084 – Accélération constante

Un chariot lâché au sommet d'une rampe accélère à mesure qu'il descend, et il le fait à un rythme qui reste constant du haut jusqu'en bas de la planche. Il s'agit d'un mouvement uniformément accéléré – la même quantité de vitesse gagnée à chaque seconde – et c'est le cas le plus simple où la vitesse varie. Les ingénieurs le rencontrent partout où une charge dévale une pente : convoyeurs à rouleaux par gravité dans un entrepôt, piste de luge, rampe utilisée pour décharger un camion. C'est également le cas de référence auquel tout mouvement plus complexe est comparé.

La cause est que seule une partie du poids du chariot agit le long de la planche. La gravité tire tout droit vers le bas avec une force mg; sur un plan incliné d'un angle θ, la composante le long de la surface est mg sin θ, et la composante qui pousse le chariot dans la planche est mg cos θ. Le premier déplace la charrette, le second détermine la force avec laquelle la friction y résiste, de sorte que l'accélération le long de la pente est a = g (sin θ − μ cos θ). La masse s'annule complètement dans cette expression : une charrette lourde et une légère accélèrent de manière identique sur la même rampe, bien que la lourde transporte plus d'énergie lorsqu'elle y arrive.

Dans ce laboratoire, vous construirez un plan incliné à partir de deux planches et d'une pince sur un support universel, vous y ferez descendre un chariot de 250 g pendant qu'un enregistreur d'étincelles imprime un point sur une bande de papier à intervalles fixes, et vous répéterez la descente à trois angles croissants. La bande est l'enregistrement du mouvement : des points de plus en plus espacés signifient que le chariot accélère, et le taux d'augmentation de cet espacement est l'accélération. À partir de cette accélération et de la distance parcourue, vous rendrez ensuite compte de l'énergie : quelle quantité d'énergie potentielle gravitationnelle a été libérée, quelle quantité est arrivée au bas de la rampe sous forme d'énergie cinétique, et quelle quantité a été absorbée par le frottement lors de la descente.

Objectifs Éducatifs

Construction et caractérisation d'un plan incliné

• Assemblez une rampe stable à partir d'un support universel, d'une pince et de deux planches, et élevez-la par étapes contrôlées de sorte que seul l'angle change entre les essais.
• Enregistrez l'angle de chaque essai et identifiez-le comme la seule variable indépendante de l'expérience.

Enregistrer le mouvement avec un compte-gouttes à étincelles

• Enfilez le ruban dans le chronomètre enregistreur, fixez-le au chariot et démarrez le chronomètre afin que la descente et l'enregistrement commencent ensemble.
• Lire une bande terminée : identifier le début du mouvement, mesurer l'espacement des points et expliquer pourquoi cet espacement augmente.

Mesure de la vitesse et de l'accélération à partir de données

• Calculez une vitesse moyenne sur chaque intervalle sous la forme v = Δx / Δt, et traitez-la comme la vitesse instantanée au milieu de cet intervalle.
• Obtenir l'accélération de deux manières indépendantes : à partir de la pente d'un graphique vitesse-temps, et à partir de la différence constante entre les espacements successifs des points.

Application des équations du mouvement uniformément accélétré

• Utilisez Δx = ½at², v = at et v² = 2aΔx pour prédire un temps de descente ou une vitesse finale avant de réaliser l'essai, puis comparez la prédiction avec le ruban.
• Expliquez pourquoi le graphique position-temps de ce mouvement est une parabole tandis que le graphique vitesse-temps est une ligne droite.

Décomposition des forces sur un plan incliné

• Décomposez le poids en ses composantes $mg \sin \theta$ le long de la planche et $mg \cos \theta$ perpendiculairement à celle-ci, et construisez l'équation du mouvement à partir de celles-ci.
• Extraire un coefficient de frottement à partir d'une accélération mesurée, et prédire l'angle en dessous duquel le chariot ne démarrera pas du tout.

Tenir compte de l'énergie

• Calculer l'énergie potentielle libérée (E_p = mgΔx sin θ), l'énergie cinétique au pied (E_k = ½mv²) et la différence entre eux.
• Identifiez cette différence comme le travail effectué contre le frottement, W_f = ΔE_m, et convertissez-le en une force par l'intermédiaire de F_f = W_f / Δx.

Évaluation de la qualité d'une mesure

• Comparez la taille de l'effet mesuré avec la résolution de l'instrument qui le mesure, et groupez les points sur la bande lorsqu'un seul intervalle est trop court pour être résolu.
• Distinguer une dispersion aléatoire que des essais répétés permettront de réduire d'un décalage systématique qu'ils ne réduiront pas.

Protocole

1. Fixer une pince sur le support universel (position la plus basse).
2. Place a first board on the end of the clamp.
3. Placez une seconde planche à l'extrémité de la première de manière à ce qu'elle repose en biais.
4. La valeur de l'angle est notée dans le tableau des résultats.
5. Positionnez le chariot de 250g en haut du plan incliné.
6. Positionnez le chronomètre d'enregistrement près de la jonction des deux planches.
7. Placez le dévidoir de ruban adhésif sur la première planche.
8. Accrochez le crochet à l'extrémité du dévidoir de ruban à l'anneau du chariot.
9. Démarrez le chronomètre. Cela déclenchera la descente du chariot.
10. Une fois que le chariot est à la fin du plateau, arrêtez le chronomètre.
11. Les mesures du chronomètre d'enregistrement se trouvent dans le tableau des résultats.
12. Réinitialisez le chronomètre avec le bouton droit.
13. Fixez la pince au support universel à une position légèrement plus haute. La planche s'inclinera avec un angle plus prononcé.
14. Replacez le chariot de 250 g en haut du plan incliné.
15. Activez le chronomètre. Cela déclenchera la descente du chariot.
16. Une fois que le chariot est à la fin du plateau, arrêtez le chronomètre.
17. Réinitialiser le chronomètre avec le bouton de droite.
18. Fixez la pince au support universel à la position la plus haute. La planche s'inclinera avec un angle encore plus prononcé.
19. Répétez les étapes 14 à 16 avec ce nouvel angle.
20. À partir des données recueillies dans le tableau des résultats, calculez l'accélération du chariot, réalisez également les calculs de l'énergie potentielle, de l'énergie cinétique et de l'énergie mécanique du chariot.
21. Déterminer la grandeur de la force de friction agissant sur le chariot lors de sa descente.

Résultats attendus

La bande est le résultat principal. Ses points sont imprimés à des intervalles de temps égaux, de sorte qu'un espacement égal signifierait une vitesse constante et un espacement croissant signifie une accélération ; lors d'une descente uniformément accélérée, le augmenter dans l'espacement d'un intervalle au suivant est lui-même constant, et égal à aΔt². Un élève qui mesure les espacements des points, convertit chacun en vitesse et trace la vitesse en fonction du temps obtient une droite dont la pente est l'accélération. La droite ne passe pas par l'origine, car le chronomètre est déclenché un instant avant que le chariot ne soit lâché et que les premiers points soient imprimés alors que le chariot est encore au repos.

Cette page présente un exemple type plutôt qu'un ensemble de données mesurées : les trois positions de pinces utilisées dans la simulation, les angles qu'elles produisent et les lectures du chronomètre qu'elles fournissent ne sont pas publiés. Les chiffres ci-dessous sont donc calculés à partir du seul exemple fourni par le laboratoire — une accélération d'environ 0,45 m/s² sur un plan incliné de 15°, avec 0,63 J libérés et environ 0,52 J perdus par frottement sur une descente de 1 m. Ces trois chiffres sont mutuellement cohérents et déterminent le coefficient de frottement, qui permet ensuite de prédire tous les autres angles. Les enseignants doivent traiter les tableaux comme des prédictions à tester par rapport à leur propre bande, et non comme des relevés effectués sur le montage.

Correction des frictions de l'exemple indiqué. Avec Δx = 1,00 m et a = 0,45 m/s², le chariot arrive à v = √(2aΔx) = √(2 × 0,45 × 1,00) = 0,95 m/s en transportant E_k = ½ × 0,250 × 0,95² = 0,11 J. L'énergie potentielle libérée est E_p = mgΔx sin θ = 0.250 × 9.8 × 1.00 × sin 15° = 0,63 J, donc le frottement a absorbé 0,63 − 0,11 = 0,52 J — exactement le chiffre indiqué par le laboratoire. En divisant par la distance, on obtient F_f = 0,52 J / 1,00 m = 0,52 N, et en divisant cela par la force normale mg cos θ = 0,250 × 9,8 × cos 15° = 2,37 N, on obtient μ_k = 0.22. La même valeur découle directement de a = g (sin θ − μ cos θ) : 0,45 / 9,8 = 0,0459, et (0,2588 − 0,0459) / 0,9659 = 0,220.

Les temps proviennent de Δx = ½at², réarrangé en t = √(2Δx / a) — à 20°, t = √(2 × 1,00 / 1,33) = 1,23 s — et les vitesses de v = at. Remarquez la rapidité avec laquelle l'accélération réagit : élever la rampe de cinq degrés, de 15° à 20°, la multiplie presque par trois. Ce n'est pas parce que sin θ est presque multiplié par trois (il augmente d'un tiers), mais parce que l'accélération est différence de deux termes comparables. À 15°, le terme moteur de 0,259 et le terme de frottement de 0,220 × 0,966 = 0,213 se compensent presque exactement, ne laissant que 0,046 de g ; un petit changement dans le terme le plus grand représente donc un changement important dans le petit reste. Cette quasi-compensation est l'élément le plus important à comprendre concernant l'extrémité à faible angle de cette expérience.

L'angle en dessous duquel rien ne se passe. Le chariot ne démarre que si le terme d'entraînement dépasse le terme de frottement, c'est-à-dire si tan θ > μ. Avec μ = 0,22, ce seuil est θ = arctan 0,22 = 12.4°, et le véritable seuil de départ est encore un peu plus élevé, car le frottement statique dépasse généralement le cinétique. La position la plus basse de la pince doit donc produire une pente d'au moins 13° environ, sinon le chariot restera simplement immobile, et le premier essai de l'expérience sera probablement le moins fiable des trois, quel que soit l'angle.

La rampe la plus raide est la plus efficace, pas la moins efficace. Ce tableau contient le résultat le plus susceptible de surprendre, et c'est l'inverse de ce que l'intuition — et la version précédente de cette page — suggérait. L'énergie libérée croît avec $\sin\theta$, de 0,63 J à 1,23 J, tandis que le travail contre les frottements est $\mu mg\Delta x \cos\theta$ et par conséquent chutes en fonction de l'angle, passant de 0,52 J à 0,47 J, car le chariot exerce une pression moindre sur une planche plus inclinée. Un numérateur qui augmente tandis que le dénominateur diminue donne une fraction convertie en mouvement qui croît fortement : 18 % à 15°, 62 % à 30°. Dans le cas général, le rendement est égal à 1 − μ/tan θ, ce qui constitue un résultat concis et utile : il tend vers zéro à l’angle seuil et s’approche de 1 à mesure que la rampe devient verticale.

Lecture de la bande et pourquoi les points doivent être regroupés. Un enregistreur de temps fonctionnant à la fréquence habituelle de 60 Hz imprime un point toutes les Δt = 1/60 = 0,0167 s. Sur un ruban uniformément accéléré, l'espacement augmente de aΔt² d'un intervalle à l'autre, ce qui à 0,45 m/s² donne 0,45 × (0,0167)² = 1,25 × 10⁻⁴ m — 0,13 mm, soit un quart de ce que permet de distinguer une règle millimétrique d'une précision de ±0,5 mm. Si l'on mesure point par point, le ruban à 15° apparaîtra comme un éparpillement aléatoire, sans aucune tendance. La solution consiste à regrouper les points : en ne retenant qu’un point sur six, on obtient Δt = 0,100 s, et l’augmentation par intervalle devient aΔt² = 4,5 mm, ce qui est facilement mesurable et correspond à environ ±11 % avec la précision de la règle. À 30°, ce même regroupement donne 30 mm par intervalle de croissance et une mesure bien plus précise. Le regroupement ne coûte rien, car le calcul de la moyenne sur six intervalles correspond exactement à ce que suppose de toute façon la méthode de la vitesse par intervalle.

Toute la descente est courte : 2,10 s à 15° représentent environ 126 points à 60 Hz, et 0,81 s à 30° n'en représentent que 49 environ. Les essais raides donnent par conséquent un ruban plus court avec moins de points mais des espacements plus grands et plus nets, et les essais peu inclinés l'inverse. Si la fréquence d'étincelle du dispositif n'est pas de 60 Hz, chaque nombre de ce paragraphe varie en fonction de Δt² et doit être recalculé ; la fréquence doit être lue sur l'instrument avant l'analyse des rubans.

Ce qu'est réellement le frottement. Un coefficient de 0,22 est un nombre glissant — du bois sur du bois, ou du caoutchouc sur une planche sèche. Un chariot sur roues roule avec un coefficient de résistance au roulement compris entre environ 0,01 et 0,05, soit cinq à vingt fois plus petit, de sorte que 0,22 ne peut pas provenir des roues seules. Le reste est dû à la bande : le chariot traîne une bande de papier à travers le chronographe à étincelles pendant toute la descente, et le guide ainsi que le disque carbone du chronographe exercent une pression continue sur cette bande. Cette force de retardement ne dépend ni du poids du chariot ni de l'angle, ce qui explique pourquoi la traiter comme un coefficient de frottement relève d'une fiction pratique plutôt que d'une constante physique — une fiction qui se tiendra bien à un certain angle et dérivera à un autre. Une classe qui fait rouler le chariot une fois avec la bande attachée et une fois sans, en chronométrant les deux, mesure directement la part de la bande, et cette comparaison est l'extension la plus précieuse que cet appareil autorise.

Résumé du devoir par tranche d'âge

Classe de 3e à la 2de

Focalisation observant que le chariot accélère et décrivant cela avec le vocabulaire du mouvement. Les élèves assemblent la ruelle, font rouler le chariot à la position de pince la plus basse et inspectent le ruban, en marquant l'endroit où les points commencent à s'espacer. Ils mesurent l'espacement des groupes de points avec la règle, convertissent chaque groupe en vitesse moyenne, et tracent la vitesse en fonction du temps pour observer une ligne droite. Les conclusions attendues sont qualitatives mais précises : le chariot gagne de la vitesse régulièrement plutôt que d'un seul coup, le graphique de la vitesse en fonction du temps est une droite et non une courbe, et le fait de surélever la rampe rend la pente de la droite plus raide. Vocabulaire à utiliser correctement à la fin : vitesse, accélération, angle d'inclinaison, frottement.

11e année

Focalisation Le traitement quantitatif. Les étudiants obtiennent l'accélération à partir de la pente du graphique vitesse-temps et la vérifient par rapport à la différence constante entre les espacements successifs, puis utilisent Δx = ½at² pour prédire le temps de descente et le comparer à celui du chronomètre. Ils dressent le bilan énergétique pour chaque angle — mgΔx sin θ libéré, ½mv² restitué, la différence étant attribuée au frottement — et convertissent le travail de frottement en une force, puis en un coefficient. Le résultat visé est que le même coefficient émerge, à la précision de mesure près, pour les trois angles, et la discussion visée porte sur la signification de ce constat lorsqu'il n'en est pas ainsi.

12e année / Niveau universitaire

Focalisation dérivation et le seuil de frottement. Les étudiants déduisent a = g (sin θ − μ cos θ) à partir de la deuxième loi de Newton appliquée le long et perpendiculairement au plan incliné, montrent que la masse s'annule, et prédisent l'angle de seuil tan θ = μ en dessous duquel le charriot ne démarrera pas. L'argument final est celui qui sépare les deux contributions à la force de résistance : la résistance au roulement est proportionnelle à la force normale et la traînée du ruban ne l'est pas, de sorte que la mesure de l'accélération avec et sans le ruban attaché les sépare, et la relation d'efficacité 1 − μ/tan θ peut alors être testée en fonction de l'angle plutôt que d'être supposée.

Essentiels de laboratoire

Instruments

• Support universel (de laboratoire) avec pince
• Planches en bois × 2
• Chariot (250 g)
• Chronomètre à étincelles
• Dévidoir de ruban adhésif avec ruban à minuterie à étincelles
• Règle de 50 cm

Produits

Aucun — ce laboratoire n'utilise aucun réactif chimique.