punkcie kulminacyjnym i a = −g, oraz mierząc od stołu, a nie od krawędzi:

h = h₀ + tak_tak² / (2g)

h₁ = 0.12 + 0.99² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,05 = 0,17 m

h₂ = 0.12 + 1.25² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,08 = 0,20 m

Dlaczego wynik wychodzi w ten sposób. Oba odcinki opadające mają tę samą długość, więc jedyną rzeczą, która je odróżnia, jest kąt nachylenia, a siła wynikająca z tego kąta oddziałuje na kulkę wyłącznie poprzez pionowy spadek Δx sin θ. Rampa nr 2 opada o 0,342 m, podczas gdy rampa nr 1 – o 0,259 m, czyli o jedną trzecią więcej, a ponieważ prędkość v zmienia się proporcjonalnie do pierwiastka kwadratowego z wysokości spadku, ta jedna trzecia przekłada się jedynie na przyrost prędkości równy 15 % — co stanowi przydatne przypomnienie, że prędkość jest funkcją wysokości znacznie mniej wrażliwą, niż uczniowie się spodziewają. Te 15 % jest następnie przenoszone na odcinek wznoszenia, gdzie obie rampy mają tę samą stałą wysokość 1,68 m²/s² spoza², a ponieważ opłata jest odejmowana od mniejszej wartości na rampie 1, kosztuje to rampę 1 proporcjonalnie więcej: rampa 1 traci 27 % prędkości podczas pokonywania krawędzi, a rampa 2 tylko 20 %. Ramp 2 dociera zatem do krawędzi o 26 % szybciej niż rampa 1, co stanowi większą przewagę niż ta, jaką miała na dole. Na wysokości wierzchołka ta przewaga ulega ponownemu zmniejszeniu, ponieważ same 0,12 m krawędzi są wspólne dla obu ramp, a do tego dochodzi jedynie długość lotu: 0,05 m w porównaniu z 0,08 m. Rampa 2 nadaje kulce większą wysokość maksymalną, a odpowiedź na pytanie B jest taka, że wygrywa stromejsze schodzenie, ale w wyraźnie mniejszym stopniu, niż sugerowałaby to różnica kątów.

Obie trasy całkowicie się zgadzają. Kroki 2 i 3 wykorzystują argument kinematyczny, ale ten sam wynik wynika z samej zasady zachowania energii: (7/10)v_a² = (7/10)v_d² − gΔh z Δh = 0,17 × sin 45° = 0,12 m daje v_a² = v_d² − 1,68, czyli dokładnie tyle, ile daje podejście kinematyczne. Warto na to zwrócić uwagę studentom, ponieważ pokazuje to, że krok z ruchem jednostajnie przyspieszonym jest raczej udogodnieniem niż dodatkowym założeniem, oraz że obliczenia pozostałyby bez zmian, gdyby równinie były zakrzywione, a nie proste, pod warunkiem, że kulka nadal się toczy, a wysokości spadku i wzniesienia pozostają niezmienione.

Podsumowanie zadania według zakresu ocen

Klasy 9–10

Skupienie: obserwacja, słownictwo oraz jakościowy związek między wysokością, prędkością a przebytą odległością. Uczniowie puszczają kulkę na każdej z równi, obserwują, co się dzieje, i ubrają to w słowa, że bardziej stroma równia sprawia, że kulka porusza się szybciej na dole i leci wyżej po minięciu krawędzi. Słowa energia potencjalna, energia kinetyczna, toczenie się i przesuwanie są wprowadzane i używane, bez równań.

Aktywności: Przewidź, która rampa wygra, zanim uruchomisz którąkolwiek z nich, i zapisz prognozę; opisując różnicę między tymi dwoma przejazdami w krótkim akapicie; zaznacz, gdzie marmurowa kula ląduje w tacce dla każdej rampy i porównaj; podaj, jakie pomiary należałoby wykonać, aby zamienić opis w liczbę. Wszelkie obliczenia na tym poziomie wykonuje się przy wsparciu nauczyciela.

Klasa 11

Skupienie: traktowanie ilościowe. Studenci wykonują pełne obliczenia obu prędkości i obu wysokości wierzchołków samodzielnie, korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej i trzeciego równania kinematycznego, a następnie porównują każdą przewidywaną wartość z wartością zmierzoną.

Aktywności: oblicz v_d dla obu równi pochyłych z wysokości upuszczenia; oblicz opóźnienie na odcinku wznoszącym i stąd v_a i v_tak; należy określić wysokości obu wierzchołków; zestawić w tabeli wartości przewidywane i zmierzone oraz wyrazić różnicę w procentach; wyjaśnić kierunek tej różnicy w kontekście tarcia i oporu powietrza, a nie tylko ją odnotować. Uczniowie powinni umieć wyjaśnić, dlaczego różnica wysokości upadku wynosząca 32 % powoduje jedynie różnicę prędkości wynoszącą 15 %.

Klasa 12 / Poziom akademicki

Skupienie: wyprowadzenie, walidacja modelu i analiza błędów. Czynniki 10/7 i 5/7 są wyprowadzone, a nie przytoczone, a założenia stojące za nimi zostały wyraźnie określone i przetestowane.

Aktywności: Wyprowadź v = √(10gh/7) ze wzoru mgh = ½mv² + ½Iω² dla kuli pełnej i powtórzyć wyprowadzenie dla kuli o skorupie cienkościennej (I = (2/3)mr²², współczynnik 6/5) i walec, a następnie przewidzieć, jak zmienią się wyniki; pokazać, że drogami energetyczną i kinematyczną do v_a są algebraicznie identyczne i wyjaśnić, dlaczego krzywizna ruszty nie ma w związku z tym znaczenia; zidentyfikować źródła błędów systematycznych i losowych oddzielnie oraz oszacować wielkość każdego z nich; określić, jak zachowana energia rotacyjna na krawędzi wpływa na lot i oszacować wielkość błędu wynikającego z jej pominięcia; ocenić, czy pojedyncza próba na pochylnię może poprzeć wyciągnięty wniosek, oraz zaprojektować harmonogram powtórzeń, który by na to pozwalał.

Podstawowe wyposażenie laboratorium

Instrumenty

• Rampa 1 — odcinek opadający o długości 1,0 m i nachyleniu 15° (różnica wysokości 0,259 m), odcinek wznoszący o długości 0,17 m i nachyleniu 45°
• Rampa 2 — odcinek zjazdowy o długości 1,0 m i nachyleniu 20° (różnica wysokości 0,342 m), odcinek podjazdowy o długości 0,17 m i nachyleniu 45°
• Marmur (lita kula)
• Dwie bramki fotodiodowe na stojakach, jedna u podnóża zjazdu, a druga na końcu pochylni
• Elektroniczny minutnik z cyfrowym wyświetlaczem, połączony przewodem z bramami
• Przycisk A (prędkość u stóp zjazdu) oraz przycisk B (maksymalna wysokość po wyskoku)
• Wypełniona piaskiem taca do lądowania z wyskalowaną krawędzią
• Linijka

Produkty

• Brak — to laboratorium nie używa żadnych produktów chemicznych.