054 – La relación entre el volumen y la presión de un gas 1

Un gas no tiene un tamaño fijo. Comprímalo y ocupa menos espacio; suéltelo y se expande de nuevo. Los ingenieros dependen de ese comportamiento cada vez que diseñan una bomba para bicicleta, la carrera de compresión de un motor, un regulador de buceo, un freno neumático o una jeringa, y así es como funciona la respiración: la cavidad torácica se ensancha, la presión dentro de los pulmones cae por debajo de la presión de la habitación y el aire fluye hacia adentro. La afirmación cuantitativa detrás de todo esto es la ley de Boyle: a temperatura constante, una cantidad fija de gas cumple que P × V = constante, por lo que la presión y el volumen son inversamente proporcionales.

La razón microscópica es que la presión no es más que la fuerza acumulada de las moléculas que chocan contra las paredes de su recipiente. Comprimir un gas no hace que sus moléculas sean más rápidas; eso requeriría calentarlas. Agrupa el mismo número de moléculas en un espacio más pequeño, por lo que más de ellas llegan a la pared cada segundo y la fuerza por unidad de área aumenta en proporción exacta al amontonamiento. Reduzca el volumen a la mitad y la presión se duplica; duplique el volumen y se reduce a la mitad.

En este laboratorio sellarás exactamente 50 mL de aire ambiente dentro de una jeringa graduada, la conectarás a un manómetro de carátula mediante un conector hermético y luego cambiarás el volumen en pequeños pasos —primero sacando el émbolo hacia los 100 mL, luego empujándolo hacia los 20 mL— leyendo la presión en cada paso. Graficar la presión frente al volumen da una hipérbola; graficarla frente al recíproco del volumen endereza esa hipérbola convirtiéndola en una línea que pasa por el origen cuya pendiente es la constante P₁V₁. Devolver el émbolo a 50 mL al final de cada etapa y comprobar que la presión inicial se recupera es la prueba de fugas que determina si se puede confiar en la corrida.

Metas educativas

Familiarización con el entorno de laboratorio

• Identifique la jeringa graduada, el manómetro de carátula y el conector hermético, y explique qué aporta cada uno a una medición de gas sellado.
• Explique por qué el ensamblaje debe ser hermético antes de que valga la pena registrar una sola lectura.

Manipulación de un sistema de gas sellado

• Ajuste el émbolo a un volumen inicial exacto antes de cerrar el sistema y explique por qué ese volumen de sellado fija la constante para toda la prueba.
• Mueva el émbolo en pasos controlados, usando el controlador, con una mano o mediante el método de seguimiento de manos, sin romper el sello.

Medición y registro de datos

• Lea una carátula analógica a la graduación más cercana y estime a media división.
• Registre el volumen y la presión como pares coincidentes en todo el rango de 20 a 100 mL en lugar de en unos pocos puntos dispersos.

Tratamiento cuantitativo de la ley de Boyle

• Calcula el producto P × V en cada punto y prueba si permanece constante.
• Convierta el volumen a 1/V y grafique la presión en función de este, reconociendo una línea recta que pasa por el origen como la firma de una proporcionalidad inversa.
• Predice la presión a un volumen que no fue medido a partir de P₁V₁ = P₂V₂, luego compara la predicción con una lectura.

Control experimental y validez

• Lleve a cabo la verificación de retorno a 50 mL e interprete una discrepancia como una fuga en lugar de como una falla de la ley.
• Explique por qué se debe permitir que el gas regrese a la temperatura ambiente antes de cada lectura, y qué le hace una carrera apresurada a los datos.

Protocolo

En este laboratorio, usará la jeringa. Así es como debe proceder:

• Uso de los controles: Agarre la jeringa con cualquiera de los controles. Para seleccionar la dirección en la que desea mover el pistón, presione los botones X – Y (control izquierdo) o los botones A – B (control derecho) para alternar entre las acciones de empujar y tirar. Luego, simplemente presione el botón del gatillo para mover el pistón en la dirección elegida (consulte el video tutorial si es necesario).
• Modo a una mano: Tome la jeringa. Para seleccionar la dirección en la que desea mover el émbolo, presione el botón Atrás para alternar entre las acciones de empujar y tirar. Luego, simplemente haga clic en el botón del panel táctil para mover el émbolo en la dirección elegida.
• Con las manos: Tome la jeringa con una mano y, con la otra mano, presione la flecha que apunta en la dirección en la que desea mover el émbolo. Mientras mantiene la mano cerrada sobre la jeringa, solo necesitará abrir y pellizcar su dedo índice y pulgar para mover el émbolo en la dirección elegida (consulte el video tutorial si es necesario).

Mide la presión de un gas

1. Tire del émbolo de la jeringa hasta que contenga exactamente 50 mL de aire.
2. Conecte la jeringa al manómetro de carátula utilizando los accesorios adecuados. El conjunto debe ser perfectamente hermético y debe poder soportar una presión significativa.
3. Tire del émbolo para aumentar el volumen en 10 mL. Lea la medición de presión.
4. Repita el paso 3 varias veces (a intervalos de 5 mL) hasta alcanzar un volumen de 100 mL.

• Mantenga presionado el botón de interacción de la jeringa para contrarrestar la diferencia de presión durante unos segundos y luego permita que el volumen disminuya en la jeringa.

5. Espere a que la jeringa regrese a un volumen de 50 mL y asegúrese de que la presión coincida con la medida en el paso 3. Si este no es el caso, se debe reiniciar el experimento.
6. Empuje el émbolo para reducir el volumen en 5 mL. Lea la medición de presión y registre las mediciones en la tabla de resultados.
7. Repita el paso 7 varias veces (en intervalos de 5 mL) hasta alcanzar un volumen de 20 mL.

• Mantén presionado el botón de interacción de la jeringa para contrarrestar la diferencia de presión durante unos segundos y luego permite que el volumen vuelva a subir a la jeringa.

8. Espere a que la jeringa regrese a un volumen de 50 mL y asegúrese de que la presión coincida con la medida en el paso 3. Si este no es el caso, se debe reiniciar el experimento.

Resultados esperados

Resultados esperados. La jeringa contiene una cantidad fija de aire a temperatura ambiente. Mover el émbolo cambia el volumen; el manómetro registra la presión del gas atrapado. Los diecisiete volúmenes a continuación son los que exige el protocolo, enumerados del mayor al menor.

El único resultado a destacar. Los diecisiete productos de la última columna promedian 5.08 × 10³ kPa·mL, y cada uno de ellos se encuentra entre 5035 y 5110 — un rango de ±0,7 % alrededor de la media. Mientras tanto, el volumen varía en un factor de cinco y la presión en el mismo factor, pero en sentido contrario. Una cantidad que se mantiene estable con una variación de menos del uno por ciento, mientras que sus dos componentes varían cada uno en 500 %, no se mantiene estable por casualidad. Esta es la ley de Boyle:

P × V = constante (a temperatura constante y cantidad fija de gas)

o, al comparar dos estados cualesquiera de la misma muestra, P₁V₁ = P₂V₂. Tomando la primera y la última fila como referencia: 51 × 100 = 5100, y 254 × 20 = 5080. Los dos valores coinciden con una precisión de 0,4 %, en la separación máxima que permite el aparato.

Los dos gráficos, y por qué el segundo importa. Representar la presión frente al volumen da una curva que cae bruscamente a volúmenes pequeños y se aplana hacia los grandes: una hipérbola. Tiene la forma correcta, pero una curva es evidencia débil: muchas funciones decrecientes se ven así a simple vista, y ninguna de ellas puede distinguirse de las demás sin mucho cuidado.

Graficando la presión frente al recíproco de volumen convierte el reclamo en una línea recta. Si P = constante / V, luego P graficado contra 1/V es una línea recta de pendiente igual a esa constante, que pasa por el origen. Ambas condiciones importan, y cada una tiene su propio significado:

• El pendiente es la constante misma. Lea estos datos, se trata de aproximadamente 5.08 × 10³ kPa·mL: el mismo número que el promedio de la cuarta columna, obtenido de manera independiente.
• El interceptar debe ser cero. Un volumen infinito significaría presión cero. Una línea que no pasa por el origen apunta al aparato —véase la nota sobre el volumen muerto más abajo—, no a un fallo de la ley.

Una línea recta es mucho más fácil de juzgar que una curva, y esta es la lección general: cuando se sospecha una relación, encuentre la variable que la haga lineal y grafique esa en su lugar. La física está llena de ejemplos: el período frente a la raíz cuadrada de la longitud para un péndulo, la corriente frente al voltaje para un resistor.

Por qué el producto se mantiene constante. La presión es el efecto acumulado de las moléculas de gas al golpear las paredes: cada impacto produce un pequeño impulso, y la presión es el impulso total por segundo por unidad de área. Reduzca el volumen a la mitad y el mismo número de moléculas se confina en la mitad del espacio, por lo que cada una choca contra una pared el doble de veces. Nada en las colisiones individuales cambia: las moléculas no son más rápidas, porque la temperatura no ha cambiado, y su velocidad promedio está determinada únicamente por la temperatura. Solo cambia la tasa de colisiones, y lo hace en proporción exacta al grado de aglomeración. El doble de densidad numérica, el doble de presión.

Esto también muestra por qué la ley necesita sus dos condiciones. Temperatura constante, porque calentar el gas haría que las moléculas fueran más rápidas y cada impacto más fuerte, elevando la presión sin ningún cambio en el volumen. Cantidad constante de gas, porque una fuga elimina moléculas y reduce la tasa de colisiones. Una jeringa que gotea lentamente produce un producto que se desplaza hacia abajo a través de la corrida en lugar de dispersarse aleatoriamente alrededor de una media, que es como se distingue una fuga de un error de lectura ordinario.

De ida y vuelta: la carrera es reversible. El protocolo no barre el volumen una sola vez. Se desplaza desde 50 mL hasta 100 mL, regresa a 50, se comprime hasta 20 mL y luego vuelve a 50 de nuevo. Por lo tanto, cada volumen se visita al aire al menos dos veces, y en cada uno la presión se lee igual a la ida que a la vuelta: 85 kPa a 60 mL en ambas direcciones, 127 kPa a 40 mL en ambas direcciones, 102 kPa a 50 mL en las cuatro visitas.

Vale la pena señalar esa repetibilidad a los estudiantes, porque está realizando un trabajo real. Muestra que el gas regresa con precisión a su estado anterior, por lo que no se perdió nada y nada cambió permanentemente: el sello resistió y cualquier calor generado por la compresión tuvo tiempo de salir. Un rastro que hizo no retrasarse a sí misma —presiones más altas durante la compresión que durante la expansión al mismo volumen— indicaría ya sea una fuga o un gas que no había regresado a la temperatura ambiente. Nada de esto ocurre aquí, lo cual es lo que autoriza tratar toda la corrida como un único conjunto de datos isotérmicos en lugar de como dos experimentos separados.

¿Cuánta gasolina hay en la jeringa?. La constante no es meramente un número que da la casualidad de quedarse quieto; es nRT. A partir de la ley de los gases ideales PV = nRT, y 5.08 × 10³ kPa·mL son 5,08 J, por lo que a 20 °C:

n = PV / RT = 5.08 / (8.314 × 293) = 2.1 × 10⁻³ mol

aproximadamente 2,1 milimoles, o cerca de 60 mg de aire — unos 1,3 × 10²¹ moléculas. Un estudiante que llega a este número ha hecho algo más que confirmar una proporcionalidad: ha contado las moléculas en una jeringa a partir de dos lecturas del dial, lo cual es una justa demostración de para qué sirve una ley física.

Presión manométrica y presión absoluta. El instrumento en este laboratorio reporta absoluto presión —presión medida desde un vacío absoluto— y la ley de Boyle no requiere menos. La lectura de 102 kPa a 50 mL es la confirmación: el émbolo está en reposo, por lo que el gas atrapado se encuentra a presión atmosférica, y 102 kPa es la presión atmosférica. Un manómetro que midiera a partir de la atmósfera habría mostrado 0 kPa en ese punto, y sus lecturas no cumplirían ninguna ley simple en absoluto. Si un estudiante alguna vez trabaja con un instrumento manométrico, se debe sumar la presión atmosférica a cada lectura antes de calcular el producto.

Por qué no se deben apresurar las lecturas. Comprimir un gas realiza trabajo sobre él y lo calienta; dejarlo expandirse lo enfría. Empuje el émbolo rápidamente de 50 mL a 20 mL y el gas estará momentáneamente muy por encima de la temperatura ambiente, por lo que la presión se lee alta; el valor luego disminuye durante varios segundos a medida que el calor atraviesa la pared de la jeringa. La ley supone una temperatura constante, por lo que cada lectura debe tomarse después de que el gas se haya estabilizado. Apurar las carreras de compresión y no las de expansión es lo que produce una diferencia aparente entre ambas direcciones donde no existe ninguna.

Volumen muerto y cómo detectarlo. El gas en el aparato no es solo el gas frente a las graduaciones: un poco permanece en el conector y en el propio manómetro. Si ese volumen muerto es V₀, el volumen verdadero es V + V₀ y la constante se convierte en P(V + V₀). Usar la lectura de la escala por sí sola hace que el producto se desvíe hacia arriba a medida que se reduce el volumen, ya que un volumen adicional fijo importa mucho más a 20 mL que a 100 mL. La gráfica recíproca lo deja en evidencia: el volumen muerto desplaza la línea recta del origen. Estos datos no muestran tal desviación —los productos a 20 y 100 mL coinciden dentro de la dispersión—, por lo que cualquier volumen muerto es pequeño en comparación con el volumen más pequeño utilizado.

Resumen de tareas por rango de calificaciones

Grado 9-10

Concéntrate. Observación y vocabulario. Los estudiantes aprenden que un gas se puede comprimir, que se requiere un sistema sellado para que la medición tenga algún significado, y que la presión y el volumen se mueven en direcciones opuestas.

• Selle 50 mL de aire, tome lecturas a 100, 80, 60, 40 y 20 mL, y describa con palabras qué le sucede a la presión.
• Esboza la presión frente al volumen a mano y nombra la curva como una decreciente que nunca llega a cero.
• Responda a la pregunta cualitativa: ¿cuál sería la lectura a 25 mL, mayor o menor que a 40 mL, y aproximadamente cuánto más?
• Use la verificación de regreso a 50 mL e indique qué significaría una discrepancia.

Undécimo grado

Concéntrate. Tratamiento cuantitativo. Los estudiantes toman la serie completa, calculan el producto P × V y comprueban la afirmación de constancia numéricamente en lugar de a simple vista.

• Registre los quince volúmenes medidos, tabule V, 1/V, P y P × V, y comente sobre la dispersión de la última columna.
• Grafique P contra 1/V, trace la mejor línea recta y obtenga su pendiente; compare la pendiente con P₁V₁ = 101.3 kPa × 50 mL.
• Use P₁V₁ = P₂V₂ predecir la presión a un volumen no medido, y luego medirla.
• Explique por qué el manómetro debe leerse en presión absoluta y muestre cómo se ve la gráfica si no es así.

12.º grado / Nivel universitario

Concéntrate. Derivación, análisis de errores e interpretación independiente. Se espera que los estudiantes conecten la ley macroscópica con la ley de los gases ideales y con la teoría cinética, y que cuantifiquen qué limita el experimento.

• Derivar P ∝ 1/V a partir de PV = nRT y de P = (1/3)(N/V)m〈v²〉², y establezca qué suposiciones hace cada derivación.
• Calcule n para la muestra sellada y conviértala a una masa de aire y a un conteo de moléculas.
• Trate el volumen muerto cuantitativamente: ajuste 1/P frente a V, extraiga la ordenada al origen y establezca el valor de V_d Implica.
• Compare las predicciones isotérmica y adiabática para una compresión de 50 mL a 25 mL y explique, en términos de energía, por qué la presión adiabática es la mayor de las dos.

Elementos esenciales para el laboratorio

Instrumentos

• Jeringa graduada, 100 mL, graduada en 1 mL
• Manómetro de carátula, 0–1000 kPa, lectura en kPa
• Conexión hermética que une la jeringa al manómetro

Productos

• Aire — 50 mL de aire ambiente, sellado en la jeringa a presión atmosférica