084 – Acceleració constant

Un carret lliberat a la part superior d'una rampa accelera a mesura que descendeix, i ho fa a un ritme que es manté constant des de la part superior del tauler fins a la inferior. Això és un moviment uniformement accelerat —la mateixa quantitat de velocitat guanyada a cada segon— i és el cas més simple en què la velocitat canvia. Els enginyers se'n troben allà a tot arreu on una càrrega llisca per un pendent: transportadors de corrons per gravetat en un magatzem, una pista de luge, la rampa utilitzada per descarregar un camió. També és el cas de referència amb el qual es compara qualsevol moviment més complicat.

La causa és que només una part del pes del carretó actua al llarg de la taula. La gravetat estira directament cap avall amb una força mg; en un pla inclinat d'angle θ la component al llarg de la superfície és mg sin θ, i la component que prem el carro contra la taula és mg cos θ. El primer impulsa el carro, el segon estableix amb quina força s'hi oposa la fricció, de manera que l'acceleració pendent avall és a = g (sin θ − μ cos θ). La massa s'elimina completament d'aquesta expressió: un carro pesat i un de lleuger acceleren de manera idènd tranquila pel mateix pla inclinat, tot i que el pesat duu més energia quan hi arriba.

En aquest laboratori construireu un pla inclinat amb dues taules i una pinça en un suport universal, hi fareu baixar un carret de 250 g mentre un registre d'espurnes imprimeix un punt en una cinta de paper a intervals fixos, i repetireu el descens a tres angles creixents. La cinta és el registre del moviment: els punts que s'allunyen més volen dir que el carret accelera, i la taxa a la qual creix l'espaiat és l'acceleració. A partir d'aquesta acceleració i de la distància recorreguda, donareu compte de l'energia: quanta energia potencial gravitatòria s'ha alliberat, quanta n'ha arribat al peu de la rampa com a energia cinètica, i quanta se n'ha emportat la fricció durant la baixada.

Objectius educatius

Construcció i caracterització d'un pla inclinat

• Munteu un pla inclinat estable a partir d'un suport universal, una mordassa i dues taules, i enfileu-lo a intervals controlats de manera que noméscanviï l'angle entre les proves.
• Registreu l'angle de cada prova i reconegueu-lo com la única variable independent de l'experiment.

Registrament del moviment amb un cronòmetre d'espurna

• Passeu la cinta pel cronòmetre de registre, fixeu-la al carro i engegueu el temporitzador perquè el descens i el registre comencin alhora.
• Llegiu una cinta acabada: identifiqueu l'inici del moviment, mesureu l'espaiament dels punts i expliqueu per què creix l'espaiament.

Mesura de la velocitat i l'acceleració a partir de dades

• Calculeu una velocitat mitjana per a cada interval com a $v = \Delta x / \Delta t$, i tracteu-la com la velocitat instantània al punt mitjà d'aquell interval.
• Obteniu l'acceleració de dues maneres independents: a partir del pendent d'un gràfic de velocitat-temps i a partir de la diferència constant entre espaiaments successius de punts.

Aplicant les equacions del moviment rectilini uniformement accelerat

• Utilitzeu Δx = ½at², v = at i v² = 2aΔx per predir un temps de descens o una velocitat final abans de fer la prova, i després compareu la predicció amb la cinta.
• Expliqueu per què el gràfic posició-temps d'aquest moviment és una paràbola mentre que el gràfic velocitat-temps és una línia recta.

Descomposició de forces en un pla inclinat

• Descomponeu el pes en les components $mg \sin \theta$ al llarg de la pissarra i $mg \cos \theta$ perpendicularment a aquesta, i construïu-ne l'equació de moviment.
• Extreure un coeficient de fricció a partir d'una acceleració mesurada, i predir l'angle per sota del qual el carretó no arrencarà de cap manera.

Comptabilitzant l'energia

• Calculeu l'energia potencial alliberada (E_p = mgΔx sin θ), l'energia cinètica al peu (E_k = ½mv²) i la diferència entre ells.
• Identifiqueu aquesta diferència com el treball realitzat contra la fricció, W_f = ΔE_m, i convertir-la en una força a través de F_f = W_f / Δx.

Jutjar la qualitat d'una mesura

• Compareu la mida de l'efecte que es mesura amb la resolució de l'instrument que el mesura, i agrupeu els punts de la cinta quan un sol interval sigui massa curt per resoldre'l.
• Distinguiu un desori aleatori que les proves repetides reduiran d'un desplaçament sistemàtic que no ho faran.

Protocol

1. Fixa una pinça al suport universal (posició més baixa).
2. Poseu una primera brida al final del cargol de premsa.
3. Col·loca una segona taula a l'extrem de la primera de manera que quedi inclinada.
4. El valor de l'angle s'indica a la taula de resultats.
5. Poseu el carretó de 250g a la part superior del pla inclinat.
6. Col·loca el cronòmetre de gravació a prop de la unió de les dues taules.
7. Col·loca el dispensador de cinta a la primera taula.
8. Enganxa el ganxo de la punta del dispensador de cinta a l'anella del carretó.
9. Inicia el cronòmetre. Això activarà el descens del carro.
10. Un cop el carro arribi al final del tauler, atura el cronòmetre.
11. Les mesures del cronòmetre d'enregistrament es troben a la taula de resultats.
12. Reinicia el cronòmetre amb el botó dret.
13. Fixa la pinça al suport universal en una posició una mica més alta. La placa s'inclinarà amb un angle més pronunciat.
14. Reposar el carretó de 250g a la part superior del pla inclinat.
15. Activa el cronòmetre. Això provocarà el descens del carro.
16. Un cop el carro arribi al final del tauler, atura el cronòmetre.
17. Reinicia el cronòmetre amb el botó dret.
18. Fixeu la pinça al suport universal en la posició més alta. La taula s'inclinarà amb un angle encara més pronunciat.
19. Repeteix els passos 14 a 16 amb aquest nou angle.
20. A partir de les dades recollides a la taula de resultats, calculeu l'acceleració del carretó, realitzeu també els càlculs de l'energia potencial, l'energia cinètica i l'energia mecànica del carretó.
21. Determineu la magnitud de la força de fricció que actua sobre el carro durant el seu descens.

Resultats previstos

La cinta és el resultat principal. Els seus punts estan impresos a intervals de temps iguals, de manera que un espaiament igual significaria una velocitat constant i un espaiament creixent significa acceleració; en un descens uniformement accelerat el augmentar en l'espaiament d'un interval al següent és constant en si mateix, i igual a aΔt². Un estudiant que mesura els espaiaments entre punts, en converteix cadascun en una velocitat i representa gràficament la velocitat en funció del temps obté una línia recta el pendent de la qual és l'acceleració. La línia no passa per l'origen, perquè el temporitzador es posa en marxa un instant abans que el carretó sigui alliberat i els primers punts s'imprimeixen mentre el carretó encara està en repòs.

Aquesta pàgina conté un exemple resolt en lloc d'un conjunt de dades mesurades: les tres posicions de mordassa utilitzades en la simulació, els angles que produeixen i les lectures del cronòmetre que donen no estan publicades, de manera que les xifres següents es calculen a partir del cas únic que declara el laboratori: una acceleració d'aproximadament 0,45 m/s² en un pla inclinat de 15°, amb 0,63 J alliberats i aproximadament 0,52 J perduts per fricció en un descens d'1 m. Aquests tres nombres són mútuament consistents i fixen el coeficient de fricció, que després prediu qualsevol altre angle. Els professors haurien de tractar les taules com a prediccions per ser contrastades amb la seva pròpia cinta, i no com a lectures preses del muntatge.

Corregint la fricció de l'exemple indicat. Amb Δx = 1,00 m i a = 0,45 m/s², el carretó arriba a v = √(2aΔx) = √(2 × 0,45 × 1,00) = 0,95 m/s transportant E_k = ½ × 0,250 × 0,95² = 0,11 J. L'energia potencial alliberada és E_p = mgΔx sin θ = 0.250 × 9.8 × 1.00 × sin 15° = 0.63 J, de manera que la fricció va absorbir 0.63 − 0.11 = 0.52 J — exactament la xifra que cita el laboratori. Dividint per la distància s'obté F_f = 0,52 J / 1,00 m = 0,52 N, i dividint això per la força normal mg cos θ = 0,250 × 9,8 × cos 15° = 2,37 N dóna μ_k = 0.22. El mateix valor es desprèn directament de a = g (sin θ − μ cos θ): 0,45 / 9,8 = 0,0459, i (0,2588 − 0,0459) / 0,9659 = 0,220.

El temps prové de Δx = ½at², reorganitzada com a t = √(2Δx / a) — a 20°, t = √(2 × 1,00 / 1,33) = 1,23 s — i les velocitats de v = at. Observeu com de bruscament respon l'acceleració: en the i tot apujant la rampa cinc graus, de 15° a 20°, gairebé es triplica. Això no és perquè sin θ gairebé es tripliqui (creix una tercera part), sinó perquè l'acceleració és la diferència de dos termes comparables. A 15° el terme motriu 0,259 i el terme de fricció 0,220 × 0,966 = 0,213 gairebé s'anul·len, deixant només 0,046 de g; per tant, un petit canvi en el terme més gran representa un gran canvi en el petit romanent. Aquesta cancel·lació gairebé total és el factor més important a entendre sobre l'extrem deangle baix d'aquest experiment.

L'angle per sota del qual no passa res. El carretó només arrenca si el terme de conducció supera el terme de fricció, és a dir, si $\tan \theta > \mu$. Amb $\mu = 0.22$, aquest llindar és $\theta = \arctan 0.22 =$ 12.4°, i el llindar de partida real és encara una mica més alt perquè la fricció estàtica sol superar la cinètica. La posició més baixa de la mordassa ha de produir, per tant, un pendent d'almenys uns 13° o el carretó simplement es quedarà allà, i la primera prova de l'experiment probablement serà la menys fiable de les tres, independentment de quin sigui l'angle.

El pla inclinat més dlicua és el més eficient, no el menys. Aquesta taula conté el resultat més probable que sorprengui, i és el contrari del que suggerien la intuïció —i la versió anterior d'aquesta pàgina—. L'energia alliberada creix amb sin θ, de 0,63 J a 1,23 J, mentre que el treball contra la fricció és μmgΔx cos θ i, per tant, casades amb angle, de 0,52 J a 0,47 J, perquè el carro pressiona menys fort sobre una planxa més costeruda. Un numerador que puja contra un denominador que baixa dóna una fracció de moviment que puja amb gran inclinació: 18 % a 15°, 62 % a 30°. En el cas general l'eficiència és 1 − μ/tan θ, que és un resultat compacte i útil: tendeix a zero a l'angle llindar i s'apropa a 1 a mesura que la rampa s'apropa a la vertical.

Llegir la cinta, i per què s'han d'agrupar els punts. Un temporitzador d'espurnes que funciona a l'habitual freqüència de 60 Hz imprimeix un punt cada Δt = 1/60 = 0,0167 s. En una cinta uniformement accelerada, l'espaiat creix a raó de aΔt² d'un interval a un altre, la qual cosa a 0,45 m/s² és 0,45 × (0,0167)² = 1,25 × 10⁻⁴ m — 0,13 mm, una quarta part del que pot resoldre una regla de mil·límetres amb una precisió de ±0,5 mm. Mesurat punt per punt, la cinta de 15° semblarà una dispersió aleatòria sense cap tendència. El remei és agrupar els punts: en prendre cada sisè punt, Δt = 0,100 s, i l'augment per interval esdevé aΔt² = 4,5 mm, fàcilment mesurable i d'uns ±11 % amb la precisió de la regla. A 30°, el mateix agrupament dona 30 mm per interval de creixement i una mesura molt millor. Agrupar no costa res, perquè fer una mitjana sobre sis intervals és exactament el que el mètode de velocitat per intervals assumeix de totes maneres.

Tota la baixada és curta: 2,10 s a 15° són uns 126 punts a 60 Hz, i 0,81 s a 30° només uns 49. Les proves pronunciades, per tant, donen una cinta més curta amb menys punts però amb espais més grans i nets, i les proves planes al revés. Si la freqüència d'espurna del muntatge no és de 60 Hz, cada nombre d'aquest paràgraf escala com a Δt² i s'ha de tornar a calcular; la freqüència s'ha de llegir de l'instrument abans d'analitzar les cintes.

Què és realment la fricció. Un coeficient de 0,22 és un nombre de lliscament —fusta sobre fusta, o goma sobre una taula seca. Un carretó amb rodes roda amb un coeficient de resistència al rodatge d'entre 0,01 i 0,05 aproximadament, de cinc a vint vegades més petit, de manera que 0,22 no poden ser només les rodes. La resta és la cinta: el carretó arrossega una tira de paper a través del temporitzador d'espurna durant tot el descens, i la guia i el disc de carboni del temporitzador pressionen aquesta tira contínuament. Aquesta força de frenada no depèn del pes del carretó ni de l'angle, motiu pel qual tractar-la com un coeficient de fricció és una ficció convenient més que no pas una constant física —una ficció que funcionarà prou bé a un angle i derivarà a un altre. Una classe que faci anar el carretó un cop amb la cinta posada i un altre sense, cronometrant tots dos, mesura directament la part corresponent a la cinta, i aquesta comparació és l'ampliació més valuosa que admet aquest aparell.

Resum de tasques per rang de qualificació

De 9è a 10è grau

Enfocament observant que el carretó accelera i descrivint-ho amb el vocabulari del moviment. Els estudiants munten la rampa, fan lliscar el carretó a la posició de fixació més baixa i inspeccionen la cinta, marcant on els punts comencen a separar-se. Mesuren l'espaiament dels punts agrupats amb el regle, converteixen cada grup en una velocitat mitjana i representen gràficament la velocitat en funció del temps per veure una línia recta. Les conclusions esperades són qualitatives però precises: el carretó guanya velocitat de manera constant i no de cop, el gràfic de la velocitat en funció del temps és una línia i no una corba, i elevar la rampa fa que la línia sigui més pendent. El vocabulari que s'ha d'utilitzar correctament al final: velocitat, acceleració, angle d'inclinació, fricció.

11è curs

Enfocament el tractament quantitatiu. Els estudiants obtenen l'acceleració a partir del pendent del gràfic velocitat-temps i la comproven amb la diferència constant entre espais successius, després utilitzen $\Delta x = \frac{1}{2}at^2$ per predir el temps de descens i el comparem amb el cronòmetre. Completen el balanç energètic per a cada angle — $mg\Delta x \sin\theta$ alliberat, $\frac{1}{2}mv^2$ subministrat, la diferència atribuïda a la fricció — i converteixen el treball de fricció en una força i després en un coeficient. El resultat objectiu és que el mateix coeficient surt, dins de la precisió de mesura, dels tres angles, i la discussió objectiu és què significa quan no ho fa.

12è curs / Nivell universitari

Enfocament deducció i el llindar de fricció. Els estudiants dedueixen a = g (sin θ − μ cos θ) a partir de la segona llei de Newton aplicada al llarg i perpendicularment al pla inclinat, mostren que la massa s'anul·la i prediuen l'angle llindar tan θ = μ per sota del qual el carretó no arrencarà. L'argument final és el que separa les dues contribucions a la força de frenada: la resistència al rodament escala amb la força normal i l'arrossegament de la cinta no ho fa, de manera que mesurar l'acceleració amb la cinta posada i sense posar les separa, i la relació d'eficiència 1 − μ/tan θ es pot comprovar aleshores en funció de l'angle en lloc de suposar-la.

Equipament de laboratori

Instruments

• Suport universal amb pinça
• Taules de fusta × 2
• Carretó (250 g)
• Cronòmetre d'espurna
• Dispensador de cinta adhesiva amb cinta amb temporitzador d'espurna
• Regle de 50 cm

Productes

Cap — aquest laboratori no utilitza cap reactiu químic.