084 – Aceleración constante

Un carrito que se suelta en la parte superior de una rampa acelera a medida que desciende, y lo hace a un ritmo que se mantiene igual desde la parte superior hasta la parte inferior de la tabla. Se trata de un movimiento uniformemente acelerado —la misma cantidad de velocidad ganada en cada segundo— y es el caso más sencillo en el que la velocidad cambia. Los ingenieros se lo encuentran dondequiera que una carga baja por una pendiente: transportadores de rodillos por gravedad en un almacén, una pista de luge, la rampa utilizada para descargar un camión. Es también el caso de referencia con el que se compara cualquier movimiento más complicado.

La causa es que solo una parte del peso del carrito actúa a lo largo de la tabla. La gravedad tira directamente hacia abajo con una fuerza mg; en un plano inclinado de ángulo θ, la componente a lo largo de la superficie es mg sin θ, y la componente que presiona el carrito contra la tabla es mg cos θ. El primero impulsa el carro, el segundo establece con qué fuerza se opone la fricción, por lo que la aceleración cuesta abajo es a = g (sin θ − μ cos θ). La masa se cancela por completo de esa expresión: un carro pesado y uno ligero aceleran de manera idéntica por la misma rampa, aunque el pesado transporta más energía cuando llega abajo.

En este laboratorio construirá un plano inclinado con dos tablas y una pinza en un soporte universal, hará descender un carrito de 250 g por él mientras un cronómetrapuntas imprime un punto en una cinta de papel a intervalos fijos, y repetirá el descenso en tres ángulos crecientes. La cinta es el registro del movimiento: los puntos que se separan más significan que el carrito está acelerando, y la tasa a la que aumenta el espaciamiento es la aceleración. A partir de esa aceleración y de la distancia recorrida, usted dará cuenta de la energía: cuánta energía potencial gravitacional se liberó, cuánta de ella llegó al pie de la rampa como energía cinética y cuánta se llevó la fricción durante el descenso.

Metas educativas

Construcción y caracterización de un plano inclinado

• Arma una rampa estable con un soporte universal, una pinza y dos tablas, y elévala en pasos controlados para que solo cambie el ángulo entre cada prueba.
• Registra el ángulo de cada ensayo y reconócelo como la única variable independiente del experimento.

Registro del movimiento con un minutero de chispa

• Pase la cinta a través del cronógrafo registrador, únala al carro e inicie el temporizador para que el descenso y el registro comiencen al mismo tiempo.
• Leer una cinta completada: identificar el inicio del movimiento, medir el espaciado de los puntos y explicar por qué aumenta el espaciado.

Medición de la velocidad y la aceleración a partir de datos

• Calcule una velocidad promedio en cada intervalo como v = Δx / Δt, y trátela como la velocidad instantánea en el punto medio de ese intervalo.
• Obtenga la aceleración de dos formas independientes: a partir de la pendiente de una gráfica de velocidad-tiempo y a partir de la diferencia constante entre espaciamientos sucesivos de puntos.

Aplicación de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado

• Usa Δx = ½at², v = at y v² = 2aΔx para predecir un tiempo de descenso o una velocidad final antes de realizar la prueba, luego compara la predicción con la cinta.
• Explique por qué un gráfico de posición-tiempo de este movimiento es una parábola, mientras que el gráfico de velocidad-tiempo es una línea recta.

Descomposición de fuerzas en un plano inclinado

• Descomponga el peso en las componentes $mg \sin \theta$ a lo largo de la tabla y $mg \cos \theta$ perpendicular a ella, y a partir de ellas construya la ecuación de movimiento.
• Extraer un coeficiente de fricción a partir de una aceleración medida y predecir el ángulo por debajo del cual el carrito no se moverá en absoluto.

Contabilización de la energía

• Calcule la energía potencial liberada (E_p = mgΔx sin θ), la energía cinética al pie (E_k = ½mv²) y la diferencia entre ellos.
• Identifique esa diferencia como el trabajo realizado contra la fricción, W_f = ΔE_m, y conviértala en una fuerza a través de F_f = W_f / Δx.

Juzgar la calidad de una medición

• Compare el tamaño del efecto que se está midiendo con la resolución del instrumento que lo mide, y agrupe los puntos en la cinta cuando un solo intervalo sea demasiado corto para resolverse.
• Distinguir una dispersión aleatoria que las pruebas repetidas reducirán de un sesgo sistemático que no lo harán.

Protocolo

1. Fije una pinza al soporte universal (posición más baja).
2. Coloca una primera tabla en el extremo de la abrazadera.
3. Coloca una segunda tabla en el extremo de la primera para que quede apoyada de forma inclinada.
4. El valor del ángulo se anota en la tabla de resultados.
5. Coloca el carrito de 250 g en la parte superior del plano inclinado.
6. Coloque el cronómetro de grabación cerca de la unión de las dos tablas.
7. Coloque el dispensador de cinta en la primera tabla.
8. Engancha el gancho de la punta del despachador de cinta al anillo del carrito.
9. Inicia el temporizador. Esto activará el descenso del carro.
10. Una vez que el carrito esté al final de la tabla, detenga el cronómetro.
11. Las mediciones del cronómetro de registro se encuentran en la tabla de resultados.
12. Reinicia el cronómetro con el botón derecho.
13. Fija la pinza al soporte universal en una posición un poco más alta. La tabla se inclinará con un ángulo más pronunciado.
14. Vuelve a colocar el carrito de 250 g en la parte superior del plano inclinado.
15. Activa el cronómetro. Esto activará el descenso del carruaje.
16. Una vez que el carrito esté al final de la tabla, detenga el cronómetro.
17. Reinicia el cronómetro con el botón derecho.
18. Fija la pinza al soporte universal en la posición más alta. La tabla se inclinará con un ángulo aún más pronunciado.
19. Repita los pasos 14 a 16 con este nuevo ángulo.
20. A partir de los datos recopilados en la tabla de resultados, calcule la aceleración del carrito; también realice los cálculos de la energía potencial, la energía cinética y la energía mecánica del carrito.
21. Determine la magnitud de la fuerza de fricción que actúa sobre el carrito durante su descenso.

Resultados esperados

La cinta es el resultado principal. Sus puntos se imprimen a intervalos de tiempo iguales, por lo que un espaciado igual significaría velocidad constante y un espaciado creciente significa aceleración; en un descenso uniformemente acelerado el aumentar en el espaciamiento de un intervalo al siguiente es en sí mismo constante, y es igual a aΔt². Un estudiante que mide los espaciamientos entre puntos, convierte cada uno en una velocidad y grafica la velocidad en función del tiempo obtiene una línea recta cuya pendiente es la aceleración. La línea no pasa por el origen, porque el temporizador se enciende un instante antes de soltar el carro y los primeros puntos se imprimen mientras el carro aún está en reposo.

Esta página contiene un ejemplo resuelto en lugar de un conjunto de datos medidos: las tres posiciones de las abrazaderas utilizadas en la simulación, los ángulos que producen y las lecturas del cronómetro que arrojan no se publican, por lo que las cifras a continuación se calculan a partir del único ejemplo que indica el laboratorio: una aceleración de aproximadamente 0.45 m/s² en un plano inclinado de 15°, con 0.63 J liberados y unos 0.52 J perdidos por fricción en un descenso de 1 m. Esos tres números son mutuamente coherentes y determinan el coeficiente de fricción, el cual predice luego todos los demás ángulos. Los profesores deben tratar las tablas como predicciones que deben comprobarse con su propia cinta, y no como lecturas tomadas del montaje.

Solucionando la fricción del ejemplo indicado. Con Δx = 1.00 m y a = 0.45 m/s², el carrito llega a v = √(2aΔx) = √(2 × 0.45 × 1.00) = 0.95 m/s transportando E_k = ½ × 0.250 × 0.95² = 0.11 J. La energía potencial liberada es E_p = mgΔx sin θ = 0.250 × 9.8 × 1.00 × sin 15° = 0.63 J, de modo que la fricción absorbió 0.63 − 0.11 = 0.52 J, exactamente la cifra que cita el laboratorio. Dividiendo por la distancia se obtiene F_f = 0.52 J / 1.00 m = 0.52 N, y al dividir eso entre la fuerza normal mg cos θ = 0.250 × 9.8 × cos 15° = 2.37 N se obtiene μ_k = 0.22. El mismo valor se deduce directamente de a = g (sin θ − μ cos θ): 0.45 / 9.8 = 0.0459, y (0.2588 − 0.0459) / 0.9659 = 0.220.

Los tiempos provienen de Δx = ½at², despejado como t = √(2Δx / a) — a 20°, t = √(2 × 1.00 / 1.33) = 1.23 s — y las velocidades de v = at. Observe qué tan drásticamente responde la aceleración: elevar la rampa cinco grados, de 15° a 20°, casi la triplica. Eso no se debe a que sin θ casi se triplique (aumenta en un tercio), sino a que la aceleración es el diferencia de dos términos comparables. A 15° el término impulsor de 0.259 y el término de fricción de 0.220 × 0.966 = 0.213 se anulan casi por completo, dejando solo 0.046 de g; por lo tanto, un pequeño cambio en el término mayor representa un gran cambio en el pequeño remanente. Esta casi anulación es lo más importante que se debe entender sobre el extremo de ángulo bajo de este experimento.

El ángulo por debajo del cual no pasa nada. El carrito solo arranca si el término de conducción supera al término de fricción, es decir, si $\tan\ \theta > \mu$. Con $\mu = 0.22$, ese umbral es $\theta = \arctan\ 0.22 =$ 12.4°, y el umbral de inicio real es todavía un poco más alto porque la fricción estática suele superar a la cinética. Por lo tanto, la posición más baja de la abrazadera debe producir una pendiente de al menos unos 13° o el carrito simplemente se quedará ahí, y es probable que el primer ensayo del experimento sea el menos confiable de los tres sin importar cuál sea el ángulo.

La rampa más empinada es la más eficiente, no la menos. Esta tabla contiene el resultado más sorprendente, y es lo opuesto a lo que la intuición —y la versión anterior de esta página— sugería. La energía liberada crece con el $\sin\ \theta$, de $0.63\text{ J}$ a $1.23\text{ J}$, mientras que el trabajo en contra de la fricción es $\mu mg\Delta x \cos\ \theta$ y por lo tanto caídas con el ángulo, de 0,52 J a 0,47 J, ya que el carrito ejerce menos presión sobre una tabla más inclinada. Un numerador que aumenta frente a un denominador que disminuye da como resultado una fracción convertida en movimiento que crece rápidamente: 18 % a 15°, 62 % a 30°. En el caso general, la eficiencia es 1 − μ/tan θ, lo cual es un resultado compacto y útil: tiende a cero en el ángulo umbral y se aproxima a 1 a medida que la rampa se vuelve vertical.

Leyendo la cinta, y por qué los puntos deben agruparse. Un marcador de chispas que funciona a los habituales 60 Hz imprime un punto cada Δt = 1/60 = 0.0167 s. En una cinta uniformemente acelerada, el espaciado aumenta en aΔt² de un intervalo al siguiente, lo que a 0.45 m/s² es 0.45 × (0.0167)² = 1.25 × 10⁻⁴ m 0,13 mm, una cuarta parte de lo que puede resolver una regla milimétrica con una precisión de ±0,5 mm. Si se mide punto por punto, la cinta de 15° parecerá una dispersión aleatoria sin ninguna tendencia. La solución es agrupar los puntos: al tomar uno de cada seis puntos, se obtiene Δt = 0,100 s, y el aumento por intervalo se convierte en aΔt² = 4,5 mm, lo cual es fácilmente medible y equivale a aproximadamente ±11 % con la precisión de la regla. A 30°, la misma agrupación da 30 mm por intervalo de crecimiento y una medición mucho mejor. Agrupar no cuesta nada, porque calcular el promedio sobre seis intervalos es exactamente lo que el método de velocidad por intervalos asume de todos modos.

Todo el descenso es corto: 2.10 s a 15° equivalen a unos 126 puntos a 60 Hz, y 0.81 s a 30° son solo unos 49. Los ensayos pronunciados dan, por lo tanto, una cinta más corta con menos puntos pero con espaciamientos mayores y más limpios, y los ensayos poco pronunciados, lo contrario. Si la frecuencia de chispa del dispositivo no es de 60 Hz, cada número de este párrafo escala como Δt² y debe volver a calcularse; la frecuencia debe leerse en el instrumento antes de analizar las cintas.

Lo que la fricción es en realidad. Un coeficiente de 0.22 es un número de deslizamiento: madera sobre madera, o caucho sobre una tabla seca. Un carrito con ruedas rueda con un coeficiente de resistencia a la rodadura de entre 0.01 y 0.05 aproximadamente, de cinco a veinte veces menor, por lo que 0.22 no pueden ser solo las ruedas. El resto es la cinta: el carrito arrastra una tira de papel a través del registrador de chispas durante todo el descenso, y la guía y el disco de carbón del registrador presionan esa tira continuamente. Esa fuerza de frenado no depende del peso del carrito ni del ángulo, razón por la cual tratarla como un coeficiente de fricción es una ficción conveniente más que una constante física; una ficción que se mantendrá bien a un ángulo y variará en otro. Una clase que hace funcionar el carrito una vez con la cinta puesta y otra sin ella, cronometrando ambas, mide directamente la participación de la cinta, y esa comparación es la extensión más valiosa que este aparato admite.

Resumen de tareas por rango de calificaciones

Grado 9-10

Enfoque observando que el carrito acelera y describiéndolo con el vocabulario del movimiento. Los estudiantes arman la rampa, hacen correr el carrito en la posición de sujeción más baja e inspeccionan la cinta, marcando dónde los puntos comienzan a separarse. Miden el espaciado de los puntos agrupados con la regla, convierten cada grupo en una velocidad promedio y grafican la velocidad en función del tiempo para ver una línea recta. Las conclusiones esperadas son cualitativas pero precisas: el carrito gana velocidad de manera constante en lugar de hacerlo de golpe, el gráfico de la velocidad en función del tiempo es una línea y no una curva, y elevar la rampa hace que la línea sea más empinada. Vocabulario que debe usarse correctamente al final: velocidad, aceleración, ángulo de inclinación, fricción.

Undécimo grado

Enfoque el tratamiento cuantitativo. Los estudiantes obtienen la aceleración a partir de la pendiente de la gráfica de velocidad en función del tiempo y la comparan con la diferencia constante entre espacios sucesivos; luego usan Δx = ½at² para predecir el tiempo de descenso y lo comparan con el del cronómetro. Completan el balance energético para cada ángulo —mgΔx sin θ liberada, ½mv² entregada, y la diferencia atribuida a la fricción— y convierten el trabajo de la fricción en una fuerza y luego en un coeficiente. El resultado buscado es que, dentro de la precisión de medición, surja el mismo coeficiente a partir de los tres ángulos, y la discusión buscada trata sobre qué significa cuando no es así.

12.º grado / Nivel universitario

Enfoque derivación y el umbral de fricción. Los estudiantes deducen a = g (sin θ − μ cos θ) a partir de la segunda ley de Newton aplicada a lo largo y perpendicularmente al plano inclinado, muestran que la masa se cancela y predicen el ángulo umbral tan θ = μ por debajo del cual el carrito no se moverá. El argumento final es el que separa las dos contribuciones a la fuerza de retardo: la resistencia a la rodadura escala con la fuerza normal y la fricción de la cinta no, por lo que medir la aceleración con y sin la cinta adherida las separa, y la relación de eficiencia 1 − μ/tan θ se puede comprobar en función del ángulo en lugar de asumirla.

Elementos esenciales para el laboratorio

Instrumentos

• Soporte universal con pinza
• Tablas de madera × 2
• Carro (250 g)
• cronógrafo registrador
• Dispensador de cinta con cinta temporizadora contra chispas
• regla de 50 cm

Productos

Ninguno: este laboratorio no utiliza reactivos químicos.