083 – La energía mecánica de un objeto en movimiento

Un péndulo oscilante es la demostración más clara en la física de que la energía puede cambiar de forma sin cambiar de cantidad. Es también, históricamente, una de las más trascendentales: la constancia de la oscilación de un péndulo le dio al mundo sus primeros relojes precisos, mantuvo ese papel durante casi tres siglos y todavía se utiliza para medir la gravedad local con la precisión suficiente para mapear la densidad de la roca debajo de un sitio de estudio. El mismo principio rige a un niño en un columpio, a una bola de demolición, a una patineta en una rampa y al amortiguador suspendido que estabiliza un edificio alto con el viento.

La energía mecánica de un objeto es la suma de su energía potencial gravitatoria, E_p = m g h, y su energía cinética, E_k = ½ m v². Cuando no actúa la fricción, esa suma se conserva: lo que una forma pierde, la otra lo gana, instante tras instante. Un péndulo hace visible el intercambio porque separa ambas formas en el espacio. En los extremos del balanceo la masa está momentáneamente en reposo en su punto más alto, por lo que la energía es enteramente potencial; en la parte más baja del arco la masa está en su punto más bajo y se mueve con mayor rapidez, por lo que la energía es enteramente cinética. Cada posición intermedia contiene una mezcla cuyo total es siempre el mismo.

En este laboratorio suspenderá una masa de 50 g de una varilla rígida en un soporte universal, la separará 15° de la vertical y medirá la altura que se ha elevado por encima de su posición de reposo. Al soltarla, cronometrará cinco oscilaciones completas. Luego repetirá todo el procedimiento a 30°. A partir de las dos alturas, calculará la energía potencial almacenada al inicio de cada oscilación, y a partir de la conservación de la energía mecánica deducirá la velocidad que alcanza la masa en el punto más bajo de su arco, una velocidad que el aparato nunca mide directamente, pero que el balance energético proporciona sin necesidad de hacerlo.

Metas educativas

Familiarización con el entorno de laboratorio

• Arme un péndulo en un soporte universal, ajustando la altura de la pinza de modo que la masa oscile sin tocar la mesa a una distancia conocida.
• Identifique la posición de reposo de la masa como el nivel de referencia a partir del cual se mide cada altura en el experimento.

Medición cuidadosa de longitud, ángulo y tiempo

• Establezca un ángulo de lanzamiento con respecto a la vertical y mida una altura por encima de la mesa con una regla, registrando ambos con la precisión que el instrumento permita.
• Mide cinco oscilaciones completas en lugar de una, y explica por qué cronometrar varias y dividir da un mejor periodo que cronometrar una.

Calculando la energía potencial gravitacional

• Convierta las masas a kilogramos y las alturas a metros antes de sustituir, y calcule E_p = m g h con el procedimiento mostrado.
• Explica por qué solo el cambiar en la altura importa, y por qué la elección del nivel de referencia no afecta el resultado.

Aplicando la conservación de la energía mecánica

• Estado que E_p + E_k es constante en ausencia de fricción, e identifique los dos puntos del balanceo en los que un término es cero.
• Deduzca la velocidad máxima a partir de ½ m v² = m g h, y demuestre que la masa se cancela del resultado.

Relacionar el ángulo de salida con la energía

• Relacione la altura elevada con el ángulo de liberación mediante h = L (1 − cos θ), y úselo para encontrar la longitud del péndulo a partir de las alturas medidas.
• Explica por qué duplicar el ángulo de liberación casi cuadruplica la energía almacenada pero solo duplica la velocidad máxima.

Comprobando el modelo

• Calcula el periodo a partir de T = 2π√(L/g), compáralo con el tiempo medido para cinco oscilaciones y establece lo que la comparación demuestra.
• Un péndulo real perdería energía gradualmente debido a la fricción con el aire y la resistencia en su punto de pivote, lo que haría que su amplitud disminuyera hasta detenerse por completo. Esa energía se disiparía en forma de calor y sonido en el entorno.

Protocolo

1. Cuelgue una pinza en el soporte universal; lo más alto posible.
2. Cuelgue un transportador en el pie del soporte universal.
3. Suspenda una varilla rígida móvil de la pinza. Deje una distancia de al menos 20 cm entre la masa del péndulo y la mesa.
4. Cuelgue una masa de plomo de 50 g de la varilla rígida.
5. Utilizando las flechas rojas ubicadas a cada lado de la parte superior de la varilla rígida, coloque el péndulo en un ángulo de 15° con respecto a la vertical.
6. Mida la altura inicial de la masa del péndulo en relación con la mesa utilizando las reglas de 50 cm (tome la medida desde la parte superior de la masa).
7. Usando el cronómetro, mida el tiempo necesario para que el péndulo complete 5 oscilaciones completas (de ida y vuelta).
8. Active el botón de inicio en el cronómetro, lo cual liberará el péndulo.
9. Cuando se hayan completado 5 oscilaciones (de ida y vuelta), detenga el cronómetro.
10. La altura final cuando el péndulo alcance el otro extremo de su trayectoria será idéntica a la altura inicial (ya medida en el paso 6).

-> Los resultados, tiempo de oscilación y mediciones de altura, se registrarán en la tabla de resultados.

11. Reiniciar el cronómetro.
12. Repita los pasos 5 al 10 colocando el péndulo en un ángulo de 30° con respecto a la vertical.
13. Verifique los datos recopilados en la tabla de resultados.

Resultados esperados

Las medidas. La masa es de 50 g = 0.050 kg y se toma g como 9.8 N/kg. La posición de reposo de la masa se encuentra a 20.0 cm por encima de la mesa, y ese es el nivel de referencia para cada altura inferior.

Energía potencial en el momento de la liberación. Con la masa momentáneamente en reposo, toda su energía mecánica es potencial:

E_p = m g h

A los 15°: E_p = 0.050 kg × 9.8 N/kg × 0.026 m = 0.013 J.
A 30°: E_p = 0.050 kg × 9.8 N/kg × 0.100 m = 0.049 J.

Velocidad máxima en el punto más bajo del columpio. En el punto más bajo, la masa ha regresado a su altura de reposo, por lo que su energía potencial en relación con ese nivel es cero y toda la energía mecánica se ha vuelto cinética. Igualando ambas,

½ m v² = m g h → v = √(2 g h)

La masa aparece en ambos lados y se cancela, lo cual es la línea más instructiva de toda esta página: la velocidad en el fondo no depende en absoluto de la masa. Un péndulo de 50 g y uno de 500 g soltados desde la misma altura llegan al fondo viajando exactamente a la misma velocidad, porque el más pesado almacena diez veces más energía, pero también necesita diez veces más para alcanzar cualquier velocidad dada. Sustituyendo,

A 15°: v = √(2 × 9.8 × 0.026) = √0.5096 = 0.71 m/s.
A 30°: v = √(2 × 9.8 × 0.100) = √1.96 = 1.4 m/s.

Las mismas respuestas se siguen de v = √(2E_k/m) utilizando las energías anteriores, como deben hacerlo; la segunda ruta es más rápida y muestra la independencia de la masa directamente.

Por qué duplicar el ángulo no duplica la energía. La geometría del columpio da la elevación como h = L (1 − cos θ). Debido a que 1 − cos θ ≈ θ²/2 para ángulos pequeños medidos en radianes, la altura —y por tanto la energía— crece con el cuadrado del ángulo de lanzamiento, mientras que la velocidad, al ser la raíz cuadrada de la energía, crece en proporción directa a ella. Los datos lo confirman exactamente: la energía aumenta de 0.013 J a 0.049 J, un factor de 3.8 donde θ² predice 4.0, y la velocidad aumenta de 0.71 a 1.4 m/s, un factor de 1.97 donde la predicción es 2.0. Un estudiante que espera que el doble del ángulo dé el doble de energía estará equivocado por un factor de dos, y vale la pena explicar la razón en lugar de limitarse a corregirla.

Para qué es la medición de tiempo. El protocolo indica que cronometres cinco oscilaciones completas en cada ángulo, y esta es la parte del experimento que el cálculo anterior nunca aborda. Su propósito es probar una afirmación separada y mucho menos obvia: que el período de un péndulo no depende de qué tan lejos se balancee. Para amplitudes pequeñas,

T = 2π √(L / g)

que no contiene ni la masa ni la amplitud. Con la longitud de 0,75 m implícita en las mediciones de altura, T = 2π √(0,75 / 9,8) = 2π × 0,277 = 1.74 s, por lo que cinco oscilaciones deberían tomar aproximadamente 8.7 s — y, fundamentalmente, de unos 8.7 s en ambos ángulos de liberación, a pesar de que el balanceo de 30° transporta casi cuatro veces la energía y viaja al doble de velocidad. La amplitud tiene un pequeño efecto, dado en primera aproximación por T ≈ T₀ (1 + θ²/16), lo que añade 0,4 % a 15° y 1,7 % a 30°; por lo tanto, cinco oscilaciones deberían tardar aproximadamente 8,73 s y 8,84 s, lo que supone una diferencia de alrededor de una décima de segundo.

Un sistema cuya energía puede cuadruplicarse sin cambiar su periodo es la definición de un oscilador armónico, y esa propiedad —no la precisión de fabricación— es lo que hizo posible el reloj de péndulo: un reloj cuyo mecanismo de escape permite que la oscilación decaiga un poco marca la misma hora sin importar qué.

Resumen de tareas por rango de calificaciones

Grado 9-10

Enfoque observar el intercambio entre las dos formas de energía y medir las cantidades que lo describen.

• Arma el péndulo, establece el ángulo de liberación en 15° y mide la altura de la masa sobre la mesa al liberarla y en reposo; calcula la elevación.
• En un columpio, la masa se encuentra en su punto más alto en los dos extremos del movimiento (cuando el columpio llega lo más lejos posible hacia adelante o hacia atrás). Es más rápida en el punto más bajo (el centro de la trayectoria, cuando pasa por el punto de equilibrio). Y está momentáneamente detenida en los dos puntos extremos, justo antes de cambiar de dirección y empezar a regresar.
• Calcular la energía potencial en el punto de liberación E_p = m g h, convirtiendo los gramos a kilogramos y los centímetros a metros antes de sustituir.
• Mide el tiempo de cinco oscilaciones y divídelo entre cinco para obtener el periodo; repítelo a 30° e indica si el periodo cambió.

Undécimo grado

Enfoque utilizando la conservación de la energía mecánica para obtener una cantidad que el aparato nunca mide.

• Establezca la ley de conservación de la energía mecánica e identifique el punto en el columpio donde E_p = 0 y el punto donde E_k = 0.
• Calcule la velocidad máxima en ambos ángulos a partir de ½ m v² = m g h, mostrando la sustitución completa una vez.
• Demuestre algebraicamente que la masa se cancela y prediga qué le sucedería a la rapidez y a la energía si la masa de 50 g se reemplazara por una masa de 100 g.
• Use h = L (1 − cos θ) para calcular la longitud del péndulo a partir de cada lectura de altura, y comente si ambas coinciden.
• Calcula la relación de las energías y de las velocidades entre los dos ángulos, y explica por qué una relación es de aproximadamente cuatro y la otra de aproximadamente dos.
• Prediga el período a partir de T = 2π√(L/g) y compárelo con el tiempo medido para cinco oscilaciones.

12.º grado / Nivel universitario

Enfoque la derivación y el modelo del péndulo.

• Deriva v = √(2gh) a partir de la conservación de la energía mecánica y h = L (1 − cos θ), y obtén la velocidad máxima en función únicamente del ángulo de suelta para una longitud dada.
• Deduzca T = 2π√(L/g) a partir de la aproximación de ángulos pequeños para la ecuación de movimiento, indicando explícitamente dónde se usa sen θ ≈ θ y qué tan grande es el error resultante a 30°.
• Aplicar la corrección de amplitud de primer orden T ≈ T₀(1 + θ²/16) y determinar si la diferencia predicha entre los dos ángulos es detectable con el método de temporización utilizado.
• Analice cómo la masa propia de la varilla y el momento de inercia modifican el periodo, y escriba la expresión del péndulo físico T = 2π√(I / m g d) que reemplaza a la fórmula simple.
• Estime la energía que un péndulo real perdería por la resistencia del aire y la fricción del pivote durante cinco oscilaciones, y describa cómo se podría medir y utilizar la disminución de la amplitud para cuantificarla.

Elementos esenciales para el laboratorio

Instrumentos

• Apoyo universal
• Abrazadera
• Varilla móvil rígida (brazo del péndulo)
• Masa de plomo (50 g)
• Transportador de ángulos
• Reglas (50 cm) × 2
• Cronómetro / temporizador

Productos

• Ninguno: este laboratorio no utiliza reactivos químicos.