106 – Mouvement de roulement sur des rampes inclinées

Un objet en train de rouler transporte son énergie en deux endroits à la fois, et ce seul fait détermine presque tous les chiffres de ce laboratoire. Les convoyeurs à rouleaux par gravité dans les entrepôts, les roulements à billes, les pistes de bobsleigh et de skateboard, ainsi que les parcours de billes par gravité utilisés pour enseigner la mécanique, dépendent tous de la connaissance de la vitesse à laquelle un corps roulant se déplacera au pied d'une pente — et un corps roulant n'arrive jamais aussi vite qu'un corps glissant lâché de la même hauteur.

Lorsqu'un corps glisse sans frottement, chaque joule d'énergie potentielle gravitationnelle qu'il perd se transforme en énergie cinétique de translation. Lorsqu'il roule sans glisser, cette même énergie doit être partagée avec la rotation, car la surface de contact exerce un couple de frottement qui met le corps en rotation. Pour une sphère solide, la part consacrée à la rotation est fixe et correspond à deux septièmes du total, ne laissant que cinq septièmes pour propulser la sphère vers l'avant. C'est là l'origine du facteur 10/7 qui se retrouve dans tout le laboratoire : il remplace la formule familière v = √(2gh) du cas de glissement par v = √(10gh/7), soit une vitesse environ 15 % plus faible. La gravité étant une force conservatrice, la forme et la longueur de la pente n’ont aucune incidence sur cette vitesse — seule la hauteur de chute compte.

Dans ce laboratoire, vous comparez deux rampes dont les sections descendantes ont toutes deux une longueur de 1,0 m mais descendent à des angles différents, 15° pour la rampe 1 et 20° pour la rampe 2, et par conséquent à des hauteurs différentes. Vous prédirez la vitesse de la bille au pied de chaque descente en utilisant uniquement la conservation de l'énergie, puis vous la mesurerez à l'aide d'une paire de barrières à photodiodes et d'un chronomètre électronique. Vous prédirez ensuite la hauteur à laquelle la bille remonte après avoir quitté la courte section ascendante de 45° à la fin de chaque rampe, mesurerez également cette hauteur, et déterminerez laquelle des deux géométries propulse la bille le plus haut — et pourquoi les valeurs mesurées sont légèrement inférieures à celles prédites.

Objectifs Éducatifs

Mouvement de roulement et partage d'énergie

• Expliquez pourquoi une sphère qui roule atteint le pied d'une pente plus lentement qu'un bloc qui glisse lâché de la même hauteur, et dites où est passée l'énergie cinétique de translation manquante.
• Reliez les facteurs 10/7 et 5/7 au moment d'inertie d'une sphère pleine, I = (2/5)mr²², et la condition de roulement v = ωr.

Prédiction issue de la conservation de l'énergie mécanique

• Utilisez mgh = ½mv²² + ½Iω² pour prédire la vitesse de la bille au pied d'une pente à partir de la seule hauteur de chute, avant toute mesure.
• Reconnaître que la prédiction ne dépend que de la chute verticale, de sorte que la longueur de la rampe, la courbure et l'angle n'interviennent qu'à travers h = Δx · sin θ.

Cinématique du lancement et du vol

• Calculer la décélération d'une sphère en roulement sur une pente ascendante et appliquer v_a² = v_d² + 2aΔx pour trouver la vitesse à laquelle la bille quitte la rampe.
• Décomposez cette vitesse en composantes et trouvez la hauteur maximale du vol libre subséquent.

L'influence de la géométrie de la rampe

• Prédisez puis confirmez que la descente la plus raide produit la vitesse de lancement la plus élevée et la hauteur de sommet la plus grande, et quantifiez de combien.
• Expliquez pourquoi les deux sections ascendantes, étant identiques, font de la vitesse initiale la seule variable qui détermine la hauteur finale.

Mesure avec des barrières à photodiode et un chronomètre électronique

• Placez correctement les deux portes, déclenchez une exécution avec le bouton A ou le bouton B, et lisez la valeur renvoyée par le chronomètre.
• Décrivez ce que l'instrument mesure réellement et ce qu'il faut savoir sur l'appareil avant de pouvoir convertir cette lecture en vitesse.

Comparaison du modèle avec la mesure

• Quantifiez la différence entre les valeurs prédites et mesurées et expliquez-la en fonction de la résistance au roulement et de la résistance de l'air.

Protocole

Introduction

1. Nous voulons estimer la vitesse au bas de la pente descendante de chaque rampe afin d'estimer quelle rampe donnera au marbre le plus haut décollage.
2. Deux rampes différentes sont utilisées pour ce laboratoire :

• La rampe 1 mesure 0,259 m de haut et a un angle d'inclinaison de 15°.
• La rampe 2 mesure 0,342 m de hauteur et a un angle d'inclinaison de 20°.

3. Chacune des deux rampes peut être décomposée en deux portions : une portion descendante et une portion ascendante.
4. Les deux rampes diffèrent par l'angle et la hauteur de leur partie descendante. La longueur de la partie descendante des deux rampes est de 1 m.
5. La partie ascendante de chaque rampe est par ailleurs identique.

Manipulations A

En considérant les paramètres fournis ci-dessus et sachant que l'accélération due à la gravité est de 9,8 m/s², estimez la vitesse au bas de chaque rampe descendante (en m/s).

1. Placez l'un des capteurs du chronomètre sur la petite planche située à l'extrémité de la pente descendante des rampes (emplacement blanc). Placez le deuxième capteur sur l'autre petite planche située à l'extrémité des rampes (emplacement noir).
2. Positionnez la bille en haut de la rampe 1 sur la ligne horizontale grise.
3. Appuyez sur le bouton A pour obtenir la vitesse de la bille à la fin de la piste descendante de la rampe 1.
4. Observez la démonstration.
5. Les données de démonstration sont saisies dans le tableau des résultats. Consultez les données obtenues afin de les comparer à vos calculs.
6. Répétez les étapes 2 à 5 en utilisant la rampe 2.

Question A

Connaissant la vitesse au bas de chaque rampe descendante, en considérant les paramètres suivants :

• Longueur des rampes ascendantes : 0,17 m
• Angle des rampes ascendantes : 45°

Quelle sera la hauteur maximale atteinte par chaque bille (en m) ?

Manipulations B

1. Positionnez la bille en haut de la rampe 1 sur la ligne horizontale grise.
2. Appuyez sur le bouton B pour obtenir la hauteur maximale atteinte par la bille après son décollage de la rampe 1.
3. Observez la démonstration.
4. Les données de démonstration sont saisies dans le tableau des résultats. Consultez les données obtenues afin de les comparer à vos calculs.
5. Répétez les étapes 1 à 4 en utilisant la rampe 2.

Questions B

1. Quelle rampe donnera à la bille sa hauteur maximale ?
2. Si les calculs sont différents des données expérimentales, quels facteurs expliquent ces différences ?

Résultats attendus

L'appareil fournit ces paramètres, et chaque chiffre ci-dessous en découle :

• Longueur de descente des deux rampes Δx_d = 1,0 m
• Angle de descente de la rampe 1, θ_j1 = 15°, donc la rampe 1 descend de 1,0 × sin 15° = 0,259 m
• Angle de descente de la rampe 2, θ_d2 = 20°, la rampe 2 baisse donc de 1,0 × sin 20° = 0,342 m
• Longueur ascendante des deux rampes Δx_a = 0,17 m à θ_a = 45°, de sorte que le bord de chaque rampe se trouve à une hauteur h₀ = 0,17 × sin 45° = 0,12 m au-dessus de la table
• Accélération due à la pesanteur g = 9,8 m/s²

Étape 1 — vitesse au pied de chaque descente. Une bille qui roule sans glisser emmagasine de l'énergie cinétique sous deux formes à la fois, et toutes deux doivent être payées par l'énergie potentielle qu'elle perd :

mgh = ½mv²² + ½Iω², avec I = (2/5)mr² et ω = v/r

En substituant le moment d'inertie et la condition de roulement, le terme de rotation se réduit à (1/5)mv², donc mgh = ½mv² + (1/5)mv² = (7/10)mv². La masse s'annule, et la réorganisation donne l'équation de travail pour une sphère en roulement sur n'importe quelle pente :

v = √(10 g Δx sin θ / 7)

En montrant la substitution une fois, pour la rampe 1 :

v_j1 = √((10 × 9,8 × 1,0 × sin 15°) / 7) = √((10 × 9,8 × 0,259) / 7) = √3,62 = 1,91 m/s

et pour la rampe 2, dont la pente est de 0,342 m :

v_d2 = √((10 × 9,8 × 0,342) / 7) = √4,79 = 2,19 m/s

Étape 2 — décélération sur la section ascendante. La même analyse effectuée en sens inverse donne l'accélération d'une sphère qui roule sur un plan incliné. C'est une constante, elle ne dépend ni de la masse ni du rayon de la bille, et elle vaut cinq septièmes de celle qu'ubien bloc en glissement sans frottement subirait :

a = −(5/7) g sin θ_a = −(5 × 9,8 × sin 45°) / 7 = −4,95 m/s²

Le signe moins indique que l'accélération s'oppose au mouvement ; le facteur sin θ est la composante de la gravité le long de la pente ; le 5/7 est à nouveau la pénalité pour devoir ralentir la rotation ainsi que la translation.

Étape 3 — vitesse au bord de la rampe. Avec une accélération constante sur une distance connue, la troisième équation cinématique donne la vitesse à laquelle la bille quitte la rampe :

v_a = √(v_d² + 2 a Δx_a)

v_a1 = √(3,62 + 2 × (−4,95) × 0,17) = √(3,62 − 1,68) = √1,94 = 1,40 m/s

v_a2 = √(4,79 − 1,68) = √3,11 = 1,76 m/s

Étape 4 — la composante verticale au lancement. Seule la composante verticale de cette vitesse peut être convertie en hauteur ; la composante horizontale transporte la bille au-dessus du plateau de réception et est toujours présente au sommet. Pour un angle de lancement de 45° :

v_ay = v_a × sin 45° → v_a1y = 1,40 × 0,707 = 0,99 m/s et v_a2y = 1,76 × 0,707 = 1,25 m/s

Étape 5 — la hauteur du sommet. Une fois que la bille est en l'air, aucun couple n'agit sur elle, de sorte qu'elle continue de tourner à la vitesse qu'elle avait au bord et son énergie de rotation est simplement transportée avec elle, ne prenant aucune part dans l'ascension. En appliquant la troisième équation cinématique à la direction verticale seule, avec v = 0 au sommet et a = −g, et en mesurant à partir de la table plutôt que du bord :

h = h₀ + v_ay² / (2g)

h₁ = 0.12 + 0.99² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,05 = 0,17 m

h₂ = 0.12 + 1.25² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,08 = 0,20 m

Pourquoi le résultat sort de cette façon. Les deux sections descendantes ayant la même longueur, la seule différence entre elles réside dans l’angle, et cet angle agit sur la bille exclusivement par le biais de la chute verticale Δx sin θ. La rampe 2 présente une hauteur de chute de 0,342 m contre 0,259 m pour la rampe 1, soit un tiers de plus, et comme v varie proportionnellement à la racine carrée de la chute, ce tiers ne se traduit que par un gain de vitesse de 15 % — ce qui rappelle utilement que la vitesse est une fonction de la hauteur bien moins sensible que ne le pensent les élèves. Ces 15 % sont ensuite conservés pendant l’ascension, où les deux rampes ont la même hauteur fixe de 1,68 m²/s² hors de v², et comme le coût est soustrait d'un nombre plus petit sur la rampe 1, celle-ci paie proportionnellement plus cher : la rampe 1 perd 27 % de sa vitesse en gravissant le rebord, tandis que la rampe 2 n'en perd que 20 %. La rampe 2 arrive donc au rebord 26 % plus vite que la rampe 1, soit une marge plus importante qu’au pied de la rampe. Au niveau de la hauteur du sommet, cet avantage est à nouveau réduit, car les 0,12 m du rebord lui-même sont communs aux deux rampes et seule la portée s’y ajoute : 0,05 m contre 0,08 m. La rampe 2 confère à la bille la hauteur maximale la plus élevée, et la réponse à la question B est qu'une descente plus abrupte l'emporte, mais avec une marge nettement inférieure à ce que suggérerait la différence entre les angles.

Les deux itinéraires concordent exactement. Les étapes 2 et 3 utilisent un argument cinématique, mais la même réponse découle de la seule énergie : (7/10)v_a² = (7/10)v_d² − gΔh avec Δh = 0,17 × sin 45° = 0,12 m donne v_a² = v_d² – 1,68, ce qui est précisément ce que donne la voie cinématique. Il vaut la peine de le souligner aux étudiants, car cela montre que l'étape de l'accélération constante est une commodité plutôt qu'une hypothèse supplémentaire, et que le calcul resterait inchangé si les rampes étaient courbes au lieu d'être droites, tant que la bille continue de rouler et que les hauteurs de chute et de remontée restent inchangées.

Résumé du devoir par tranche d'âge

Classe de 3e à la 2de

Focalisation observation, vocabulaire et le lien qualitatif entre la hauteur, la vitesse et la distance parcourue. Les élèves lâchent la marbre sur chaque rampe, observent ce qui se passe et expriment avec des mots qu'une rampe plus abrupte rend la marbre plus rapide au bas et la propulse plus loin après le bord. Les mots énergie potentielle, énergie cinétique, roulement et coulissant sont introduites et utilisées, sans les équations.

Activités : prédire quelle rampe va gagner avant de lancer l'une ou l'autre et enregistrer la prédiction ; décrire la différence entre les deux essais dans un court paragraphe ; marquer l'endroit où la bille atterrit dans le plateau pour chaque rampe et comparer ; indiquer quelles mesures devraient être prises pour transformer la description en un nombre. Tout calcul à ce niveau est effectué avec le soutien de l'enseignant.

11e année

Focalisation traitement quantitatif. Les étudiants effectuent eux-mêmes le calcul complet des deux vitesses et des deux hauteurs de sommet, en utilisant la conservation de l'énergie mécanique et la troisième équation de la cinématique, et comparent chaque valeur prédite à la valeur mesurée.

Activités : calculer v_d pour les deux rampes à partir des hauteurs de chute ; calculer la décélération sur la section ascendante et par conséquent v_a et v_ay; déterminer les deux hauteurs d'apex ; comparer dans un tableau les valeurs prévues et les valeurs mesurées, et exprimer la différence en pourcentage ; expliquer la cause de cette différence en termes de frottement et de résistance de l'air, plutôt que de se contenter de la constater. Les élèves doivent être capables d'expliquer pourquoi une différence de 32 % dans la hauteur de chute n'entraîne qu'une différence de 15 % dans la vitesse.

12e année / Niveau universitaire

Focalisation dérivation, validation de modèle et analyse d'erreur. Les facteurs 10/7 et 5/7 sont déduits plutôt qu'indiqués, et les hypothèses qui les sous-tendent sont explicitées et testées.

Activités : dériver v = √(10gh/7) à partir de mgh = ½mv²² + ½Iω² pour une sphère pleine et répéter la dérivation pour une sphère creuse (I = (2/3)mr², facteur 6/5) et un cylindre, puis prédire comment les résultats changeraient ; montrer que les voies énergétique et cinématique vers v_a sont algébriquement identiques et expliquent pourquoi la courbure de la rampe n'a donc pas d'importance ; identifier séparément les sources d'erreurs systématiques et aléatoires et estimer la taille de chacune ; indiquer l'effet de l'énergie de rotation conservée au niveau du bord sur le vol et quantifier l'erreur commise en l'ignorant ; évaluer si un seul essai par rampe peut étayer la conclusion tirée, et concevoir le calendrier des répétitions qui le permettrait.

Essentiels de laboratoire

Instruments

• Rampe 1 — section descendante de 1,0 m de long à 15° (chute de 0,259 m), section ascendante de 0,17 m à 45°
• Rampe 2 — section descendante de 1,0 m de long à 20° (chute de 0,342 m), section ascendante de 0,17 m à 45°
• Bille (sphère pleine)
• Deux barrières de photodiodes sur pieds, l'une au pied de la descente et l'autre au bout de la rampe
• Minuteur électronique avec affichage numérique, relié par fil aux portails
• Bouton A (vitesse au pied de la descente) et bouton B (hauteur maximale après le saut)
• Bac d'atterrissage rempli de sable avec un bord gradué
• Règle

Produits

• Aucun — ce laboratoire n'utilise aucun produit chimique.