084 – Stałe przyspieszenie

Wózek puszczony na szczycie równi pochyłej przyspiesza podczas zjeżdżania w dół, robiąc to w tempie, które pozostaje niezmienne od góry do dołu deski. Jest to ruch jednostajnie przyspieszony – przyrost prędkości w każdej sekundzie jest taki sam – i stanowi on najprostszy przypadek zmiany prędkości. Inżynierowie spotykają się z nim wszędzie tam, gdzie ładunek porusza się w dół po zboczach: w grawitacyjnych przenośnikach rolkowych w magazynie, na torze saneczkowym czy na rampie służącej do rozładunku ciężarówki. Jest to również przypadek odniesienia, z którym porównuje się każdy bardziej skomplikowany ruch.

Przyczyną jest to, że tylko część ciężaru wózka działa wzdłuż deski. Grawitacja ciągnie pionowo w dół z siłą mg; na równi pochyłej o kącie θ składowa wzdłuż powierzchni wynosi mg sin θ, a składowa dociskająca wózek do deski to mg cos θ. Pierwszy napędza wózek, drugi określa, jak mocno tarcie mu się przeciwstawia, więc przyspieszenie w dół równi wynosi a = g (sin θ − μ cos θ). Masa całkowicie znika z tego wyrażenia: ciężki wózek i lekki przyspieszają tak samo na tej samej równi, choć ciężki niesie ze sobą więcej energii, gdy dojedzie na miejsce.

W tej laboratoryjnej zmontujesz równię pochyłą z dwóch desek i zacisku na wsporniku uniwersalnym, przepuścisz po niej wózek o masie 250 g, podczas gdy iskrownik będzie wykreślał kropki na taśmie papierowej w stałych odstępach czasu, i powtórzysz zjazd pod trzema rosnącymi kątami. Taśma jest zapisem ruchu: kropki oddalające się od siebie oznaczają, że wózek przyspiesza, a tempo, w jakim rosną odległości między nimi, to przyspieszenie. Na podstawie tego przyspieszenia i przebytej drogi rozliczysz następnie energię — ile grawitacyjnej energii potencjalnej zostało uwolnione, ile z niej dotarło u podnóża równi jako energia kinetyczna i ile przejęło tarcie w drodze w dół.

Cele edukacyjne

Budowa i charakterystyka równi pochyłej

• Zmontuj stabilną równię pochyłą z uniwersalnej podpory, zacisku i dwóch desek, a następnie podnoś ją w kontrolowanych krokach, tak aby między próbami zmieniał się wyłącznie kąt.
• Zarejestruj kąt każdej próby i zidentyfikuj go jako pojedynczą zmienną niezależną eksperymentu.

Rejestrowanie ruchu za pomocą taśmy iskrowej

• Przełóż taśmę przez chronometr rejestrujący, przymocuj ją do wózka i uruchom stoper, aby znowu i zapis rozpoczęły się jednocześnie.
• Odczytaj zapisaną taśmę: zidentyfikuj początek ruchu, zmierz odległość między kropkami i wyjaśnij, dlaczego odległość ta rośnie.

Pomiar prędkości i przyspieszenia z danych

• Oblicz średnią prędkość dla każdego przedziału jako v = Δx / Δt i potraktuj ją jako prędkość chwilową w środku tego przedziału.
• Wyznacz przyspieszenie na dwa niezależne sposoby: z nachylenia wykresu prędkości od czasu oraz ze stałej różnicy między kolejnymi odstępami kropek.

Stosowanie równań ruchu jednostajnie przyspieszonego

• Użyj wzorów Δx = ½at², v = at oraz v² = 2aΔx, aby przewidzieć czas zsuwania się lub prędkość końcową przed rozpoczęciem próby, a następnie porównaj przewidywanie z taśmą.
• Wyjaśnij, dlaczego wykres położenia w funkcji czasu dla tego ruchu jest parabolą, podczas gdy wykres prędkości w funkcji czasu jest linią prostą.

Rozkładanie sił na równi pochyłej

• Rozłóż ciężar na składową $mg \sin \theta$ wzdłuż deski oraz $mg \cos \theta$ prostopadłą do niej i ułóż na ich podstawie równanie ruchu.
• Wyznacz współczynnik tarcia z zmierzonego przyspieszenia i przewidź kąt, poniżej którego wózek w ogóle nie ruszy.

Rozliczanie energii

• Oblicz uwolnioną energię potencjalną (E_p = mgΔx sin θ), energia kinetyczna u podstawy (E_k = ½mv²) i różnica między nimi.
• Zidentyfikuj tę różnicę jako pracę wykonaną przeciwko tarciu, W_f = ΔE_m, i przelicz ją na siłę poprzez F_f = W_f / Δx.

Ocena jakości pomiaru

• Porównaj wielkość mierzonego efektu z rozdzielczością instrumentu pomiarowego i zgrupuj kropki na taśmie, gdy pojedynczy interwał jest zbyt krótki do rozdzielenia.
• Rozróżnij przypadkowy rozrzut, który powtórzone próby zredukują, od systematycznego błędu, którego nie zredukują.

Protokół

1. Zamocuj zacisk do uniwersalnego wspornika (najniższa pozycja).
2. Umieść pierwszą deskę na końcu zacisku.
3. Połóż drugą deskę na końcu pierwszej tak, aby opierała się ukośnie.
4. Wartość kąta jest odnotowana w tabeli wyników.
5. Umieść wózek o masie 250g na szczycie równi pochyłej.
6. Umieść stoper nagrywania w pobliżu połączenia dwóch desek.
7. Umieść dyspenser taśmy na pierwszej desce.
8. Przymocuj haczyk z końca dozownika taśmy do pierścienia wózka.
9. Rozpocznij czas. Spowoduje to opuszczenie się platformy.
10. Gdy wózek znajdzie się na końcu planszy, zatrzymaj chronometr.
11. Wyniki pomiarów chronometru zapisującego znajdują się w tabeli wyników.
12. Zresetuj stoper prawym przyciskiem.
13. Przymocuj zacisk do statywu w pozycji nieco wyżej. Taca przechyli się pod większym kątem.
14. Przestaw wózek o masie 250g na szczyt równi pochyłej.
15. Aktywuj chronometr. To spowoduje opuszczenie platformy.
16. Gdy wózek znajdzie się na końcu planszy, zatrzymaj chronometr.
17. Zresetuj chronometr prawym przyciskiem.
18. Przymocuj zacisk do statywu uniwersalnego na najwyższej pozycji. Płyta będzie przechylona pod jeszcze bardziej wyraźnym kątem.
19. Powtórz kroki od 14 do 16 z tym nowym kątem.
20. Na podstawie danych zebranych w tabeli wyników oblicz przyspieszenie wózka, a także wykonaj obliczenia energii potencjalnej, energii kinetycznej i energii mechanicznej wózka.
21. Określ wielkość siły tarcia działającej na wózek podczas jego zjazdu.

Przewidywane wyniki

Taśma jest głównym wynikiem. Jej kropki są nadrukowane w równych odstępach czasu, więc równe odstępy oznaczałyby stałą prędkość, a rosnące odstępy oznaczają przyspieszenie; przy jednostajnie przyspieszonym zsuwaniu się zwiększyć w odległościach od jednego przedziału do drugiego jest sama w sobie stała i równa aΔt². Uczeń, który mierzy odstępy między kropkami, przelicza każdy na prędkość i sporządzi wykres prędkości w funkcji czasu, otrzymuje prostą, której nachyleniem jest przyspieszenie. Prosta ta nie przechodzi przez początek układu współrzędnych, ponieważ stoper zostaje uruchomiony chwilę przed zwolnieniem wózka, a pierwsze kropki są drukowane, gdy wózek znajduje się jeszcze w spoczynku.

Ta strona zawiera jeden rozwiązany przykład zamiast zmierzonego zestawu danych: trzy pozycje zacisków użyte w symulacji, wytwarzane przez nie kąty i pokazywane przez chronometr odczyty nie zostały opublikowane, więc poniższe dane są obliczone na podstawie pojedynczego przykładu podanego przez laboratorium — przyspieszenia wynoszącego około 0,45 m/s² na pochyliźnie 15°, przy uwolnieniu 0,63 J i utracie około 0,52 J na tarcie na odcinku 1 m zbiegu. Te trzy liczby są ze sobą spójne i ustalają współczynnik tarcia, który następnie pozwala przewidzieć każdy inny kąt. Nauczyciele powinni traktować te tabele jako przewidywania, które należy zweryfikować za pomocą własnej taśmy, a nie jako odczyty pobrane z konstrukcji.

Naprawienie problemu z podanym przykładem. Przy Δx = 1,00 m i a = 0,45 m/s², wózek dociera z prędkością v = √(2aΔx) = √(2 × 0,45 × 1,00) = 0,95 m/s, niosąc E_k = ½ × 0,250 × 0,95² = 0,11 J. Uwolniona energia potencjalna to E_p = mgΔx sin θ = 0,250 × 9,8 × 1,00 × sin 15° = 0,63 J, więc tarcie pochłonęło 0,63 − 0,11 = 0,52 J — dokładnie tyle, ile podaje instrukcja laboratoryjna. Podzielenie przez odległość daje F_f = 0.52 J / 1.00 m = 0.52 N, a podzielenie tego przez siłę normalną mg cos θ = 0.250 × 9.8 × cos 15° = 2.37 N daje μ_k = 0.22. Ta sama wartość wynika bezpośrednio ze wzoru a = g (sin θ − μ cos θ): 0,45 / 9,8 = 0,0459 oraz (0,2588 − 0,0459) / 0,9659 = 0,220.

Czasy wynikają ze wzoru Δx = ½at², przekształconego do postaci t = √(2Δx / a) — dla 20° t = √(2 × 1,00 / 1,33) = 1,23 s — a prędkości ze wzoru v = at. Zwróć uwagę, jak gwałtownie reaguje przyspieszenie: podniesienie równi pochyłej o pięć stopni, z 15° do 20°, prawie je trzykrotnie zwiększa. Dzieje się tak nie dlatego, że sin θ prawie potraja swoją wartość (rośnie o jedną trzecią), ale dlatego, że przyspieszenie jest różnica z dwóch porównywalnych wyrazów. Pod kątem 15° wyraz napędzający 0,259 oraz wyraz tarcia 0,220 × 0,966 = 0,213 niemal się znoszą, pozostawiając jedynie 0,046 g; mała zmiana większego wyrazu jest więc dużą zmianą małej reszty. To bliskie zniesienie się jest najważniejszą rzeczą do zrozumienia w zakresie małych kątów tego eksperymentu.

Kąt, poniżej którego nic się nie dzieje. Wózek rusza tylko wtedy, gdy wyraz napędzający przewyższa wyraz tarcia, czyli gdy tan θ > μ. Przy μ = 0.22 próg ten wynosi θ = arctan 0.22 = 12.4°, a prawdziwy próg początkowy jest jeszcze nieco wyższy, ponieważ tarcie statyczne zazwyczaj przewyższa kinetyczne. Najniższa pozycja zacisku musi zatem zapewniać nachylenie wynoszące co najmniej około 13°, w przeciwnym razie wózek po prostu tam pozostanie, a pierwsza próba eksperymentu będzie prawdopodobnie najmniej wiarygodna z trzech niezależnie od kąta.

Im bardziej stroma rampa, tym jest wydajniejsza, a nie mniej. Ta tabela zawiera wynik, który najprawdopodobniej zaskakuje, i jest on przeciwieństwem tego, co sugerowała intuicja — oraz poprzednia wersja tej strony. Uwolniana energia rośnie wraz z sin θ, od 0,63 J do 1,23 J, podczas gdy praca przeciwko sile tarcia wynosi μmgΔx cos θ i dlatego wodospady w zależności od kąta, od 0,52 J do 0,47 J, ponieważ wózek wywiera mniejszy nacisk na bardziej stromą deskę. Wzrost licznika przy spadku mianownika daje ułamek energii przekształconej w ruch, który gwałtownie rośnie: 18 % przy 15°, 62 % przy 30°. W przypadku ogólnym sprawność wynosi 1 − μ/tan θ, co jest użytecznym, zwięzłym wynikiem: dąży do zera przy kącie progowym i zbliża się do 1, gdy rampa staje się pionowa.

Czytanie taśmy i dlaczego kropki muszą być pogrupowane. Iskrownik działający z częstotliwością 60 Hz rejestruje kropkę co Δt = 1/60 = 0.0167 s. Na taśmie o ruchu jednostajnie przyspieszonym odległość rośnie o aΔt² z jednego przedziału do drugiego, co przy 0,45 m/s² wynosi 0,45 × (0,0167)² = 1,25 × 10⁻⁴ m — 0,13 mm, co stanowi jedną czwartą rozdzielczości linijki milimetrowej o dokładności ±0,5 mm. Przy pomiarze punkt po punkcie taśma o kącie 15° będzie wyglądać jak przypadkowy rozrzut bez żadnej widocznej tendencji. Rozwiązaniem jest pogrupowanie punktów: uwzględnienie co szóstego punktu daje Δt = 0,100 s, a przyrost na przedział wynosi aΔt² = 4,5 mm, co jest łatwe do zmierzenia i odpowiada około ±11 % przy precyzji linijki. Przy kącie 30° to samo grupowanie daje 30 mm na przedział wzrostu i znacznie dokładniejszy pomiar. Grupowanie nic nie kosztuje, ponieważ uśrednianie na sześciu przedziałach jest dokładnie tym, co i tak zakłada metoda prędkości przedziałowej.

Całe zejściowe jest krótkie: 2,10 s przy 15° to około 126 kropek przy 60 Hz, a 0,81 s przy 30° to tylko około 49. Próby strome dają zatem krótszą taśmę z mniejszą liczbą punktów, ale większymi, wyraźniejszymi odstępami, zaś próby łagodne – na odwrót. Jeśli częstotliwość iskier urządzenia nie wynosi 60 Hz, każda liczba w tym akapicie skaluje się jako Δt² i musi zostać przeliczona na nowo; częstotliwość należy odczytać z przyrządu przed analizą taśm.

Czym tak naprawdę jest tarcie. Współczynnik wynoszący 0,22 to wartość zmienna – drewno po drewnie lub guma po suchej desce. Wózek na kołach porusza się z współczynnikiem oporu tocznego wynoszącym od około 0,01 do 0,05, czyli od pięciu do dwudziestu razy mniejszym, więc 0,22 nie może wynikać wyłącznie z samych kół. Reszta to taśma: wózek ciągnie papierowy pasek przez cały czas zbiegu przez aparat iskrowy, a prowadnica aparatu i krążek z kalką naciskają na ten pasek w sposób ciągły. Ta siła hamująca nie zależy od wagi wózeczka ani od kąta nachylenia, dlatego traktowanie jej jako współczynnika tarcia jest raczej wygodną fikcją niż stałą fizyczną – fikcją, która sprawdza się przy jednym kącie i odbiega od rzeczywistości przy innym. Klasa, która przepuszcza wózek raz z przymocowaną taśmą, a raz bez niej, mierząc czas w obu przypadkach, bezpośrednio wyznacza udział taśmki, a to porównanie jest najcenniejszym rozwinięciem, jakie to urządzenie umożliwia.

Podsumowanie zadania według zakresu ocen

Klasy 9–10

Skupienie: obserwowanie, że wózek przyspiesza, i opisanie tego za pomocą słownictwa z zakresu ruchu. Uczniowie montują równię pochyłą, puszczają wózek z najniższej pozycji zacisku i oglądają taśmę, zaznaczając miejsce, w którym kropki zaczynają się rozszerzać. Mierzą odległości między zgrupowanymi kropkami za pomocą linijki, przeliczają każdą grupę na średnią prędkość i sporządzają wykres prędkości w funkcji czasu, aby otrzymać prostą. Oczekiwane wnioski mają charakter jakościowy, ale precyzyjny: wózek zyskuje prędkość równomiernie, a nie nagle, wykres prędkości w funkcji czasu jest linią, a nie krzywą, zaś podniesienie równi sprawia, że linia staje się bardziej stroma. Słownictwo, które należy poprawnie opanować do końca zajęć: prędkość, przyspieszenie, kąt nachylenia, tarcie.

Klasa 11

Skupienie: uję ilościowe opracowanie. Studenci wyznaczają przyspieszenie z nachylenia wykresu prędkości od czasu i porównują je ze stałą różnicą między kolejnymi odstępami, a następnie używają wzoru Δx = ½at², aby przewidzieć czas zsuwania się i porównać go ze wskazaniem chronometru. Sporządzają bilans energetyczny dla każdego kąta – uwzględniając uwolnioną energię mgΔx sin θ, dostarczoną energię ½mv², przy czym różnicę przypisują tarciu – oraz przeliczają pracę tarcia na siłę, a następnie na współczynnik. Oczekiwanym wynikiem jest to, że z dokładnością do precyzji pomiarowej dla wszystkich trzech kątów uzyskuje się ten sam współczynnik, a przedmiotem dyskusji ma być to, co oznacza sytuacja, gdy tak nie jest.

Klasa 12 / Poziom akademicki

Skupienie: wyprowadzenie i próg tarcia. Studenci wyprowadzają wzór a = g (sin θ − μ cos θ) z drugiej zasady dynamiki Newtona zastosowanej wzdłuż i prostopadle do równi poхиłej, pokazują, że masa się redukuje, i przewidują kąt graniczny tan θ = μ, poniżej którego wózek nie ruszy. Argument końcowy to ten, który rozdziela dwa wkłady do siły oporu: opory toczenia skalują się z siłą nacisku normalnego, a opór taśmy nie, więc pomiar przyspieszenia z przymocowaną taśmą i bez niej pozwala je rozdzielić, a relację sprawnościową 1 − μ/tan θ można następnie zweryfikować w funkcji kąta zamiast przyjmować ją za założenie.

Podstawowe wyposażenie laboratorium

Instrumenty

• Uniwersalny stojak laboratoryjny z łapą
• Deski drewniane × 2
• Koszyk (250 g)
• Stoper iskrowy
• Dozownik do taśmy z taśmą z zapalnikiem iskrowym
• linijka 50 cm

Produkty

Brak — to laboratorium nie używa żadnych odczynników chemicznych.