067 – Měrná tepelná kapacita

Každá látka si účtuje jinou cenu za jeden stupeň teploty. Nalijte stejný objem vody a kuchyňského oleje do identických pánví na identické hořáky a olej se kouří, zatímco voda je stále jen vlažná; moře v září je teplejší než pevnina vedle něj, přestože obojí mělo stejné sluneční svit. Veličinou, která za tím vším stojí, je měrná tepelná kapacita, energie potřebná k ohřátí jednoho gramu látky o jeden stupeň, a je to jedno z nejdůležitějších čísel ve strojírenství. Rozhoduje o tom, čím se plní chladič auta, kolik betonu potřebuje tepelný akumulátor, proč jsou zimy u pobřeží mírné a proč je voda chladivem volby téměř všude, kde se dá použít.

Způsob, jak to změřit, je nechat dvě věci o různých teplotách dosáhnout rovnováhy a podívat se, kde se ustálí společná teplota. Energie se zachovává, takže to, co horká látka odevzdá, studená přijme: m₁c₁(T_f − T₁) + m₂c₂(T_f − T₂) = 0. Po úpravě to znamená, že konečná teplota je průměrem obou počátečních teplot váženým tepelnou kapacitou každé látky – takže bod rovnováhy leží blíže té látce, která má větší kapacitu udržet teplo. Změřte ty tři teploty a každá veličina v rovnici je známá kromě té, kterou hledáte.

V této laboratoři smícháte v kalorimetru 50 ml horké vody ohřáté na přibližně 80 °C s 50 ml studené kapaliny, a to dvakrát: nejprve se studenou vodou, potom se studeným etanolem. Směs vody s vodou slouží jako kontrolní pokus a její výsledek lze předpovědět zcela bez znalosti tepelné kapacity. Směs s ethanolem nikoliv a dosáhne znatelně vyšší teploty než kontrolní směs – ze dvou samostatných důvodů, které vám tato laboratoř umožňuje oddělit a změřit jeden po druhém. Z energetické bilance předpovíte obě rovnovážné teploty, porovnáte je s údaji z kalorimetru a zdůvodníte rozdíl.

Vzdělávací cíle

Energetická bilance jako pracovní nástroj

• Zákon zachování energie pro míchání dvou kapalin: $$m_1 c_1 (T_1 - T_f) = m_2 c_2 (T_f - T_2)$$ Po úpravě pro výslednou teplotu $T_f$: $$T_f = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}$$.
• Výsledek interpretujte jako vážený průměr obou počátečních teplot podle tepelné kapacity a před provedením výpočtu odhadněte, kterým směrem se výsledek posune.

Měrná a molární tepelná kapacita

• Převádějte mezi měrnou tepelnou kapacitou v J/(g·K) a molární tepelnou kapacitou v J/(mol·K) a uveďte, kterou z těchto dvou veličin experiment skutečně potřebuje.
• Vysvětlete, proč má voda větší tepelnou kapacitu na gram, zatímco etanol má větší tepelnou kapacitu na mol, a proč to není v rozporu.

Kalorimetrická metoda

• Ohřejte kapalinu na cílovou teplotu, změřte její teplotu namísto teploty ohřívače, neprodleně ji přelijte a za míchání obsahu odečtěte rovnovážnou teplotu.
• Určete každý bod postupu, ve kterém teplo opouští systém, a uveďte, který z nich je největší.

Použití kontrolního experimentu

• Vysvětlit, proč má smysl míchat vodu s vodou, přestože výsledek je předem znám, a využít nesrovnalost, kterou to odhaluje, jako korekci pro druhý experiment.

Oddělení dvou vlivů, které působí stejným směrem

• Rozlište příspěvek nižší tepelné kapacity etanolu od příspěvku exotermního míchání etanolu s vodou a každému přiřaďte číslo.

Manipulace s těkavou hořlavou kapalinou a horkou vodou

• S ethanol je třeba zacházet s vědomím, že vře při 78 °C, tedy při nižší teplotě, než je teplota vody, která se na něj nalévá, a je nutné ho uchovávat mimo dosah plotýnky.

Protokol

Experiment 1

1. Změřte 50 ml destilované vody v odměrném válci.
2. Nalijte vodu do kalorimetru.
3. Ponořte hrot digitálního teploměru do kalorimetru, abyste změřili teplotu kapaliny.
4. Nalejte 250ml kádinku do poloviny studenou vodou z kohoutku.
5. Položte kádinku na plotýnku.
6. Nastavte plotýnku na 80 °C.
7. Jakmile teplota plotýnky dosáhne 80 °C, ponořte špičku digitálního teploměru do kádinky, abyste změřili teplotu kapaliny.
8. Odejměte kádinku ze topné desky a nalijte 50 ml ohřáté vody do odměrného válce. Poté vraťte kádinku na topnou desku.
9. Nalijte obsah odměrného válce do kalorimetru.
10. Nasaďte víko na kalorimetr.
11. Spusťte míchadlo stisknutím zeleného tlačítka na víku kalorimetru.
12. Vložte digitální teploměr do víka kalorimetru.
13. Teplota směsi se objeví v tabulce výsledků.
14. Zastavte míchadlo stisknutím červeného tlačítka.
15. Vyjměte teploměr z víka kalorimetru.
16. Odstraňte víko kalorimetru a vysypte jeho obsah do sběrné nádoby.
17. Opláchněte kalorimetr destilovanou vodou a vylijte jeho obsah do sběrné nádoby.

Experiment 2

1. Odeberte 50 ml ethanolu do odměrného válce.
2. Nalejte ethanol do kalorimetru.
3. Ponořte hrot digitálního teploměru do kalorimetru, abyste změřili teplotu kapaliny.
4. Odejměte kádinku ze topné desky a nalijte 50 ml ohřáté vody do odměrného válce. Poté vraťte kádinku na topnou desku.
5. Nalijte obsah odměrného válce do kalorimetru.
6. Nasaďte víko na kalorimetr.
7. Spusťte míchadlo stisknutím zeleného tlačítka na víku kalorimetru.
8. Vložte digitální teploměr do víka kalorimetru.
9. Teplota směsi se objeví v tabulce výsledků.
10. Zastavte míchadlo stisknutím červeného tlačítka.
11. Vyjměte teploměr z víka kalorimetru.
12. Odstraňte víko kalorimetru a vysypte jeho obsah do sběrné nádoby.
13. Opláchněte kalorimetr destilovanou vodou a vylijte jeho obsah do sběrné nádoby.
14. Snižte teplotu plotýnky na 15 °C.

Předvídané výsledky

Dvě směsi, obě začínající na 50 ml při teplotě asi 20 °C a 50 ml vody při teplotě asi 80 °C. Kontrolní směs končí v polovině; směs s ethanolem končí o nějakých devatenáct stupňů výše. Tabulka uvádí předpovědi a níže uvedené oddíly je odvozují a oddělují dva důvody tohoto rozdílu.

Pokus 1 – kontrolní, jehož odpověď nevyžaduje vůbec žádná data

Míchání dvou kapalin se řídí m₁c₁(T_f − T₁) + m₂c₂(T_f − T₂) = 0, což se upraví na T_f = (m₁c₁T₁ + m₂c₂T₂) / (m₁c₁ + m₂c₂). Když jsou obě kapaliny stejné látky a obě hmotnosti jsou stejné, m a c se vzájemně vykrátí v čitateli i jmenovateli a celý výraz se zjednoduší na (T₁ + T₂) / 2. Takže smícháním 50 ml vody o teplotě 20 °C s 50 ml vody o teplotě 80 °C získáme (20 + 80) / 2 = 50,0 °C, aniž bychom museli vyhledávat jakoukoliv tepelnou kapacitu. Právě proto stojí za to tento kontrolní pokus provést: předpověď nemůže být nesprávná, takže cokoliv kalorimetr naměří pod 50 °C, je přímým měřením toho, co aparatura ztrácí, a lze to od druhého experimentu odečíst.

Očekávejte, že vyjde nízká, a to o více než jeden stupeň. Horká voda není na své cestě do kalorimetru ve vacuích: nalévá se do skleněného válce o pokojové teplotě, a pak do kalorimetru, jehož stěny, víko, míchadlo a teploměr mají rovněž pokojovou teplotu. Samotný 50ml skleněný válec má tepelnou kapacitu přibližně 50 J/K oproti 209 J/K horké vody, takže i krátký kontakt stojí několik stupňů. Na skutečném laboratorním stole by výsledek 46 až 49 °C byl normální; tento schodek není chybou, za kterou by bylo třeba se omlouvat, ale hodnotou, díky níž je zbytek laboratorní práce kvantitativní.

Měrná tepelná kapacita na gram a na mol — opačné pořadí

Před druhým výpočtem je tu jeden bod, který rozhoduje o tom, jak to dopadne, a lze si ho velmi snadno vyložit špatně.

Oba výroky v té tabulce jsou pravdivé a ukazují opačnými směry. Na gram vyhrává s přehledem voda: 4,18 proti 2,42 J/(g·K), což je fakt, který stojí za tím, že moře je chladnější než písek a že se voda používá jako chladicí kapalina. Na mol vyhrává ethanol: 111,5 proti 75,4 J/(mol·K), protože jeden mol ethanolu představuje devět atomů s velkým množstvím vibračních a rotačních stupňů volnosti, které lze excitovat, kdežto mol vody má pouze tři. Výhoda vody na gram pochází z její velmi malé molární hmotnosti spolu s tuhou sítí vodíkových vazeb, kterou je třeba při zahřívání uvolnit; výhoda ethanolu na mol pochází z toho, že má mnohem více vnitřních stupňů volnosti na jednu molekulu. Ani jedno není překlep a student, který ocitne jedno tam, kde je potřeba druhé, se mýlí dvaapůlkrát.

To, co experiment ve skutečnosti vidí, je poslední sloupec, protože kapaliny se odměřují podle objemu. 50 ml vody je 50,0 g a 2,78 mol, což dává 2,78 × 75,4 = 209,61 J/K. 50 ml ethanolu je pouze 40,0 g a 0,87 mol, což dává 0,87 × 111,5 = 97,01 J/K. I když má tedy ethanol vyšší molární kapacitu, 50ml porce v sobě udržuje sotva polovinu tepla 50ml porce vody – nižší hustota a vyšší molární hmotnost dohromady převvažují molární kapacitu hned dvakrát. Práce v molech nebo v gramech dává stejný výsledek, což musí; níže uvedená čísla používají moly, protože tak jsou data na stránce tabulkována.

Experiment 2 – rovnováha, kompletně vyřešeno

U dvou různých látek se nic neruší a musí se vyhodnotit vážený průměr. Vyjádřeno v molech a molárních kapacitách je to T_f = (n₁C_p,m1T₁ + n₂C_p,m2T₂) / (n₁C_p,m1 + n₂C_p,m2), kde dolní index 1 označuje ethanol a 2 horkou vodu. Dosazením: n₁C_p,m1 = 0,87 × 111,5 = 97,01 J/K a n₂C_p,m2 = 2,78 × 75,4 = 209,61 J/K, takže čitatel je 97,01 × 20 + 209,61 × 80 = 1940,10 + 16768,96 = 18709,06 a jmenovatel je 97,01 + 209,61 = 306,62 J/K, což dává T_f = 18709.06 / 306.62 = 61,02 °C.

Tento výsledek stojí za přečtení spíše než jen za zaznamenání, protože je v něm vidět vážení. 61,02 °C leží 41,02 stupňů nad chladnou kapalinou a 18,98 pod tou horkou, takže se nachází na 68,4 procentech cesty od 20 do 80 — a 209,61 / 306.62 = 68,4 procent je přesně podíl horké vody na celkové tepelné kapicitě. Rovnovážná teplota je vždy na pozici v intervalu dané podílem celkové kapacity druhé látky. To je předpověď, kterou student dokáže provést v hlavě, než se dotkne kalkulačky, a je to nejčistší vyjádření toho, co měrná tepelná kapacita dělá.

Jedno upozornění ohledně zápisu. Teploty lze zadat ve stupních Celsia nebo v kelvinech a výsledek bude správný v obou případech, protože vážený průměr teplot se převádí stejným způsobem jako samotná teplota – pokud počítáte v kelvinech, hodnota 61,02 °C odpovídá 334,17 K, což je totéž. Co se nesmí stát, je smíchání obou stupnic, tedy dosazení hodnot 293,15 a 353,15 a následné uvedení výsledku 334,17 jako hodnoty v Celsiích. Vyberte si jednu stupnici a držte se jí.

Proč měření vychází nad 61 °C

Energetická bilance uvedená výše předpokládá, že se děje pouze to, že teplo přechází z jedné kapaliny do druhé. U vody a vody to platí. U vody a ethanolu tomu tak není, protože samotný akt jejich smíchání uvolňuje vlastní energii: vodíkové vazby vytvořené mezi molekulami vody a ethanolu vracejí více, než se spotřebuje na přerušení interakcí voda–voda a ethanol–ethanol, které existovaly dříve. Laboratoř 065 to měří přímo a zjišťuje 2,85 kJ na mol ethanolu, a tento údaj se na tento experiment přenáší téměř přesně, protože složení je téměř stejné — laboratoř 065 míchá 100 ml se 100 ml, což dává molární zlomek ethanolu 0,236, a 50 ml s 50 ml v této laboratoři dává 0,238. Míchací entalpie silně závisí na složení, takže tato shoda není náhoda, na kterou by se dalo spoléhat obecně, ale zde to platí.

Oprava následuje na jednom řádku. 0,87 mol ethanolu při 2,85 kJ/mol uvolní 2,48 kJ, a rozloženo na tepelnou kapacitu směsi 306,62 J/K je to 2480 / 306,62 = 8,08 °C dodatečného oteplení. Přičteno k výsledku bilance: 61,02 + 8,08 = 69,10 °C. Směs ethanolu by tedy měla vykazovat hodnotu kolem 69 °C a student, který předpovídá 61 a naměří 69, neudělal chybu – objevil člen, který rovnice neobsahovala, což je lepší výsledek, než jakým by byla shoda.

Dva účinky, oddělené a změřené

Směs ethanolu končí o 19,1 °C výše než vodní kontrolní vzorek a tou nejcennější věcí, kterou tato laboratoř může udělat, je rozdělit tento rozdíl na dvě příčiny, což dokáže, protože mezilehlá hodnota je vypočitatelná. První příčinou je tepelná kapacita: 50 ml ethanolu udržuje pouze 97,01 J/K oproti 209,61 u vody, takže horká voda musí vydat méně energie, aby ho přivedla na jakoukoli danou teplotu, a rovnováha se proto ustaluje výše. To představuje 61,02 − 50,00 = 11,02 °C, nebo 58 procent rozdílu. Druhou příčinou je exotermní míchání, které tvoří zbývající 8,08 °C, nebo 42 procent. Obě táhnou stejným směrem, což je z pedagogického hlediska nešťastné, protože je to svádí k zaměňování – čísla je však spolehlivě oddělují a student, který dokáže říct “jedenáct stupňů od tepelné kapacity, osm od smššovacího tepla”, pochopil experiment způsobem, který “vyšlo to teplejší” nevystihuje.

Za povšimnutí stojí, jak by experiment vypadal, kdyby druhý efekt chyběl. Kapalina o podobné tepelné kapacitě jako etanol, která nereaguje s vodou – například lehký uhlovodík –, by ukázala 61 °C a tím by skončila a nesrovnalost by zmizela. To je přirozené rozšíření pro třídu, která dokončila tuto laboratorní práci, a je to nejčistší způsob, jak dokázat, že dodatečných 8 stupňů je opravdu chemie mezi oběma kapalinami, a nikoliv vlastnost samotného etanolu.

Shrnutí úkolů podle věkové kategorie

9. až 10. ročník

Zaměření pozorování, slovní zásoba a myšlenka, že látky se liší v tom, kolik tepla v sobě udrží. Studenti by měli odcházet se schopností říci, že směs ethanolu skončila teplejší, a uvést důvod vlastními slovy.

Aktivity: Proveďte oba experimenty a zaznamenejte všechny tři teploty pro každý do vlastní tabulky. Před smícháním předpovězte výsledek smíchání vody s vodou pomocí pouhých dvou počátečních teplot a zkontrolujte jej. Poté řekněte, která směs skončila teplejší a o kolik. Změřte hmotnost 50 ml každé kapaliny, nebo ji vypočítejte z daných hustot, a pomocí rozdílu srozumitelně vysvětlete, proč stejné objemy nejsou stejná množství. Dodržujte bezpečnostní zásady: ethanol se udržuje dál od plotýnky, horká voda se nalévá pomalu, kalorimetr se mezi pokusy proplachuje.

11. ročník

Zaměření energetická bilance aplikovaná kvantitativně a rozdíl mezi měrnou a molární tepelnou kapacitou. Toto pásmo je aritmetikou váženého průměru a jistotou jej interpretovat.

Aktivity: odvodit T_f = (m₁c₁T₁ + m₂c₂T₂) / (m₁c₁ + m₂c₂) ze záchování energie a ukažte, že se pro 1. experiment redukuje na aritmetický průměr. Vypočítejte tepelnou kapacitu každé 50ml porce, jak v gramech, tak v molech, a ověřte, že obě cesty dávají stejnou hodnotu T_f. Predikujte 61,02 °C pro Experiment 2 a umístěte tento výsledek jako zlomek intervalu od 20 do 80 °C, poté ukažte, že tento zlomek se rovná podílu horké vody na celkové tepelné kapacitě. Porovnejte obě predikce s měřeními, použijte deficit kontrolního měření jako korekci ztrát a vysvětlete, co zbývá. Dále, propojte výsledek s tím, proč je pobřežní klima mírnější než vnitrozemské.

12. ročník / Úroveň college

Zaměření oddělení dvou účinků působících ve stejném směru a analýza chyb, v níž je dominantní člen identifikován, namísto toho, aby byl pouze uveden v seznamu.

Aktivity: Rozdělte rozdíl 19,1 °C mezi oběma experimenty na příspěvek tepelné kapacity (11,02 °C) a příspěvek tepla smíšení (8,08 °C) a každý z nich nezávisle zdůvodněte. Vysvětlete, proč má ethanol větší molární tepelnou kapacitu, zatímco voda má větší měrnou tepelnou kapacitu, s ohledem na molární hmotnost a vnitřní stupně volnosti. Vezměte hodnotu 2,85 kJ/mol z laboratoře 065, ověřte, zda jsou obě laboratoře ve stejném složení, a diskutujte, zda lze entalpii smíšení za laboratorní teploty oprávněně použít pro směs, jejíž teplota končí na 69 °C. Navrhněte kalibrační krok pro kalorimetr za použití pouze přístrojů, které již jsou na stole, a uveďte, jaké budou obě předpovědi, pokud se ukáže, že jeho tepelná kapacita je 50 J/K. Navrhněte třetí směs, která by izolovala vliv tepelné kapacity od vlivu smíšení, and ukažte, co by měla poskytnout. Proveďte křížový odkaz na laboratoř 065, která měří teplo smíšení přímo, a laboratoř 066, která používá stejný kalorimetr pro entalpie roztoků a reakcí.

Laboratorní potřeby

Nástroje

• Kalorimetr s víkem, motorizovaným míchadlem a zelenými/červenými ovládacími tlačítky
• Digitální teploměr
• Plotna s nastavenou teplotou
• Kádinka, 250 ml (naplněná asi do poloviny, zhruba 125 ml, pro poskytnutí dvou 50ml horkých porcí)
• Odměrný válec, 50 ml
• Koš

Produkty

• Destilovaná voda (50 ml v kalorimetru pro experiment 1 plus oplachování po každém experimentu)
• Voda z kohoutku (asi 125 ml, ohřátá v kádince jako zdroj horké části pro oba experimenty)
• Etanol, kapalný (50 ml, experiment 2)