084 – Accelerație constantă

Un cărucior eliberat în partea de sus a unei rampa prinde viteză pe măsură ce coboară, și face acest lucru cu o rată care rămâne aceeași de sus până jos pe scândură. Aceasta este o mișcare uniform accelerată – aceeași cantitate de viteză câștigată în fiecare secundă – și este cel mai simplu caz în care viteza se schimbă. Inginerii o întâlnesc oriunde o sarcină coboară pe o pantă: conveioare cu role gravitaționale într-un depozit, o pistă de săniuță, rampa folosită pentru descărcarea unui camioane. Este, de asemenea, cazul de referință cu care este comparată orice mișcare mai complicată.

Cauza este că doar o parte din greutatea căruciorului acționează de-a lungul scândurii. Gravitația trage direct în jos cu o forță mg; pe un plan înclinat cu unghiul θ, componenta de-a lungul suprafeței este mg sin θ, iar componenta care apasă căruciorul în placă este mg cos θ. Primul conduce căruciorul, al doilea stabilește cât de mult se opune frecarea, astfel încât accelerația pe pantă este a = g (sin θ − μ cos θ). Masa se simplifică complet din acea expresie: un cărucior greu și unul ușor accelerează în mod identic pe aceeași rampă, deși cel greu transportă mai multă energie când ajunge acolo.

În acest laborator veți construi un plan înclinat din două scânduri și o clemă pe un suport universal, veți lăsa un cărucior de 250 g să coboare pe acesta în timp ce un cronometru cu scântei tipărește un punct pe o bandă de hârtie la intervale fixe și veți repeta coborârea la trei unghiuri din ce în ce mai mari. Banda este înregistrarea mișcării: punctele care se depărtează înseamnă că căruciorul accelerează, iar rata cu care crește distanța dintre ele reprezintă accelerația. Pe baza acelei accelerații și a distanței parcurse, veți calcula apoi energia — câtă energie potențială gravitațională a fost eliberată, cât din aceasta a ajuns la baza rampa sub formă de energie cinetică și câtă s-a pierdut prin frecare pe parcursul coborârii.

Obiective educaționale

Construirea și caracterizarea unui plan înclinat

• Asamblați o rampă stabilă dintr-un suport universal, o clemă și două scânduri și ridicați-o în trepte controlate, astfel încât doar unghiul să se modifice între teste.
• Înregistrați unghiul fiecărui experiment și recunoașteți-l ca fiind singura variabilă independentă a experimentului.

Înregistrarea mișcării cu un cronometru cu scântei

• Introduceți bandă prin cronometrul de înregistrare, atașați-o la cărucior și porniți cronometrul astfel încât coborârea și înregistrarea să înceapă împreună.
• Citește o bandă completată: identifică începutul mișcării, măsoară spațierea punctelor și explică de ce crește spațierea.

Măsurarea vitezei și a accelerației din date

• Calculați o viteză medie pentru fiecare interval ca $v = \Delta x / \Delta t$ și tratați-o ca pe viteza instantanee la mijlocul acelui interval.
• Obțineți accelerația în două moduri independente: din panta unui grafic viteză-timp și din diferența constantă dintre spațierile succesive ale punctelor.

Aplicarea ecuațiilor mișcării uniform a accelerate

• Folosește Δx = ½at², v = at și v² = 2aΔx pentru a prezice un timp de coborâre sau o viteză finală înainte de a efectua testul, apoi compară predicția cu banda.
• Explicați de ce un grafic poziție-timp al acestei mișcări este o parabolă, în timp ce graficul viteză-timp este o linie dreaptă.

Descompunerea forțelor pe un plan înclinat

• Descompuneți greutatea în componentele mg sin θ de-a lungul scândurii și mg cos θ perpendicular pe aceasta și construiți ecuația de mișcare din acestea.
• Extrageți un coeficient de frecare dintr-o accelerație măsurată și preziceți unghiul sub care căruciorul nu va porni deloc.

Contabilizarea energiei

• Calculați energia potențială eliberată (E_p = mgΔx sin θ), energia cinetică la bază (E_k = ½mv²) și diferența dintre ele.
• Identifică acea diferență ca fiind lucrul mecanic efectuat împotriva frecării, W_f = ΔE_m, și convertiți-o într-o forță prin F_f = W_f / Δx.

Evaluarea calității unei măsurători

• Comparați dimensiunea efectului măsurat cu rezoluția instrumentului care îl măsoară și grupați punctele de pe bandă atunci când un singur interval este prea scurt pentru a fi rezolvat.
• Distingeți o împrăștiere aleatorie pe care încercările repetate o vor reduce de o deviație sistematică pe care nu o vor face.

Protocol

1. Fixați o clemă pe suportul universal (poziția cea mai joasă).
2. Pune o primă scândură la capătul clemei.
3. Pune o a doua scândură la capătul primeia, astfel încât să fie așezată înclinat.
4. Valoarea unghiului este înscrisă în tabelul de rezultate.
5. Așezați carul de 250g în partea de sus a planului înclinat.
6. Poziționați cronometrul de înregistrare lângă joncțiunea celor două scânduri.
7. Așezați dozatorul de bandă pe prima placă.
8. Atașează cârligul de vârful cleștilor dispenserului de bandă la inelul căruciorului.
9. Pornește cronometrul. Aceasta va declanșa coborârea vagonului.
10. Odată ce căruciorul ajunge la capătul pistei, oprește cronometrul.
11. Măsurătorile cronometrului de înregistrare se găsesc în tabelul de rezultate.
12. Resetează cronometrul cu butonul din dreapta.
13. Fixați clema pe suportul universal la o poziție puțin mai sus. Scândura va înclina cu un unghi mai pronunțat.
14. Repoziționați căruciorul de 250g în partea de sus a planului înclinat.
15. Activează cronometrul. Acest lucru va declanșa coborârea vagonului.
16. Odată ce căruciorul ajunge la capătul pistei, oprește cronometrul.
17. Resetează cronometrul cu butonul din dreapta.
18. Fixați clema pe suportul universal în poziția cea mai înaltă. Placa se va înclina cu un unghi și mai pronunțat.
19. Repetați pașii 14 până la 16 cu acest nou unghi.
20. Din datele colectate în tabelul de rezultate, calculați accelerația căruciorului, efectuați și calculele energiei potențiale, energiei cinetice și energiei mecanice a căruciorului.
21. Determinați mărimea forței de frecare care acționează asupra căruciorului în timpul coborârii acestuia.

Rezultate anticipate

Bandă este rezultatul principal. Punctele sale sunt imprimate la intervale egale de timp, astfel încât o distanță egală ar însemna viteză constantă, iar o distanță în creștere înseamnă accelerație; la o coborâre uniform accelerată, crește iar spațiul dintre un interval și următorul este la rândul său constant și egal cu aΔt². Un elev care măsoară spațiile dintre puncte, convertește fiecare valoare într-o viteză și reprezintă grafic viteza în funcție de timp obține o linie dreaptă a cărei pantă reprezintă accelerația. Dreapta nu trece prin origine, deoarece cronometrul este pornit cu o clipă înainte ca căruciorul să fie eliberat, iar primele puncte sunt imprimate în timp ce căruciorul se află încă în repaus.

Această pagină conține un singur exemplu rezolvat, mai degrabă decât un set de date măsurate: cele trei poziții de prindere utilizate în simulare, unghiurile pe care le produc și citirile cronometrului pe care le oferă nu sunt publicate, astfel încât cifrele de mai jos sunt calculate din singurul exemplu pe care îl menționează laboratorul — o accelerație de aproximativ 0,45 m/s² pe o pantă de 15°, cu 0,63 J eliberați și aproximativ 0,52 J pierduți prin frecare pe o coborâre de 1 m. Aceste trei numere sunt reciproc consistente și determină coeficientul de frecare, care prezice apoi orice alt unghi. Profesorii ar trebui să trateze tabelele ca pe niște predicții care urmează să fie testate pe propria bandă, nu ca pe citiri preluate din montaj.

Eliminarea disfuncționalităților din exemplul menționat. Cu Δx = 1,00 m și a = 0,45 m/s², căruciorul ajunge la v = √(2aΔx) = √(2 × 0,45 × 1,00) = 0,95 m/s transportând E_k = ½ × 0,250 × 0,95² = 0,11 J. Energia potențială eliberată este E_p = mgΔx sin θ = 0.250 × 9.8 × 1.00 × sin 15° = 0.63 J, deci frecarea a absorbit 0.63 − 0.11 = 0.52 J — exact valoarea pe care o indică laboratorul. Împărțirea la distanță dă F_f = 0,52 J / 1,00 m = 0,52 N, iar împărțind aceasta la forța normală mg cos θ = 0,250 × 9,8 × cos 15° = 2,37 N se obține μ_k = 0.22. Aceeași valoare rezultă direct din a = g (sin θ − μ cos θ): 0,45 / 9,8 = 0,0459, iar (0,2588 − 0,0459) / 0,9659 = 0,220.

Timpul provine din Δx = ½at², reorganizat ca t = √(2Δx / a) — la 20°, t = √(2 × 1,00 / 1,33) = 1,23 s — iar vitezele din v = at. Observați cât de brusc reacționează accelerația: ridicarea „ramp” cu cinci grade, de la 15° la 20°, o triplează aproape. Asta nu pentru că sin θ se triplează aproape (crește cu o treime), ci pentru că accelerația este diferență a doi termeni comparabili. La 15°, termenul motor 0,259 și termenul de fricțiune 0,220 × 0,966 = 0,213 se anulează aproape complet, lăsând doar 0,046 din g; o mică schimbare în termenul mai mare reprezintă, prin urmare, o schimbare mare în restul mic. Această aproape-anulare este singurul cel mai important lucru de înțeles în legătură cu capătul cu unghi mic al acestui experiment.

Unghiul sub care nu se întâmplă nimic. Căruțul pornește doar dacă termenul de antrenare depășește termenul de frecare, adică dacă tan θ > μ. Cu μ = 0,22, acest prag este θ = arctan 0,22 = 12.4°, iar pragul de pornire real este încă și mai ridicat, deoarece frecția statică o depășește de obicei pe cea cinetică. Prin urmare, cea mai joasă poziție a clemei trebuie să producă o pantă de cel puțin aproximativ 13°, altfel căruciorul va sta pur și simplu acolo, iar prima încercare a experimentului va fi probabil cea mai puțin fiabilă dintre cele trei, indiferent care este unghiul.

Rampa mai abruptă este cea mai eficientă, nu cea mai puțin eficientă. Acest tabel conține rezultatul cel mai probabil să surprindă și este opusul a ceea ce sugera atracția intuiția — și versiunea anterioară a acestei pagini. Energia eliberată crește odată cu sin θ, de la 0,63 J la 1,23 J, în timp ce lucrul mecanic împotriva frecării este μmgΔx cos θ și, prin urmare căderi în funcție de unghi, de la 0,52 J la 0,47 J, deoarece căruciorul exercită o presiune mai mică pe o placă mai abruptă. Un numărător care crește în contrast cu un numitor care scade dă o fracție transformată în mișcare care crește abrupt: 18 % la 15°, 62 % la 30°. În cazul general, eficiența este 1 − μ/tan θ, ceea ce reprezintă un rezultat compact util: aceasta tinde spre zero la unghiul prag și se apropie de 1 pe măsură ce rampa se apropie de verticală.

Citirea benzii și de ce punctele trebuie grupate. Un cronometru cu scântei care funcționează la frecvența obișnuită de 60 Hz imprimă un punct la fiecare Δt = 1/60 = 0,0167 s. Pe o bandă uniform accelerată, spațierea crește cu aΔt² de la un interval la altul, ceea ce la 0,45 m/s² este 0,45 × (0,0167)² = 1,25 × 10⁻⁴ m — 0,13 mm, adică un sfert din ceea ce poate distinge o riglă de un milimetru cu o precizie de ±0,5 mm. Dacă se măsoară punct cu punct, banda de 15° va părea o împrăștiere aleatorie, fără nicio tendință. Soluția constă în gruparea punctelor: luând fiecare al șaselea punct, se obține Δt = 0,100 s, iar creșterea pe interval devine aΔt² = 4,5 mm, ușor de măsurat și de aproximativ ±11 % la precizia riglei. La 30°, aceeași grupare oferă 30 mm pe interval de creștere și o măsurătoare mult mai bună. Gruparea nu costă nimic, deoarece calcularea mediei pe șase intervale este exact ceea ce presupune oricum metoda interval-viteză.

Întreaga coborâre este scurtă: 2,10 s la 15° înseamnă aproximativ 126 de puncte la 60 Hz, iar 0,81 s la 30° înseamnă doar aproximativ 49. Prin urmare, probele abrupte oferă o bandă mai scurtă, cu mai puține puncte, dar cu spații mai mari și mai curate, iar probele puțin înclinate invers. Dacă frecvența scânteilor aparatului nu este de 60 Hz, fiecare număr din acest paragraf se scalează cu $\Delta t^2$ și trebuie recalculat; frecvența trebuie citită de pe instrument înainte ca benzile să fie analizate.

Ce este de fapt fricțiunea. Un coeficient de 0,22 este un număr de alunecare — lemn pe lemn sau cauciuc pe o scândură uscată. Un cărucior pe roți rulează cu un coeficient de rezistență la rulare cuprins între aproximativ 0,01 și 0,05, de cinci până la douăzeci de ori mai mic, așa că 0,22 nu poate fi reprezentat doar de roți. Restul reprezintă bandă de hârtie: căruciorul trage o fâșie de hârtie prin cronometrul cu scântei pe parcursul întregii coborâri, iar ghidajul și discul de carbon ale cronometrului apasă continuu pe acea fâșie. Această forță de frânare nu depinde de greutatea căruciorului sau de unghi, motiv pentru care tratarea ei ca fiind un coeficient de frecare este mai degrabă o ficțiune convenabilă decât o constantă fizică — o ficțiune care se va menține bine la un unghi și va devia la altul. O clasă care pune căruciorul în mișcare o dată cu banda atașată și o dată fără ea, cronometrând ambele cazuri, măsoară direct contribuția benzii, iar această comparație este cea mai valoroasă extindere pe care o susține acest aparat.

Rezumatul temei pe intervale de note

Clasele a IX-a și a X-a

Concentrare: observând că căruciorul accelerează și descriind acest lucru în vocabularul mișcării. Elevii montează rampa, lansează căruciorul de la cea mai joasă poziție a clemei și inspectează bandă, marcând unde punctele încep să se depărteze. Ei măsoară spațierea punctelor grupate cu rigla, convertesc fiecare grup într-o viteză medie și trasează viteza în funcție de timp pentru a observa o linie dreaptă. Concluziile așteptate sunt calitative, dar precise: căruciorul câștigă viteză în mod constant și nu dintr-odată, graful vitezei în funcție de timp este o linie și nu o curbă, iar ridicarea rampei face linia mai abrupte. Vocabularul care trebuie utilizat corect până la sfârșit: viteză, accelerație, unghi de înclinare, frecare.

Clasa a XI-a

Concentrare: tratarea cantitativă. Studenții obțin accelerația din panta graficului viteză-timp și o verifică în raport cu diferența constantă dintre intervalele succesive, apoi folosesc Δx = ½at² pentru a prezice timpul de coborâre și îl compară cu cel cronometrat. Ei completează bilanțul energetic pentru fiecare unghi — mgΔx sin θ eliberat, ½mv² livrat, diferența atribuită frecării — și convertesc lucrul mecanic al frecării într-o forță și apoi într-un coeficient. Rezultatul vizat este că același coeficient reiese, în limitele preciziei de măsurare, din toate cele trei unghiuri, iar discuția vizată este ce înseamnă atunci când acest lucru nu se întâmplă.

Clasa a XII-a / Nivel universitar

Concentrare: deducția și pragul de frecare. Studenții deduc a = g (sin θ − μ cos θ) din a doua lege a lui Newton aplicată de-a lungul și perpendicular pe planul înclinat, arată că masa se simplifică și prezic unghiul de prag tan θ = μ sub care căruciorul nu va porni. Argumentul final este cel care separă cele două contribuții la forța de frânare: rezistența la rulare este proporțională cu forța normală, în timp ce rezistența benzii nu este, astfel încât măsurarea accelerației cu și fără banda atașată le separă, iar relația de eficiență 1 − μ/tan θ poate fi apoi testată în funcție de unghi, în loc să fie presupusă.

Esențiale de laborator

Instrumente

• Suport universal (stativ de laborator) cu clemă
• Scânduri de lemn × 2
• Coș (250 g)
• Cronometru înregistrator cu scântei
• Dispozitiv de bandă adezivă cu bandă cu cronometru cu scânteie
• Riglă de 50 cm

Produse

Niciunul — acest laborator nu folosește reactivi chimici.