076 – Parallelschaltung einer elektrischen Schaltung

Fast jede elektrische Installation außerhalb einer Lichterkette ist parallel geschaltet. Die Lampen in einem Klassenzimmer, die Steckdosen entlang einer Wand, die Paneele einer Solaranlage und die Zellen eines Akkupacks sind alle über dieselben beiden Versorgungsschienen verbunden, sodass jedes Einzelne die volle Versorgungsspannung erhält und ein- oder ausgeschaltet werden kann, ohne die anderen zu beeinträchtigen. Die Alternative – Geräte nacheinander in einer einzigen Schleife zu verdrahten, wie in Labor 075 – macht jedes Gerät von allen anderen abhängig, weshalb früher eine defekte Glühbirne eine ganze Lichterkette dunkel werden ließ.

Die Physik der Anordnung beruht auf zwei Aussagen. Da jeder Zweig zwischen demselben Punktpaar angeschlossen ist, liegt an jedem Zweig dieselbe Spannung an. Und da sich Ladung an einem Knotenpunkt nicht ansammeln kann, müssen sich die von den Zweigen aufgenommenen Ströme zu dem von der Quelle gelieferten Strom addieren; das ist der erste Kirchhoffsche Satz. Dessen Konsequenz ist, dass sich Widerstände in Parallelschaltung nicht addieren – wohl aber ihre Kehrwerte –, sodass eine Parallelschaltung stets besser leitet als jeder ihrer einzelnen Zweige, und das Hinzufügen eines Zweigs zu einem Stromkreis den Strom erhöht, den die Stromversorgung bereitstellen muss.

In diesem Labor bauen Sie auf einer Steckplatine eine Schaltung mit zwei Zweigen auf, die an eine 12-V-Spannungsquelle und drei identische 5-Ω-Widerstände angeschlossen ist: Ein Zweig enthält zwei davon hintereinandergeschaltet, der zweite einen Schalter und den dritten Widerstand. Anschließend verwenden Sie das Multimeter zweimal – zuerst im Spannungsmessmodus, parallel zu einer Komponente geschaltet, und dann im Strommessmodus, anstelle des Schalters in den Stromkreis eingefügt –, messen den Strom in einem Zweig und den Strom an der Quelle, und nutzen den ersten Kirchhoffschen Satz zusammen mit dem Ohmschen Gesetz, um den Strom in dem Zweig zu ermitteln, den Sie nie gemessen haben, sowie den Widerstand eines Widerstands, den Sie nie entfernt haben.

Bildungsziele

Aufbauen einer Schaltung auf einem Steckbrett

• Eine Verdrahtungsanweisung, die in Zeilen- und Spaltenkoordinaten verfasst ist, in eine funktionierende Schaltung umzuwandeln und anhand der internen Verbindungen der Platine zu erkennen, welche Löcher bereits miteinander verbunden sind.
• Fügen Sie einen zweiten Zweig an einen bestehenden Schaltkreis an, ohne den ersten zu demontieren.

Die Unterscheidung zwischen einem Zweig und einer Komponente

• Geben Sie an, wie viele Zweige ein Stromkreis hat, und bestimmen Sie für zwei beliebige Bauteile, ob sie zueinander in Reihe oder parallel geschaltet sind.
• Erklären Sie, warum die beiden Widerstände des ersten Zweigs in Reihe geschaltet sind, obwohl der Zweig selbst parallel zu einem anderen liegt.

Bedienung des Multimeters

• Wählen Sie den richtigen Modus und das richtige Buchsenpaar aus und schließen Sie das Instrument parallel an eine Komponente an, um eine Spannung zu messen, aber in Reihe dazu, um einen Strom zu messen.
• Beschreiben Sie für jede dieser beiden Verbindungen, was das Messgerät mit dem Stromkreis macht, in dem es misst.

Anwendung des ersten Kirchhoffschen Gesetzes

• Formulieren Sie, dass die an einem Knotenpunkt ankommenden Ströme den abfließenden Strömen entsprechen, und verwenden Sie dies, um einen Zweigstrom zu ermitteln, der nie gemessen wurde.

Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Parallelschaltung

• Berechnen Sie den Ersatzwiderstand von zwei Zweigen aus der Summe ihrer Leitwerte und überprüfen Sie das Ergebnis anhand des gemessenen Quellstroms.
• Einen unbekannten Widerstand aus einer gemessenen Spannung und einem abgeleiteten Strom ermitteln.

Beurteilung der Messung selbst

• Erläutern Sie unter Berücksichtigung des Eigenwiderstands des Messgeräts, warum ein Voltmeter an einem stromführenden Stromkreis angeschlossen bleiben kann, ein Amperemeter hingegen nicht.
• Schätzen Sie den Fehler ab, den reale Messleitungen, reale Kontakte und ein reales Messgerät zu jedem Messwert hinzufügen würden.

Aufzeichnung und Berichterstattung

• Speichern Sie den Schaltplan in jeder Phase und protokollieren Sie jede Messung mit ihrer Einheit, damit ein anderer Student denselben Schaltkreis nachbauen und erneut messen kann.

Protokoll

Aufbau der Schaltung

Schließen Sie das Netzteil an die Reihen X und Y des Steckboards an.

1. Schalten Sie die Stromversorgung mit dem Schalter ein und notieren Sie den angezeigten Wert auf der Stromversorgung.
2. Nehmen Sie einen Draht und verbinden Sie ihn von Reihe X mit dem Standort A-10.
3. Nimm einen Widerstand aus dem Behälter rechts von dir und schließe ihn von B-10 nach B-11 an.
4. Nimm einen Widerstand aus dem Behälter rechts und schließe ihn von C-11 nach C-12 an.
5. Ziehen Sie ein Kabel von B-12 nach B-15.
6. Verbinden Sie einen Draht von E-15 mit Reihe Y.

Sie haben den ersten Zweig Ihrer Schaltung aufgebaut. Da es nur einen Zweig gibt, ist die Schaltung vorerst in Reihe geschaltet. Eine Parallelschaltung besteht aus mehreren Zweigen.

7. Nimm einen Schalter und platziere ihn auf deinem Breadboard.
8. Nehmen Sie ein Kabel und verbinden Sie es von E-10 zum Schalter.
9. Verbinden Sie einen Draht vom Schalter mit E-14.
10. Nimm einen Widerstand aus dem Behälter zu deiner Rechten und schließe ihn von D-14 nach D-15 an.
11. Stellen Sie sicher, dass der Schalter aktiviert ist. Wenn nicht, zeigt das Schaltbild nur einen Zweig an.
12. Schalte die Schaltung ein.

Schaltkreismessung

Während des Praktikums zu Reihenschaltungen hast du unwissentlich eine Parallelschaltung aufgebaut! Und ja, du hast dein Multimeter parallel zu deinem Widerstand geschaltet, um die Spannung zu ermitteln. Was würde aber passieren, wenn du das Multimeter in Reihe schalten würdest?

Um das zu wissen, muss man wissen, wie das Multimeter funktioniert. Stellen Sie sich das Multimeter als einen Widerstand vor. Wenn es auf den V-Modus eingestellt ist, ist sein Widerstand enorm! Mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln und des Ohmschen Gesetzes lässt sich nachweisen, dass das Hinzufügen eines enormen parallelen Widerstands den Ersatzwiderstand des vorherigen Stromkreises nicht beeinflusst. Allerdings wird jeder Zweig die gleiche Spannung haben!

Wenn wir jedoch diesen großen Widerstand in Reihe schalten, wird er die gesamte Spannung abgreifen und somit den Rest des Stromkreises blockieren.

Wie misst man den Strom? Wir benutzen den A-Modus des Multimeters!

In diesem Modus können wir uns vorstellen, dass der Widerstand fast Null ist! Somit gilt die Umkehrung des oben genannten Arguments. Versuchen Sie, sich selbst zu überzeugen!

Es ist Zeit, diesen neuen Modus des Multimeters zu erkunden.

13. Trenne die Steckverbinder vom Schalter.
14. Nehmen Sie einen der beiden freien Stecker und verbinden Sie ihn mit der zentralen Buchse (COM) des Multimeters.
15. Nehmen Sie den anderen Anschluss und verbinden Sie ihn mit der linken Buchse (10 A) des Multimeters.
16. Stellen Sie sicher, dass das zentrale Zifferblatt auf A zeigt.
17. Sie haben den Schalter durch das Multimeter ersetzt, wodurch letzteres in Reihe geschaltet wird. Der angezeigte Wert ist der Strom im Zweig.
18. Speichern Sie das Diagramm Ihrer Schaltung.
19. Versuchen Sie, den Strom an der Quelle zu messen.
20. Unter Verwendung des Stroms des Zweigs und der Quelle, verwenden Sie das erste Kirchhoffsche Gesetz, um den Strom im anderen Zweig zu ermitteln.
21. Versuchen Sie, die Spannung an jedem Widerstand des anderen Zweigs zu messen. Verwenden Sie dazu das Multimeter im V-Modus.
22. Mit dem Strom und der Spannung jedes Widerstands können wir das Ohmsche Gesetz anwenden und beweisen, dass sie tatsächlich denselben Widerstand haben!
23. Senden Sie die Ergebnisse

Erwartete Ergebnisse

Bauteilwerte. Die Versorgungsspannung ist auf 12 V eingestellt, und alle drei Widerstände tragen die Farbstreifen Grün – Schwarz – Gold – Braun, d. h. 5 Ω ±1 % (Labor 074 legt den Farbcode fest). Die im Protokoll vorgegebene Anordnung bestimmt alles, was folgt: In den Schritten 5 und 6 werden zwei davon in Reihe im ersten Zweig geschaltet, während in Schritt 13 der dritte als eigenständiger Zweig hinzugefügt wird. Zweig 1 weist somit 10 Ω auf und Zweig 2 5 Ω. Der Schalter aus den Schritten 9 bis 11 befindet sich in Zweig 2, und genau diesen Schalter ersetzt das Multimeter in Schritt 15, sodass der vom Messgerät angezeigte Strom der von Zweig 2 stammt.

Woher die ersten drei Reihen kommen. In Reihe geschaltete Widerstände addieren sich: R₁ = 5 Ω + 5 Ω = 10 Ω. Bei Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte G = 1/R: G_eq = 1/10 + 1/5 = 0,100 + 0,200 = 0,300 S, also R_eq = 1/0,300 = 3,33 Ω. Für genau zwei Zweige ist dies dasselbe wie das Produkt durch die Summe, (10 × 5)/(10 + 5) = 50/15 = 3,33 Ω, aber die Kehrwertform ist diejenige, die sich auf drei oder mehr Zweige verallgemeinern lässt. Man beachte, dass die Kombination kleiner ist als jeder Zweig für sich allein genommen: Dem Strom einen zweiten Pfad anzubieten, kann das Ganze nur leichter steuerbar machen.

Woher die Strömungen kommen. Jeder Zweig ist direkt an die Spannungsversorgung angeschlossen, sodass das Ohmsche Gesetz auf jeden Zweig einzeln angewendet werden kann: I₁ = V/R₁ = 12/10 = 1,20 A und I₂ = V/R₂ = 12/5 = 2.40 A. Ihre Summe, 3.60 A, ist das, was die Quelle liefern muss, und das auf den Ersatzwiderstand angewendete ohmsche Gesetz liefert unabhängig davon denselben Wert: 12/3.33 = 3.60 A. Die Übereinstimmung dieser beiden Wege ist die Überprüfung, dass die Parallelschaltungsregel korrekt angewendet wurde. Dasselbe Ergebnis kann als Stromteiler geschrieben werden, I_k = I × G_k/G_eq: I₁ = 3,60 × 0,100/0,300 = 1,20 A und I₂ = 3,60 × 0,200/0,300 = 2,40 A. Der größere Strom fließt durch den kleineren Widerstand – genau das Gegenteil des Reihenfalls aus Labor 075, bei dem der größere Widerstand den größeren Spannungsanteil aufnahm.

Was Schritt 20 tatsächlich verlangt. Es wird immer nur ein Zweigstrom gemessen, da sich das Messgerät in Zweig 2 befindet. Der erste Kirchhoffsche Satz an dem Knotenpunkt, an dem sich die Zweige treffen, liefert den anderen: I₁ = Ich_Quelle − Ich₂ = 3,60 − 2,40 = 1,20 A. Die Schritte 21 und 22 schließen dann die Argumentation ab, ohne dass der Zweig jemals geöffnet wird: Die Messung von 6,0 V an einem der Widerstände von Zweig 1 und die Division durch den abgeleiteten Strom ergibt R = V/I = 6,0/1,20 = 5,0 Ω, womit er als dasselbe Bauteil wie die anderen beiden identifiziert wird. Einen Strom abzuleiten, den man nicht erreichen kann, und ihn dann zu verwenden, um ein Bauteil zu identifizieren, das man nicht entfernen kann, ist der eigentliche Sinn des Labors.

Warum 6 V und nicht 12 V. Jeder Zweig ist direkt über die Spannungsquelle angeschlossen, sodass an jedem Zweig die volle Spannung von 12 V anliegt. Innerhalb des ersten Zweigs teilen sich diese 12 V dann auf zwei gleiche Widerstände auf, sodass jeweils 6,0 V entfallen; der zweite Zweig enthält einen einzelnen Widerstand, der folglich die vollen 12 V abbekommt. Die Verwechslung eines Zweigs mit den darin befindlichen Bauteilen ist der häufigste Fehler in diesem Labor, und die Regel, die man sich merken sollte, ist symmetrisch: Parallele Zweige haben eine gemeinsame Spannung und teilen den Strom, während Bauteile in Reihe innerhalb eines Zweigs einen gemeinsamen Strom haben und die Spannung teilen.

Was das Multimeter mit der Schaltung macht. Das Protokoll verlangt von Ihnen, sich das Messgerät wie einen Widerstand vorzustellen, und die Überlegung wird konkret, sobald Zahlen ins Spiel gebracht werden. Ein digitales Multimeter weist im Spannungsmodus zwischen seinen Anschlüssen etwa 10 MΩ auf und im 10-A-Strombereich etwa 0,01 Ω – einen Shunt. Diese beiden Werte, vier Größenordnungen über und drei unter den 5 Ω des Prüflings, machen die eine Verbindung harmlos und die andere destruktiv.

Was Ihnen bei der Simulation nicht in Rechnung gestellt wird. Fünf Ohm sind ein sehr kleiner Widerstand, den man an 12 V anlegen kann, und die daraus resultierende Leistung ist groß. Jeder Widerstand des Zweigs 1 verbraucht I²R = 1,20² × 5 = 7.2 W; der Widerstand von Zweig 2 verbraucht 2,40² × 5 = 28.8 W; und das Netzteil liefert insgesamt 12 × 3.60 = 43.2 W. Ein Viertelwatt-Kohleschichtwiderstand der abgebildeten Art wäre in Zweig 1 neunundzwanzigmal und in Zweig 2 hundertfünfzehnmal überlastet, und 3.60 A liegen weit über den etwa 1 A, für die die Federkontakte eines Steckboards ausgelegt sind. Auf einer Werkbank aufgebaut, würde diese Schaltung durchbrennen. Wenn man jeden Widerstand mit zweihundert multipliziert — drei 1,0-kΩ-Bauteile —, bleiben jede Spannung auf dem Papier und jedes Verhältnis in der Argumentation unverändert, während die Ströme auf 6,0, 12,0 und 18,0 mA und die schlimmste Verlustleistung auf 0,14 W gebracht werden. Derselbe Einwand und dieselbe Abhilfe wurden für Labor 075 festgehalten.

Was auf einer echten Bank stünde. Steckbrücken, Steckplatinenkontakte und Messleitungen tragen zusammen mit einem Widerstand in der Größenordnung von 0,5 Ω bei (laut Laborübung 074 beträgt der Widerstand eines Paares von Messklemmen allein etwa 0,2 Ω). Im Vergleich zu den 5 Ω von Zweig 2 ist das ein Zehntel, sodass eine tatsächliche Messung eher bei 12/5,5 = 2,18 A als bei 2,40 A und ein Quellstrom eher bei 3,3 A als bei 3,60 A liegen würde. Daraus ergeben sich zwei Konsequenzen für die Beschriftung. Die Werte in der obigen Tabelle sind Idealwerte, die aus einer Simulation stammen, in der die Leitungen keinen Widerstand haben; und die auf den Widerständen aufgedruckte Toleranz von ±1 % lässt sich bei diesen Widerständen überhaupt nicht prüfen, da die Verdrahtung zehnmal ungenauer ist als die Bauteile, die sie verbindet. Ein Student, der an realer Hardware 2,2 A gemessen hat, hat keinen Fehler gemacht.

Zusammenfassung der Aufgaben nach Klassenstufen

9. bis 10. Klasse

Konzentration. Was eine Parallelschaltung ist und wie man eine funktionierende baut.

Aktivitäten. Montieren Sie den ersten Zweig, prüfen Sie, ob er leitet, fügen Sie dann den Schalter und den zweiten Zweig hinzu. Verwenden Sie das Multimeter nur im V-Modus, um sicherzustellen, dass an beiden Zweigen 12 V anliegen und dass jeder Widerstand von Zweig 1 6,0 V hat. Öffnen und schließen Sie den Schalter und beobachten Sie, dass Zweig 1 davon nicht betroffen ist.

Vom Schüler erwartet. Benennen Sie die beiden Schaltungen und bestimmen Sie anhand eines Diagramms, welche welche ist; erklären Sie, dass alle Parallelschweige dieselbe Spannung haben; schließen Sie ein Voltmeter ohne Hilfe über ein Bauteil an; beschreiben Sie in Worten, warum das Ausfallen einer Lampe in einem Haus nicht die anderen ausschaltet.

11. Klasse

Konzentration. Quantitative Behandlung der gesamten Schaltung.

Aktivitäten. Sagen Sie alle Ströme mithilfe des Ohmschen Gesetzes voraus, bevor Sie das Messgerät berühren, messen Sie dann den Zweigstrom und den Quellstrom und vergleichen Sie diese. Ermitteln Sie den ungemessenen Zweigstrom aus dem ersten Kirchhoffschen Gesetz, berechnen Sie den Ersatzwiderstand sowohl aus der reziproken Summe als auch aus dem Quellstrom, und bestimmen Sie den Widerstand eines Zweig-1-Widerstands aus V und I neu.

Vom Schüler erwartet. 1/R anwenden_eq = 1/R₁ + 1/R₂ mit ausgeschriebener Substitution; erklären, warum der Ersatzwiderstand kleiner als jeder der beiden Zweige ist; den Stromteiler verwenden, um zu sagen, welcher Zweig mehr trägt und warum; die Messungen in einer Tabelle mit Einheiten darstellen.

12. Klasse / College-Niveau

Konzentration. Die Messung selbst als Gegenstand der Untersuchung und die Grenzen der Apparatur.

Aktivitäten. Leiten Sie den Stromteiler aus dem ersten Kirchhoffschen Gesetz und dem Ohmschen Gesetz her, anstatt ihn nur zu zitieren. Quantifizieren Sie die Belastung des Messgeräts in allen vier Anschlusskonfigurationen der obigen Tabelle. Übertragen Sie die Toleranzen von ±1 % auf den Ersatzwiderstand, schätzen Sie den Verdrahtungswiderstand und die Abweichung, die dieser bei realer Hardware verursachen würde, und berechnen Sie die Nennleistung, die jeder Widerstand in dieser Schaltung tatsächlich benötigen würde.

Vom Schüler erwartet. Begründen Sie anhand des inneren Widerstands des Messgeräts, warum ein Voltmeter parallel und ein Amperemeter in Reihe geschaltet wird, und sagen Sie voraus, was bei den beiden falschen Anschlüssen passiert; unterscheiden Sie zwischen einem Gerätefehler und einer Bauteiltoleranz; erkennen Sie, dass ein Stromkreis elektrisch korrekt sein und dennoch nicht wie angegeben physikalisch realisierbar sein kann, und schlagen Sie eine Skalierung vor, die dies behebt und gleichzeitig die Physik bewahrt.

Labor-Grundausstattung

Instrumente

• Stromversorgung (12 V Gleichstrom)
• Brotbrett
• Multimeter (V- und A-Modus; COM- und 10-A-Buchsen)
• Verdrahtung
• Widerstände (3 × 5 Ω ±1, Typ %, Farbringe: Grün – Schwarz – Gold – Braun)
• Schalter (einer, platziert im zweiten Zweig)