106 – Rollbewegung auf schiefen Ebenen

Ein rollendes Objekt speichert seine Energie an zwei Orten gleichzeitig, und allein diese Tatsache bestimmt fast jeden Wert in diesem Laboratorium. Schwerkraft-Rollenbahnen in Lagern, Kugellager, Bob- und Skateboardbahnen sowie die schwerkraftgespeisten Kugelbahnen, die zum Lehren der Mechanik verwendet werden, hängen alle davon ab zu wissen, wie schnell sich ein rollender Körper am Fuß einer Neigung bewegen wird – und ein rollender Körper kommt niemals so schnell an wie ein gleitender, der aus derselben Höhe losgelassen wurde.

Wenn ein Körper reibungsfrei gleitet, wandelt sich jedes Joule der von ihm abgegebenen potenziellen Gravitationsenergie in kinetische Translationsenergie um. Wenn er ohne zu rutschen rollt, muss diese Energie mit der Rotation geteilt werden, da die Kontaktfläche ein Reibungsmoment ausübt, das den Körper in Drehung versetzt. Bei einer festen Kugel beträgt der Anteil der Rotationsenergie fest zwei Siebtel der Gesamtenergie, sodass nur fünf Siebtel übrig bleiben, um die Kugel vorwärts zu treiben. Dies ist der Ursprung des Faktors 10/7, der sich durch das gesamte Labor zieht: Er ersetzt die bekannte Formel v = √(2gh) für den Gleitfall durch v = √(10gh/7), was etwa 15 % langsamer ist. Da die Schwerkraft eine konservative Kraft ist, spielen die Form und die Länge der Rampe für diese Geschwindigkeit keine Rolle – entscheidend ist allein der vertikale Höhenunterschied.

In diesem Labor vergleichen Sie zwei Rampen, deren abfallende Abschnitte jeweils 1,0 m lang sind, aber in unterschiedlichen Winkeln abfallen (15° für Rampe 1 und 20° für Rampe 2) und daher unterschiedliche Höhen überwinden. Sie werden die Geschwindigkeit der Murmel am Fuß jedes Abstiegs allein aus der Energieerhaltung vorhersagen und sie dann mit einem Photodiodenschrankenpaar und einem elektronischen Timer messen. Sie werden dann vorhersagen, wie hoch die Murmel steigt, nachdem sie den kurzen 45° ansteigenden Abschnitt am Ende jeder Rampe verlässt, dies ebenfalls messen und entscheiden, welche der beiden Geometrien die Murmel höher wirft – und warum die gemessenen Werte ein wenig hinter den vorhergesagten zurückbleiben.

Bildungsziele

Rollbewegung und die Verteilung von Energie

• Erkläre, warum eine rollende Kugel den Fuß einer schiefen Ebene langsamer erreicht als ein gleitender Klotz, der aus derselben Höhe losgelassen wurde, und gib an, wo die fehlende translatorische kinetische Energie geblieben ist.
• Leiten Sie die Faktoren 10/7 und 5/7 aus dem Trägheitsmoment einer Solidkugel, I = (2/5)mr, her.², und der Rollbedingung v = ωr.

Vorhersage aus der Erhaltung der mechanischen Energie

• Verwende mgh = ½mv² + ½Iω² die Geschwindigkeit der Murmel am Fuß einer schiefen Ebene allein aus der Fallhöhe vorherzusagen, noch bevor eine Messung durchgeführt wird.
• Erkenne, dass die Vorhersage nur vom vertikalen Gefälle abhängt, sodass Rampenlänge, Krümmung und Winkel nur über h = Δx · sin θ eingehen.

Kinematik des Starts und des Fluges

• Berechne die Verzögerung einer rollenden Kugel auf einer steilen Steigung und wende v an_a² = v_d² + 2aΔx, um die Geschwindigkeit zu finden, mit der die Murmel die Rampe verlässt.
• Zerlegen Sie diese Geschwindigkeit in Komponenten und berechnen Sie die Scheitelhöhe des anschließenden Freiflugs.

Der Einfluss der Rampengeometrie

• Prognostizieren Sie und bestätigen Sie dann, dass der steilere Abstieg zu einer höheren Abwurfgeschwindigkeit und einer größeren Scheitelpunkthöhe führt, und quantifizieren Sie dies um wie viel.
• Erkläre, warum die beiden ansteigenden Abschnitte, da sie identisch sind, die Anfangsgeschwindigkeit zur einzigen Variablen machen, die über die Endhöhe entscheidet.

Messung mit Fotodiodenschranken und einem elektronischen Zeitmesser

• Platziere die beiden Tore richtig, starte einen Durchlauf mit Knopf A oder Knopf B und lese den Wert aus, den der Timer zurückgibt.
• Beschreiben Sie, was das Instrument tatsächlich misst und was über das Gerät bekannt sein muss, bevor dieser Messwert in eine Geschwindigkeit umgerechnet werden kann.

Modellvergleich mit der Messung

• Quantifizieren Sie die Differenz zwischen den vorhergesagten und den gemessenen Werten und erklären Sie diese anhand von Rollwiderstand und Luftwiderstand.

Protokoll

Einleitung

1. Wir möchten die Geschwindigkeit am Ende der abfallenden Rampe für jede Rampe schätzen, um abzuschätzen, welche Rampe dem Ball die höchste Abfluggeschwindigkeit verleiht.
2. Für dieses Labor werden zwei verschiedene Rampen verwendet:

• Rampe 1 ist 0,259 m hoch und hat einen Neigungswinkel von 15°
• Rampe 2 ist 0,342 m hoch und hat einen Neigungswinkel von 20°

3. Jede der beiden Rampen kann in zwei Abschnitte unterteilt werden: einen absteigenden und einen aufsteigenden Abschnitt.
4. Die beiden Rampen unterscheiden sich hinsichtlich des Winkels und der Höhe ihres absteigenden Teils. Die Länge des absteigenden Teils beider Rampen beträgt 1 m.
5. Der aufsteigende Teil jeder Rampe ist ansonsten identisch.

Manipulationen A

Unter Berücksichtigung der oben angegebenen Parameter und der Tatsache, dass die Erdbeschleunigung 9,8 m/s² beträgt, schätzen Sie die Geschwindigkeit am Ende jeder absteigenden Rampe (in m/s).

1. Positionieren Sie einen der Stoppuhrsensoren auf der kleinen Platine am Ende der abfallenden Rampe (weiße Position). Positionieren Sie den zweiten Sensor auf der anderen kleinen Platine am Ende der Rampe (schwarze Position).
2. Positionieren Sie die Murmel oben auf Rampe 1 auf der grauen horizontalen Linie.
3. Drücken Sie Taste A, um die Geschwindigkeit des Marmors am Ende der absteigenden Rampe 1 zu erhalten.
4. Beobachten Sie die Demonstration.
5. Die Demonstrationsdaten werden in die Ergebnistabelle eingetragen. Konsultieren Sie die erhaltenen Daten, um sie mit Ihren Berechnungen zu vergleichen.
6. Wiederholen Sie die Schritte 2 bis 5 mit Rampe 2.

Frage A

Die Geschwindigkeit am unteren Ende jeder absteigenden Rampe kennen, unter Berücksichtigung folgender Parameter:

• Länge der Auffahrrampen: 0,17 m
• Winkel der Auffahrrampen: 45°

Welche maximale Höhe wird jeder Marmorstein erreichen (in m)?

Manipulationen B

1. Positionieren Sie die Murmel oben auf Rampe 1 auf der grauen horizontalen Linie.
2. Drücken Sie Taste B, um die maximale Höhe zu erreichen, die der Marmor nach dem Abheben von Rampe 1 erreicht.
3. Beobachten Sie die Demonstration.
4. Die Demonstrationsdaten werden in die Ergebnistabelle eingetragen. Konsultieren Sie die erhaltenen Daten, um sie mit Ihren Berechnungen zu vergleichen.
5. Wiederholen Sie die Schritte 1 bis 4 mit Rampe 2.

Fragen B

1. Welche Rampe wird den Marmor auf seine maximale Höhe bringen?
2. Wenn die Berechnungen von den experimentellen Daten abweichen, welche Faktoren erklären diese Unterschiede?

Erwartete Ergebnisse

Das Gerät liefert diese Parameter, und jede folgende Abbildung leitet sich daraus ab:

• Fallende Länge beider Rampen Δx_d = 1,0 m
• Neigungswinkel der Rampe 1, θ_d1 = 15°, fällt Rampe 1 also um 1,0 × sin 15° = 0,259 m
• Neigungswinkel der Rampe 2, θ_d2 = 20°, fällt Rampe 2 also um 1,0 × sin 20° = 0,342 m
• Ansteigende Länge beider Rampen Δx_a = 0,17 m bei θ_a = 45°, sodass die Lippe jeder Rampe h₀ = 0,17 × sin 45° = 0,12 m über dem Tisch
• Erdbeschleunigung g = 9,8 m/s²

Schritt 1 – Geschwindigkeit am Fuß jedes Abhangs. Eine Kugel, die rollt, ohne zu rutschen, speichert kinetische Energie gleichzeitig in zwei Formen, und beide müssen aus der potenziellen Energie bezahlt werden, die sie abgibt:

mgh = ½mv²² + ½Iω², mit I = (2/5)mr² und ω = v/r

Durch Einsetzen des Trägheitsmoments und der Rollbedingung reduziert sich der Rotationstterm auf (1/5)mv², also mgh = ½mv²² + (1/5)mv² = (7/10)mv². Die Masse kürzt sich heraus, und durch Umstellen erhält man die Arbeitsgleichung für eine rollende Kugel auf einer beliebigen schiefen Ebene:

v = √(10 g Δx sin θ / 7)

Einmaliges Zeigen der Substitution für Rampe 1:

v_d1 = √((10 × 9,8 × 1,0 × sin 15°) / 7) = √((10 × 9,8 × 0,259) / 7) = √3,62 = 1,91 m/s

und für Rampe 2, deren Gefälle 0,342 m beträgt:

v_d2 = √((10 × 9,8 × 0,342) / 7) = √4,79 = 2,19 m/s

Schritt 2 – Verzögerung im ansteigenden Abschnitt. Dieselben Berechnungen bergauf liefern die Beschleunigung einer rollenden Kugel auf einer schiefen Ebene. Sie ist eine Konstante, hängt nicht von der Masse oder dem Radius der Kugel ab und beträgt fünf Siebtel von dem, was ein reibungsfreier Gleitblock erfahren würde:

a = −(5/7) g sin θ_a = −(5 × 9,8 × sin 45°) / 7 = −4,95 m/s²

Das Minuszeichen besagt, dass die Beschleunigung der Bewegung entgegenwirkt; der Faktor $\sin \theta$ ist die Komponente der Schwerkraft entlang der schiefen Ebene; die 5/7 sind wiederum der „Abzug“ dafür, dass sowohl die Rotation als auch die Translation abgebremst werden müssen.

Schritt 3 — Geschwindigkeit an der Krampe der Rampe. Mit einer konstanten Beschleunigung über eine bekannte Strecke liefert die dritte kinematische Gleichung die Geschwindigkeit, mit der die Murmel die Rampe verlässt:

v_a = √(v_d² + 2 a Δx_a)

v_a1 = √(3,62 + 2 × (−4,95) × 0,17) = √(3,62 − 1,68) = √1,94 = 1,40 m/s

v_a2 = √(4,79 − 1,68) = √3,11 = 1,76 m/s

Schritt 4 — die vertikale Komponente beim Start. Nur der vertikale Teil dieser Geschwindigkeit kann in Höhe umgewandelt werden; der horizontale Teil trägt die Murmel über die Auffangschale hinaus und ist am Scheitelpunkt immer noch vorhanden. Bei einem Abflugwinkel von 45°:

v_Ja = v_a × sin 45° → v_a1y = 1,40 × 0,707 = 0,99 m/s und v_a2y = 1,76 × 0,707 = 1,25 m/s

Schritt 5 – die Scheitelpunkthöhe. Sobald sich die Kugel in der Luft befindet, wirkt kein Drehmoment mehr auf sie, sodass sie sich mit genau der Drehzahl weiterdreht, die sie an der Kante hatte, und ihre Rotationsenergie einfach beibehalten wird, ohne am Aufstieg teilzunehmen. Wenn man die dritte kinematische Gleichung nur auf die vertikale Richtung anwendet, mit v = 0 am Scheitelpunkt und a = −g, und dabei vom Tisch statt von der Kante aus misst:

h = h₀ + v_Ja² / (2g)

h₁ = 0.12 + 0.99² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,05 = 0,17 m

h₂ = 0.12 + 1.25² / (2 × 9,8) = 0,12 + 0,08 = 0,20 m

Menge	Rampe 1	Rampe 2
Abnehmende Länge	1,0 m	1,0 m
Neigungswinkel	15°	20°
Höhenunterschied der Abfahrt	0,259 m	0,342 m
Aufsteigende Länge	0,17 m	0,17 m
Ansteigender Winkel	45°	45°
Geschwindigkeit am Fuß des Abstiegs	1,91 m/s	2,19 m/s
Geschwindigkeit an der Kante des Anstiegs	1,40 m/s	1,76 m/s
Vertikalgeschwindigkeit an der Klippe	0,99 m/s	1,25 m/s
Scheitelhöhe über dem Tisch	0,17 m	0,20 m

Warum das Ergebnis so ausfällt. Beide Abwärtsabschnitte sind gleich lang, sodass sich beide lediglich durch den Neigungswinkel unterscheiden, und dieser wirkt sich auf die Murmel ausschließlich über den vertikalen Fall Δx sin θ aus. Rampe 2 fällt 0,342 m tief, Rampe 1 hingegen nur 0,259 m – also ein Drittel weiter, und da sich v mit der Quadratwurzel des Höhenunterschieds ändert, ergibt sich aus diesem Drittel nur ein Geschwindigkeitsgewinn von 15 % – eine nützliche Erinnerung daran, dass die Geschwindigkeit eine weitaus weniger empfindliche Funktion der Höhe ist, als die Schüler erwarten. Diese 15 % werden dann in den Aufstieg mitgenommen, wo beide Rampen denselben festen Höhenunterschied von 1,68 m aufweisen²/s² aus v², und da die Maut bei Rampe 1 von einer geringeren Zahl abgezogen wird, kostet sie Rampe 1 proportional mehr: Rampe 1 verliert beim Überwinden der Kante 27 % an Geschwindigkeit, Rampe 2 nur 20 %. Rampe 2 erreicht die Kante daher 26 % schneller als Rampe 1 – ein größerer Vorsprung als am Fuß der Rampe. In der Scheitelhöhe wird dieser Vorsprung wieder verringert, da die 0,12 m der Kante selbst beiden gemeinsam sind und nur der Flug dazu beiträgt: 0,05 m gegenüber 0,08 m. Rampe 2 verleiht der Murmel die größere maximale Höhe, und die Antwort auf Frage B lautet, dass ein steilerer Abstieg gewinnt, allerdings deutlich weniger, als es der Unterschied der Winkel vermuten lassen würde.

Die beiden Routen stimmen genau überein. Die Schritte 2 und 3 verwenden ein kinematisches Argument, aber dasselbe Ergebnis folgt allein aus der Energie: (7/10)v_a² = (7/10)v_d² − gΔh mit Δh = 0,17 × sin 45° = 0,12 m ergibt v_a² = v_d² − 1,68, was genau dem Wert entspricht, den der kinematische Weg liefert. Dies ist erwähnenswert für Studierende, da es zeigt, dass der Schritt mit konstanter Beschleunigung eher eine Vereinfachung als eine zusätzliche Annahme ist und dass die Rechnung unverändert gültig bliebe, wenn die Bahnen gekrümmt statt geradlinig wären, solange die Murmel weiterrollt und die Höhenunterschiede beim Abstieg und Aufstieg unverändert bleiben.

Zusammenfassung der Aufgaben nach Klassenstufen

9. bis 10. Klasse

Fokus Beobachtung, Wortschatz und die qualitative Verbindung zwischen Höhe, Geschwindigkeit und zurückgelegter Strecke. Die Schüler lassen die Murmel auf jeder Rampe los, beobachten, was passiert, und formulieren in Worte, dass die steilere Rampe die Murmel unten schneller macht und sie nach der Kante weiter fliegen lässt. Die Worte potenzielle Energie, Kinetische Energie, rollend und gleitend eingeführt und verwendet, ohne die Gleichungen.

Aktivitäten: Sagen Sie voraus, welche Rampe gewinnen wird, bevor Sie eine der beiden starten, und zeichnen Sie die Vorhersage auf; beschreiben Sie den Unterschied zwischen den beiden Läufen in einem kurzen Absatz; markieren Sie, wo die Murmel für jede Rampe in der Schale landet, und vergleichen Sie dies; geben Sie an, welche Messungen durchgeführt werden müssten, um die Beschreibung in eine Zahl zu verwandeln. Berechnungen auf diesem Niveau erfolgen mit Unterstützung durch die Lehrkraft.

11. Klasse

Fokus quantitative Behandlung. Die Studierenden führen die vollständige Berechnung der beiden Geschwindigkeiten und der beiden Scheitelhöhen unter Verwendung des Satzes von der Erhaltung der mechanischen Energie und der dritten kinematischen Gleichung selbst durch und vergleichen jeden vorhergesagten Wert mit dem gemessenen.

Aktivitäten: Berechne v_d Berechnen Sie für beide Rampen aus den Fallhöhen die Verzögerung im ansteigenden Abschnitt und folglich v._a und v_Ja; ermitteln Sie beide Scheitelhöhen; stellen Sie die berechneten Werte den gemessenen Werten gegenüber und geben Sie die Differenz in Prozent an; erläutern Sie die Richtung dieser Differenz unter Berücksichtigung von Reibung und Luftwiderstand, anstatt sie lediglich festzustellen. Die Schüler sollten erklären können, warum die Differenz von 32 % bei der Fallhöhe nur zu einer Geschwindigkeitsdifferenz von 15 % führt.

12. Klasse / College-Niveau

Fokus Herleitung, Modellvalidierung und Fehleranalyse. Die Faktoren 10/7 und 5/7 werden hergeleitet statt nur zitiert, und die Annahmen, die ihnen zugrunde liegen, werden explizit gemacht und getestet.

Aktivitäten: Leite v = √(10gh/7) aus mgh = ½mv² ab² + ½Iω² für eine Vollkugel und wiederholen Sie die Ableitung für eine Hohlkugel ($I = \frac{2}{3}mr^2$)², Faktor 6/5) und einen Zylinder, prognostizieren Sie dann, wie sich die Ergebnisse ändern würden; zeigen Sie, dass der Energie- und der kinematische Weg zu v_a sind algebraisch identisch und erklären, warum die Krümmung der Rampe daher keine Rolle spielt; identifizieren Sie systematische und zufällige Fehlerquellen getrennt und schätzen Sie die Größe jeder einzelnen ab; geben Sie an, wie sich die am Scheitelpunkt verbleibende Rotationsenergie auf den Flug auswirkt, und quantifizieren Sie den Fehler, der durch ihre Vernachlässigung entsteht; bewerten Sie, ob ein einzelner Durchlauf pro Rampe die gezogene Schlussfolgerung stützen kann, und entwerfen Sie den Wiederholungsplan, der dies tun würde.

Labor-Grundausstattung

Instrumente

• Rampe 1 – absteigender Abschnitt 1,0 m lang bei 15° (fällt um 0,259 m), aufsteigender Abschnitt 0,17 m bei 45°
• Rampe 2 — absteigender Abschnitt 1,0 m lang bei 20° (fällt um 0,342 m), aufsteigender Abschnitt 0,17 m bei 45°
• Marmorkugel (Massivkugel)
• Zwei Lichtschranken auf Stativen, eine am Fuß der Abfahrt und eine am Ende der Rampe
• Elektronischer Timer mit Digitalanzeige, mit den Toren verdrahtet
• Taste A (Geschwindigkeit am Fuß der Abfahrt) und Taste B (maximale Höhe nach dem Absprung)
• Mit Sand gefüllte Landeschale mit skalierter Kante
• Herrscher

Produkte

• Keine — dieses Labor verwendet keine chemischen Produkte.