084 – Konstante Beschleunigung

Ein Wagen, der am oberen Ende einer Rampe losgelassen wird, wird bei der Abfahrt schneller, und zwar mit einer Rate, die von der Oberseite bis zur Unterseite des Brettes gleich bleibt. Das ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung – in jeder Sekunde wird dieselbe Menge an Geschwindigkeit gewonnen –, und sie ist der einfachste Fall, in dem sich die Geschwindigkeit ändert. Ingenieure treffen überall dort darauf, wie eine Last eine Neigung hinabfährt: Schwerkraft-Rollenbahnen in einem Lager, eine Rodelbahn, die Rampe zum Entladen eines Lkw. Sie ist zudem der Referenzfall, mit dem jede kompliziertere Bewegung verglichen wird.

Die Ursache ist, dass nur ein Teil des Gewichts des Wagens entlang des Brettes wirkt. Die Schwerkraft zieht mit einer Kraft direkt nach unten mg; auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel θ ist die Komponente entlang der Oberfläche mg sin θ, und die Komponente, die den Wagen in das Brett drückt, ist mg cos θ. Der erste treibt den Wagen an, der zweite bestimmt, wie stark die Reibung ihm entgegenwirkt, sodass die Beschleunigung die Habe hinab $a = g (\sin θ - \mu \cos θ)$ ist. Die Masse kürzt sich in diesem Ausdruck vollständig heraus: Ein schwerer und ein leichter Wagen beschleunigen auf derselben Rampe identisch, obwohl der schwere unten mehr Energie besitzt.

In diesem Labor bauen Sie aus zwei Brettern und einer Klammer an einem Universalstativ eine schiefe Ebene, lassen einen 250-g-Wagen darauf herabfahren, während ein Funkenzeiger in festen Intervallen einen Punkt auf einen Papierstreifen druckt, und wiederholen die Abfahrt bei drei zunehmenden Winkeln. Der Streifen ist das Protokoll der Bewegung: Punkte, die weiter auseinander liegen, bedeuten, dass der Wagen schneller wird, und die Rate, mit der der Abstand zunimmt, ist die Beschleunigung. Aus dieser Beschleunigung und der zurückgelegten Strecke bilanzieren Sie dann die Energie – wie viel potenzielle Energie der Schwerkraft frei wurde, wie viel davon am Fuß der Rampe als kinetische Energie ankam und wie viel die Reibung auf dem Weg nach unten aufzehrte.

Bildungsziele

Bau und Charakterisierung einer schiefen Ebene

• Bauen Sie aus einer Universalhalterung, einer Klemme und zwei Brettern eine stabile Rampe zusammen und heben Sie diese in kontrollierten Schritten an, sodass sich zwischen den Versuchen lediglich der Winkel ändert.
• Notieren Sie den Winkel jedes Versuchs und erkennen Sie ihn als die einzige unabhängige Variable des Experiments an.

Aufzeichnen von Bewegung mit einem Ticker

• Führen Sie das Band durch den Zeitmesser, befestigen Sie es am Schlitten und starten Sie die Stoppuhr, sodass die Abfahrt und die Zeitmessung gleichzeitig beginnen.
• Lese ein fertiges Band ein: Identifiziere den Beginn der Bewegung, messe den Abstand der Punkte und erkläre, warum der Abstand größer wird.

Messung von Geschwindigkeit und Beschleunigung aus Daten

• Berechnen Sie eine Durchschnittsgeschwindigkeit für jedes Intervall als v = Δx / Δt und betrachten Sie diese als die Momentangeschwindigkeit in der Mitte dieses Intervalls.
• Bestimmen Sie die Beschleunigung auf zwei unabhängige Arten: aus der Steigung eines Geschwindigkeits-Zeit-Diagramms und aus der konstanten Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Punktabständen.

Anwendung der Gleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

• Verwenden Sie $\Delta x = \frac{1}{2}at^2$, $v = at$ und $v^2 = 2a\Delta x$, um eine Abstiegszeit oder eine Endgeschwindigkeit vorherzusagen, bevor der Versuch durchgeführt wird, und vergleichen Sie dann die Vorhersage mit dem Band.
• Erklären Sie, warum ein Weg-Zeit-Diagramm dieser Bewegung eine Parabel ist, während das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm eine Gerade ist.

Kräfte an einem Hang auflösen

• Zerlegen Sie die Kraft in die Komponenten mg sin θ entlang der Platte und mg cos θ senkrecht dazu und leiten Sie daraus die Bewegungsgleichung ab.
• Einen Reibungskoeffizienten aus einer gemessenen Beschleunigung extrahieren und den Winkel vorhersagen, unter dem der Wagen überhaupt nicht anfährt.

Bilanzierung der Energie

• Berechnen Sie die freigesetzte potentielle Energie (E_p = mgΔx sin θ), die kinetische Energie am Fuß (E_k = ½mv²) und der Differenz zwischen ihnen.
• Identifizieren Sie diese Differenz als die gegen die Reibung verrichtete Arbeit W_f = ΔE_m, und wandeln Sie es durch F in eine Kraft um_f = W_f / Δx.

Beurteilung der Qualität einer Messung

• Vergleichen Sie die Größe des zu messenden Effekts mit der Auflösung des Messgeräts und gruppieren Sie die Punkte auf dem Band, wenn ein einzelnes Intervall zu kurz ist, um den Effekt aufzulösen.
• Unterscheide eine zufällige Streuung, die durch wiederholte Versuche verringert wird, von einer systematischen Abweichung, bei der dies nicht der Fall ist.

Protokoll

1. Befestigen Sie eine Klemme am Universalhalter (unterste Position).
2. Legen Sie ein erstes Brett auf das Ende der Klemme.
3. Legen Sie ein zweites Brett ans Ende des ersten, sodass es schräg aufliegt.
4. Der Wert des Winkels ist in der Ergebnistabelle vermerkt.
5. Positionieren Sie den 250 g schweren Wagen oben auf der schiefen Ebene.
6. Positionieren Sie die Stoppuhr in der Nähe des Übergangs der beiden Platten.
7. Positioniere den Klebebandabroller auf der ersten Tafel.
8. Befestigen Sie den Haken an der Spitze des Klebebandabrollers am Ring des Wagens.
9. Starten Sie den Timer. Dies löst die Abfahrt des Wagens aus.
10. Sobald sich der Wagen am Ende der Tafel befindet, stoppen Sie die Stoppuhr.
11. Die Messungen des Registrierchronometers finden sich in der Ergebnistabelle.
12. Stoppuhr mit der rechten Taste zurückstellen.
13. Befestigen Sie die Klemme am Universalhalter in einer etwas höheren Position. Die Plattform wird sich in einem stärker ausgeprägten Winkel neigen.
14. Positionieren Sie den 250-g-Wagen am oberen Ende der schiefen Ebene neu.
15. Aktivieren Sie das Chronometer. Dies löst das Absenken der Gondel aus.
16. Sobald sich der Wagen am Ende der Tafel befindet, stoppen Sie die Stoppuhr.
17. Setzen Sie den Chronometer mit der rechten Taste zurück.
18. Befestigen Sie die Klemme am Universalständer in der höchsten Position. Das Brett wird mit einem noch ausgeprägteren Winkel kippen.
19. Wiederholen Sie die Schritte 14 bis 16 mit diesem neuen Winkel.
20. Berechnen Sie aus den Daten der Ergebnistabelle die Beschleunigung des Wagens und führen Sie auch die Berechnungen der potentiellen Energie, der kinetischen Energie und der mechanischen Energie des Wagens durch.
21. Bestimmen Sie die Größe der Reibungskraft, die während der Abfahrt auf den Wagen wirkt.

Erwartete Ergebnisse

Der Streifen ist das Hauptergebnis. Seine Punkte sind in gleichen Zeitintervallen aufgedruckt, so dass ein gleicher Abstand eine konstante Geschwindigkeit bedeutet und ein wachsender Abstand eine Beschleunigung; bei einem gleichmäßig beschleunigten Abstieg erhöhen Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Intervallen ist selbst konstant und entspricht aΔt². Ein Schüler, der die Abstände zwischen den Punkten misst, diese jeweils in eine Geschwindigkeit umrechnet und die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit aufträgt, erhält eine Gerade, deren Steigung der Beschleunigung entspricht. Die Gerade verläuft nicht durch den Ursprung, da die Stoppuhr einen Augenblick vor dem Loslassen des Schlittens gestartet wird und die ersten Punkte gedruckt werden, während sich der Schlitten noch in Ruhe befindet.

Diese Seite enthält ein durchgerechnetes Beispiel anstelle eines Messdatensatzes: Die drei in der Simulation verwendeten Klemmpositionen, die von ihnen erzeugten Winkel und die von ihnen gelieferten Chronometerwerte sind nicht veröffentlicht. Daher werden die folgenden Zahlen aus dem einzigen vom Labor angegebenen Beispiel berechnet – einer Beschleunigung von etwa 0,45 m/s² auf einer 15°-Schiefe, bei der auf einem 1 m langen Abstieg 0,63 J freigesetzt und etwa 0,52 J durch Reibung verloren gehen. Diese drei Zahlen sind zueinander konsistent und legen den Reibungskoeffizienten fest, aus dem sich dann alle anderen Winkel vorhersagen lassen. Lehrkräfte sollten die Tabellen als Vorhersagen betrachten, die anhand ihres eigenen Bandes überprüft werden müssen, und nicht als Messwerte, die dem Aufbau entnommen wurden.

Die Reibung des genannten Beispiels beheben. Mit Δx = 1,00 m und a = 0,45 m/s² kommt der Wagen mit v = √(2aΔx) = √(2 × 0,45 × 1,00) = 0,95 m/s an und trägt E_k = ½ × 0,250 × 0,95² = 0,11 J. Die freigesetzte potenzielle Energie ist E_p = mgΔx sin θ = 0,250 × 9,8 × 1,00 × sin 15° = 0,63 J, sodass die Reibung 0,63 − 0,11 = 0,52 J absorbierte — genau der Wert, den das Labor angibt. Die Division durch die Strecke ergibt F_f = 0,52 J / 1,00 m = 0,52 N, und wenn man dies durch die Normalkraft mg cos θ = 0,250 × 9,8 × cos 15° = 2,37 N teilt, erhält man my_k = 0.22. Derselbe Wert folgt direkt aus a = g (sin θ − μ cos θ): 0,45 / 9,8 = 0,0459 und (0,2588 − 0,0459) / 0,9659 = 0,220.

Die Zeiten ergeben sich aus Δx = ½at², umgestellt nach t = √(2Δx / a) — bei 20° ist t = √(2 × 1,00 / 1,33) = 1,23 s — und die Geschwindigkeiten aus v = at. Man beachte, wie stark die Beschleunigung reagiert: Eine Erhöhung der Rampe um fünf Grad, von 15° auf 20°, verdreifacht sie nahezu. Das liegt nicht daran, dass sich sin θ nahezu verdreifacht (er wächst um ein Drittel), sondern daran, dass die Beschleunigung die Unterschied von zwei vergleichbaren Termen. Bei 15° heben sich der Antriebsterm von 0,259 und der Reibungsterm von 0,220 × 0,966 = 0,213 fast vollständig auf, sodass nur 0,046 von g übrig bleiben; eine kleine Änderung des größeren Terms bedeutet daher eine große Änderung des kleinen Rests. Diese nahezu vollständige Aufhebung ist das mit Abstand Wichtigste, das man bezüglich des flachen Endes dieses Experiments verstehen muss.

Der Winkel, unter dem nichts passiert. Der Wagen setzt sich nur dann in Bewegung, wenn der Antriebsterm den Reibungsterm übersteigt, das heißt, wenn tan θ > μ. Mit μ = 0,22 liegt dieser Schwellenwert bei θ = arctan 0,22 = 12.4°, und die wahre Anlaufschwelle liegt noch etwas höher, da die haftreibung gewöhnlich die gleitreibung übersteigt. Die niedrigste Klemmenposition muss daher eine Neigung von mindestens etwa 13° erzeugen, da der Wagen sonst einfach stehen bleibt, und der erste Versuch des Experiments ist unabhängig vom Winkel wahrscheinlich der am wenigsten zuverlässige der drei.

Die steilere Rampe ist die effizientere, nicht die weniger effiziente. Diese Tabelle enthält das Ergebnis, das am ehesten überrascht, und es ist das Gegenteil von dem, was die Intuition – und die vorherige Version dieser Seite – nahelegte. Die freigesetzte Energie wächst mit $\sin\,\theta$ von $0{,}63\,\text{J}$ auf $1{,}23\,\text{J}$, während die Reibungsarbeit $\mu mg\Delta x \cos\,\theta$ beträgt und daher falls mit dem Winkel, von 0,52 J auf 0,47 J, da der Wagen auf einer steileren Rampe weniger stark aufdrückt. Ein steigender Zähler bei gleichzeitig sinkendem Nenner ergibt einen Anteil, der als Bewegung abgegeben wird und steil ansteigt: 18 % bei 15°, 62 % bei 30°. Im allgemeinen Fall beträgt der Wirkungsgrad 1 − μ/tan θ, was ein nützliches, kompaktes Ergebnis ist: Er geht am Schwellenwinkel gegen Null und nähert sich 1 an, wenn die Rampe senkrecht wird.

Das Lesen des Bandes und warum die Punkte gruppiert werden müssen. Ein mit den üblichen 60 Hz arbeitender Funkenzeiger druckt alle Δt = 1/60 = 0,0167 s einen Punkt. Auf einem gleichmäßig beschleunigten Streifen vergrößert sich der Abstand von einem Intervall zum nächsten um aΔt², was bei 0,45 m/s² 0,45 × (0,0167)² = 1,25 × 10 ergibt.⁻⁴ m — 0,13 mm, ein Viertel dessen, was ein Millimeterlineal mit einer Genauigkeit von ±0,5 mm auflösen kann. Punkt für Punkt gemessen sieht das 15°-Band wie eine zufällige Streuung ohne jeglichen Trend aus. Die Lösung besteht darin, die Punkte zu gruppieren: Nimmt man jeden sechsten Punkt, ergibt sich Δt = 0,100 s, und die Zunahme pro Intervall beträgt aΔt² = 4,5 mm – ein Wert, der problemlos messbar ist und bei einer Linealgenauigkeit von etwa ±11 % liegt. Bei 30° ergibt dieselbe Gruppierung 30 mm pro Wachstumsintervall und eine deutlich bessere Messung. Das Gruppieren kostet nichts, da die Mittelwertbildung über sechs Intervalle ohnehin genau das ist, wovon die Intervall-Geschwindigkeits-Methode ausgeht.

Der gesamte Abstieg ist kurz: 2,10 s bei 15° entsprechen etwa 126 Punkten bei 60 Hz, und 0,81 s bei 30° sind nur etwa 49. Die steilen Versuche ergeben daher einen kürzeren Streifen mit weniger Punkten, aber größeren, saubereren Abständen, und die flachen Versuche das Umgekehrte. Wenn die Funkenfrequenz des Aufbaus nicht 60 Hz beträgt, skaliert jede Zahl in diesem Absatz mit $\Delta t^2$ und muss neu berechnet werden; die Frequenz sollte vor der Auswertung der Streifen am Gerät abgelesen werden.

Was die Reibung tatsächlich ist. Ein Koeffizient von 0,22 ist eine Gleitzahl – Holz auf Holz oder Gummi auf einem trockenen Brett. Ein Wagen auf Rädern rollt mit einem Rollreibungskoeffizienten zwischen etwa 0,01 und 0,05, also dem Fünf- bis Zwanzigfachen weniger, weshalb 0,22 nicht allein von den Rädern stammen kann. Der Rest ist der Streifen: Der Wagen zieht während des gesamten Abstiegs einen Papierstreifen durch den Funkenzeiger, und die Führung sowie die Kohlescheibe des Zeigers drücken kontinuierlich auf diesen Streifen. Diese Bremskraft hängt weder vom Gewicht des Wagens noch vom Winkel ab, weshalb ihre Behandlung als Reibungskoeffizient eher eine praktische Fiktion als eine physikalische Konstante ist – eine Fiktion, die bei einem Winkel gut standhält und bei einem anderen abweicht. Eine Klasse, die den Wagen einmal mit angebrachtem Streifen und einmal ohne ihn laufen lässt und beide Male die Zeit misst, bestimmt den Anteil des Streifens direkt, und dieser Vergleich ist die wertvollste Erweiterung, die diese Apparatur unterstützt.

Zusammenfassung der Aufgaben nach Klassenstufen

9. bis 10. Klasse

Fokus sie beobachten, dass der Wagen schneller wird, und beschreiben dies mit dem Vokabular der Bewegung. Die Schüler bauen die Rampe zusammen, lassen den Wagen in der niedrigsten Klammerposition laufen und untersuchen den Streifen, wobei sie markieren, wo sich die Punkte zu verteilen beginnen. Sie messen den Abstand der gruppierten Punkte mit dem Lineal, rechnen jede Gruppe in eine Durchschnittsgeschwindigkeit um und tragen die Geschwindigkeit gegen die Zeit auf, um eine gerade Linie zu sehen. Die erwarteten Schlussfolgerungen sind qualitativ, aber präzise: Der Wagen gewinnt kontinuierlich an Geschwindigkeit und nicht auf einmal, das Diagramm der Geschwindigkeit über der Zeit ist eine Gerade und keine Kurve, und das Erhöhen der Rampe macht die Gerade steiler. Das bis zum Ende korrekt zu verwendende Vokabular: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Neigungswinkel, Reibung.

11. Klasse

Fokus die quantitative Auswertung. Die Studierenden ermitteln die Beschleunigung aus der Steigung des Geschwindigkeits-Zeit-Diagramms und überprüfen sie anhand der konstanten Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Abständen; anschließend verwenden sie $\Delta x = \frac{1}{2}at^2$, um die Abstiegszeit vorherzusagen und sie mit der Stoppuhr zu vergleichen. Sie erstellen die Energiebilanz für jeden Winkel – freigesetztes $mg\Delta x \sin\theta$, geliefertes $\frac{1}{2}mv^2$, wobei die Differenz der Reibung zugeschrieben wird – und rechnen die Reibungsarbeit in eine Kraft und diese dann in einen Koeffizienten um. Das angestrebte Ergebnis ist, dass für alle drei Winkel im Rahmen der Messgenauigkeit derselbe Koeffizient herauskommt, und die angestrebte Diskussion dreht sich darum, was es bedeutet, wenn dies nicht der Fall ist.

12. Klasse / College-Niveau

Fokus Ableitung und die Reibungsschwelle. Die Studierenden leiten $a = g (\sin \theta - \mu \cos \theta)$ aus dem zweiten Newtonschen Gesetz ab, angewendet parallel und senkrecht zur schiefen Ebene, zeigen, dass sich die Masse herauskürzt, und sagen den Schwellenwinkel $\tan \theta = \mu$ voraus, unterhalb dessen der Wagen nicht anfährt. Das abschließende Argument trennt die beiden Beiträge zur Verzögerungskraft: Der Rollwiderstand skaliert mit der Normalkraft und der Zug des Klebebands tut dies nicht, sodass das Messen der Beschleunigung mit und ohne angebrachtes Klebeband diese trennt, und die Wirkungsgradbeziehung $1 - \mu/\tan \theta$ kann dann anhand des Winkels überprüft anstatt angenommen werden.

Labor-Grundausstattung

Instrumente

• Universeller Ständer (Laborständer) mit Klemme
• Holzbretter × 2
• Warenkorb (250 g)
• Funken-Zeitmesser
• Klebebandabroller mit Funkenzeiger-Klebeband
• 50 cm Lineal

Produkte

Keine – dieses Labor verwendet keine chemischen Reagenzien.