067 – Spezifische Wärmekapazität

Jede Substanz verlangt einen unterschiedlichen Preis für einen Grad Temperatur. Gießt man gleiche Mengen Wasser und Speiseöl in identische Pfannen auf identische Herdplatten, raucht das Öl, während das Wasser noch lauwarm ist; das Meer im September ist wärmer als das Land daneben, obwohl beide denselben Sonnenschein abbekommen haben. Die Größe, die all dem zugrunde liegt, ist die spezifische Wärmekapazität, also die Energie, die man benötigt, um ein Gramm einer Substanz um ein Grad zu erwärmen, und sie ist eine der folgenreichsten Kennzahlen im Ingenieurwesen. Sie entscheidet, womit ein Autokühler gefüllt wird, wie viel Beton ein Wärmespeicher braucht, warum Küstenwinter mild sind und warum Wasser fast überall dort das Kühlmittel der Wahl ist, wo es eingesetzt werden kann.

Die Art und Weise, dies zu messen, besteht darin, zwei Dinge mit unterschiedlichen Temperaturen ins Gleichgewicht kommen zu lassen und zu sehen, wo die gemeinsame Temperatur landet. Energie bleibt erhalten, sodass die heiße Substanzen abgibt, was die kalte aufnimmt: m₁c₁(T_f − T₁) + m₂c₂(T_f − T₂) = 0. Umgestellt besagt dies, dass die Endtemperatur dem Mittelwert der beiden Starttemperaturen entspricht, gewichtet mit der Wärmekapazität der jeweiligen Substanz – so liegt der Gleichgewichtspunkt näher an der Substanz, die mehr Wärme speichern kann. Misst man die drei Temperaturen, ist jede Größe in der Gleichung bekannt, bis auf diejenige, nach der man sucht.

In diesem Labor mischen Sie zweimal 50 mL heißes Wasser, das auf etwa 80 °C erhitzt wurde, mit 50 mL einer kalten Flüssigkeit in einem Kalorimeter: zuerst mit kaltem Wasser, dann mit kaltem Ethanol. Die Wasser-Wasser-Mischung ist die Kontrolle, und ihr Ergebnis kann vorausgesagt werden, ohne überhaupt eine Wärmekapazität zu kennen. Die Ethanol-Mischung kann das nicht und endet deutlich heißer als die Kontrolle – aus zwei verschiedenen Gründen, die Sie in diesem Labor trennen und einzeln messen können. Sie werden beide Gleichgewichtstemperaturen aus der Energiebilanz vorhersagen, sie mit den Werten des Kalorimeters vergleichen und den Unterschied erklären.

Bildungsziele

Die Energiebilanz als Arbeitsinstrument

• Die Energieerhaltungsgleichung für das Mischen von zwei Flüssigkeiten lautet: $$m_1 c_1 (T_1 - T_f) = m_2 c_2 (T_f - T_2)$$ Nach der Endtemperatur $T_f$ aufgelöst: $$T_f = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}$$.
• Betrachten Sie das Ergebnis als einen wärmekapazitätsgewichteten Durchschnitt der beiden Starttemperaturen und sagen Sie voraus, in welche Richtung sich die Antwort verschieben wird, bevor Sie die Arithmetik durchführen.

Spezifische und molare Wärmekapazität

• Rechne zwischen der spezifischen Wärmekapazität in J/(g·K) und der molaren Wärmekapazität in J/(mol·K) um und gib an, welche der beiden das Experiment tatsächlich benötigt.
• Erklären Sie, warum Wasser die größere Wärmekapazität pro Gramm hat, während Ethanol die größere Wärmekapazität pro Mol aufweist, und warum dies kein Widerspruch ist.

kalorimetrische Technik

• Erhitzen Sie eine Flüssigkeit auf eine Zieltemperatur, messen Sie deren Temperatur statt der des Heizers, übertragen Sie sie umgehend und lesen Sie die Gleichgewichtstemperatur bei gerührtem Inhalt ab.
• Identifizieren Sie jeden Punkt im Verfahren, an dem Wärme das System verlässt, und geben Sie an, welcher davon der größte ist.

Verwendung eines Kontrollexperiments

• Erklären Sie, warum das Mischen von Wasser mit Wasser lohnenswert ist, obwohl das Ergebnis im Voraus bekannt ist, und verwenden Sie die dabei auftretende Diskrepanz als Korrektur für das zweite Experiment.

Trennung zweier Effekte, die in dieselbe Richtung wirken

• 1. Unterscheiden Sie den Beitrag der geringeren Wärmekapazität von Ethanol vom Beitrag des exothermen Mischens von Ethanol mit Wasser, und versehen Sie beide mit einer Nummer.

Umgang mit einer leicht entzündlichen Flüssigkeit und heißem Wasser

• Gehen Sie sich bewusst, dass Ethanol bei 78 °C siedet, also unter der Temperatur des darauf gegossenen Wassers, und halten Sie es von der heißen Platte fern.

Protokoll

Experiment 1

1. Messen Sie 50 ml destilliertes Wasser im Messzylinder ab.
2. Gießen Sie das Wasser in den Kalorimeter.
3. Tauchen Sie die Spitze des Digitalthermometers in den Kalorimeter, um die Temperatur der Flüssigkeit zu messen.
4. Füllen Sie den 250-ml-Becher bis zur Hälfte mit kaltem Leitungswasser.
5. Stellen Sie den Becher auf die Heizplatte.
6. Stellen Sie die Heizplatte auf 80 °C ein.
7. Sobald die Temperatur der Heizplatte 80 °C erreicht hat, tauchen Sie die Spitze des digitalen Thermometers in das Becherglas, um die Temperatur der Flüssigkeit zu messen.
8. Nehmen Sie den Becher von der Heizplatte und gießen Sie 50 ml erwärmtes Wasser in den Messzylinder. Stellen Sie den Becher dann wieder auf die Heizplatte.
9. Gießen Sie den Inhalt des Messzylinders in den Kalorimeter.
10. Setzen Sie den Deckel auf den Kalorimeter.
11. Starten Sie den Rührer durch Drücken der grünen Taste auf dem Deckel des Kalorimeters.
12. Stecken Sie das digitale Thermometer in den Deckel des Kalorimeters.
13. Die Temperatur des Gemisches wird in der Ergebnistabelle angezeigt.
14. Stoppen Sie den Rührer, indem Sie den roten Knopf drücken.
15. Entnehmen Sie das Thermometer vom Deckel des Kalorimeters.
16. Entfernen Sie den Deckel des Kalorimeters und leeren Sie dessen Inhalt in den Rückgewinnungsbehälter.
17. Spülen Sie den Kalorimeter mit destilliertem Wasser und leeren Sie seinen Inhalt in den Rückgewinnungsbehälter.

Experiment 2

1. Messen Sie 50 ml Ethanol in den Messzylinder.
2. Gießen Sie den Ethanol in den Kalorimeter.
3. Tauchen Sie die Spitze des Digitalthermometers in den Kalorimeter, um die Temperatur der Flüssigkeit zu messen.
4. Nehmen Sie den Becher von der Heizplatte und gießen Sie 50 ml erwärmtes Wasser in den Messzylinder. Stellen Sie den Becher dann wieder auf die Heizplatte.
5. Gießen Sie den Inhalt des Messzylinders in den Kalorimeter.
6. Setzen Sie den Deckel auf den Kalorimeter.
7. Starten Sie den Rührer durch Drücken der grünen Taste auf dem Deckel des Kalorimeters.
8. Stecken Sie das digitale Thermometer in den Deckel des Kalorimeters.
9. Die Temperatur des Gemisches wird in der Ergebnistabelle angezeigt.
10. Stoppen Sie den Rührer, indem Sie den roten Knopf drücken.
11. Entnehmen Sie das Thermometer vom Deckel des Kalorimeters.
12. Entfernen Sie den Deckel des Kalorimeters und leeren Sie dessen Inhalt in den Rückgewinnungsbehälter.
13. Spülen Sie den Kalorimeter mit destilliertem Wasser und leeren Sie seinen Inhalt in den Rückgewinnungsbehälter.
14. Senken Sie die Temperatur der Heizplatte auf 15°C.

Erwartete Ergebnisse

Zwei Mischungen, die jeweils von 50 ml bei etwa 20 °C und 50 ml Wasser bei etwa 80 °C ausgehen. Die Kontrollprobe endet beim Mittelpunkt; die Ethanolmischung endet etwa neunzehn Grad höher. Die Tabelle enthält die Vorhersagen, und die folgenden Abschnitte leiten sie her und trennen die beiden Gründe für den Unterschied.

Experiment 1 – die Kontrolle, deren Antwort überhaupt keine Daten erfordert

Das Mischen zweier Flüssigkeiten gehorcht m₁c₁(T_f − T₁) + m₂c₂(T_f − T₂) = 0, was zu T umgeformt wird_f = (m₁c₁T₁ + m₂c₂T₂) / (m₁c₁ + m₂c₂). Wenn die beiden Flüssigkeiten dieselbe Substanz sind und die beiden Massen gleich sind, kürzen sich m und c oben und unten heraus, und der gesamte Ausdruck reduziert sich auf (T₁ + T₂) / 2. So ergeben 50 mL Wasser bei 20 °C gemischt mit 50 mL Wasser bei 80 °C (20 + 80) / 2 = 50,0 °C, und es musste keine Wärmekapazität nachgeschlagen werden, um das zu sagen. Genau das macht dies zu einem Kontrollversuch, den es sich durchzuführen lohnt: Die Vorhersage kann nicht falsch sein, sodass alles, was das Kalorimeter unter 50 °C anzeigt, ein direktes Maß dafür ist, was die Apparatur verliert, und vom zweiten Experiment subtrahiert werden kann.

Erwarten Sie, dass er zu niedrig ausfällt, und zwar um mehr als ein Grad. Das heiße Wasser befindet sich auf seinem Weg zum Kalorimeter nicht im Vakuum: Es wird in einen raumtemperierten Glaszylinder gegossen und dann in ein Kalorimeter, dessen Wände, Deckel, Rührer und Thermometer sich ebenfalls auf Raumtemperatur befinden. Allein ein 50-ml-Glaszylinder hat eine Wärmekapazität von etwa 50 J/K im Vergleich zu den 209 J/K des heißen Wassers, so dass selbst ein kurzer Kontakt mehrere Grade kostet. An einem echten Laborplatz wäre ein Ergebnis von 46 bis 49 °C normal; das Defizit ist kein Fehler, für den man sich entschuldigen müsste, sondern der Wert, der den Rest des Versuchs quantitativ macht.

Spezifische Wärmekapazität pro Gramm und pro Mol — die Reihenfolge kehrt sich um

Vor der zweiten Berechnung gibt es einen Punkt, der darüber entscheidet, wie sie ausgeht, und den man sehr leicht falsch versteht.

Beide Aussagen in dieser Tabelle sind wahr und weisen in entgegengesetzte Richtungen. Pro Gramm gewinnt Wasser deutlich: 4,18 gegenüber 2,42 J/(g·K), was der Grund dafür ist, dass das Meer kühler als der Sand ist und Wasser als Kühlmittel verwendet wird. Pro Mol gewinnt Ethanol: 111,5 gegenüber 75,4 J/(mol·K), da ein Mol Ethanol aus neun Atomen mit einer Vielzahl von Schwingungs- und Rotationsmodi besteht, die angeregt werden können, während ein Mol Wasser nur drei hat. Der Vorteil von Wasser pro Gramm rührt von seiner sehr geringen molaren Masse zusammen mit dem starren Wasserstoffbrückennetzwerk her, das beim Erwärmen gelockert werden muss; der Vorteil von Ethanol pro Mol kommt daher, dass es pro Molekül viel mehr interne Freiheitsgrade besitzt. Keines von beiden ist ein Druckfehler, und ein Schüler, der das eine zitiert, wo das andere benötigt wird, liegt um den Faktor zweieinhalb daneben.

Was das Experiment tatsächlich sieht, ist die letzte Spalte, da die Flüssigkeiten nach Volumen abgemessen werden. 50 ml Wasser entsprechen 50,0 g und 2,78 mol, was 2,78 × 75,4 = 209,61 J/K ergibt. 50 ml Ethanol sind nur 40,0 g und 0,87 mol, was 0,87 × 111,5 = 97,01 J/K ergibt. Obwohl Ethanol also die höhere moliere Wärmekapazität besitzt, speichert eine 50-ml-Portion davon kaum die Hälfte der Wärme einer 50-ml-Portion Wasser – die geringere Dichte und die höhere molare Masse überwiegen die molare Wärmekapazität zusammen doppelt. Das Arbeiten in Mol oder in Gramm liefert dasselbe Ergebnis, wie es sein muss; die folgenden Zahlen verwenden Mol, da so die Daten der Seite tabelliert sind.

Experiment 2 – die vollständige Berechnung der Bilanz

Bei zwei verschiedenen Stoffen hebt sich nichts auf und der gewichtete Mittelwert muss berechnet werden. Ausgedrückt in Mol und molaren Kapazitäten ist dies T_f = (n₁C_p,m1T₁ + n₂C_{p, m²}T₂) / (n₁C_p,m1 + n₂C_{p, m²}), wobei der Index 1 für das Ethanol und 2 für das heiße Wasser steht. Einsetzen: n₁C_p,m1 = 0,87 × 111,5 = 97,01 J/K und n₂C_{p, m²} = 2,78 × 75,4 = 209,61 J/K, sodass der Zähler 97,01 × 20 + 209,61 × 80 = 1940,10 + 16768,96 = 18709,06 und der Nenner 97,01 + 209,61 = 306,62 J/K beträgt, was T ergibt_f = 18709.06 / 306.62 = 61,02 °C.

Dieses Ergebnis ist es wert, gelesen und nicht nur notiert zu werden, da darin die Gewichtung sichtbar wird. 61,02 °C liegen 41,02 Grad über der kalten Flüssigkeit und 18,98 Grad unter der heißen, liegen also bei 68,4 Prozent des Weges von 20 bis 80 – und 209,61 / 306,62 = 68,4 Prozent entspricht genau dem Anteil des heißen Wassers an der gesamten Wärmekapazität. Die Gleichgewichtstemperatur liegt immer an der Stelle entlang des Intervalls, die durch den Anteil der anderen Substanz an der Gesamtwärmekapazität gegeben ist. Das ist eine Vorhersage, die ein Schüler im Kopf treffen kann, bevor er zum Taschenrechner greift, und es ist die klarste Beschreibung dessen, was die spezifische Wärmekapazität ausmacht.

Ein Hinweis zur Schreibweise: Die Temperaturen können entweder in Grad Celsius oder in Kelvin eingesetzt werden, und das Ergebnis ist in beiden Fällen korrekt, da sich ein gewichteter Mittelwert aus Temperaturen auf dieselbe Weise umrechnet wie eine einzelne Temperatur – wenn man mit Kelvin arbeitet, ergibt 61,02 °C den Wert 334,17 K, was dasselbe ist. Was nicht passieren darf, ist eine Vermischung der beiden Einheiten oder die Einsetzung von 293,15 und 353,15 und die anschließende Angabe von 334,17 als Ergebnis in Celsius. Entscheiden Sie sich für eine Skala und bleiben Sie dabei.

Warum der Messwert über 61 °C liegt

Die obige Energiebilanz geht davon aus, dass das Einzige, was passiert, der Wärmetransport von einer Flüssigkeit zur anderen ist. Für Wasser und Wasser trifft das zu. Für Wasser und Ethanol ist das nicht der Fall, da der Prozess des Mischens eigene Energie freisetzt: Wasserstoffbrückenbindungen, die sich zwischen Wasser- und Ethanolmolekülen bilden, geben mehr Energie zurück, als für das Aufbrechen der zuvor existierenden Wasser-Wasser- und Ethanol-Ethanol-Wechselwirkungen aufgewendet wird. Labor 065 misst dies direkt und stellt fest 2,85 kJ pro Mol Ethanol, und dieser Wert überträgt sich fast genau auf dieses Experiment, da die Zusammensetzung nahezu identisch ist – Labor 065 mischt 100 mL mit 100 mL, was einen Ethanol-Molenbruch von 0,236 ergibt, und die 50 mL dieses Labors mit 50 mL ergeben 0,238. Die Mischungsenthalpie ist stark zusammensetzungsabhängig, sodass diese Übereinstimmung kein Zufall ist, auf den man sich im Allgemeinen verlassen kann, aber hier trifft sie zu.

Die Berechnung folgt in einer Zeile. 0,87 mol Ethanol setzen bei 2,85 kJ/mol 2,48 kJ frei, und verteilt auf die Wärmekapazität des Gemisches von 306,62 J/K ergibt das 2480 / 306,62 = 8,08 °C zusätzlicher Erwärmung. Zum Bilanzergebnis hinzugefügt: 61,02 + 8,08 = 69,10 °C. Das Ethanolgemisch sollte also bei etwa 69 °C angegeben werden, und ein Student, der 61 vorhersagt und 69 misst, hat keinen Fehler gemacht – er hat einen Term entdeckt, den die Gleichung nicht enthielt, was ein besseres Ergebnis ist, als es eine Übereinstimmung gewesen wäre.

Zwei Effekte, getrennt und gemessen

Das Ethanolgemisch liegt 19,1 °C über dem Wasser-Kontrollwert, und der wichtigste Beitrag, den dieses Labor leisten kann, besteht darin, diese Differenz auf ihre beiden Ursachen aufzuschlüsseln – was möglich ist, da der Zwischenwert berechenbar ist. Die erste Ursache ist die Wärmekapazität: 50 ml Ethanol besitzen nur 97,01 J/K gegenüber 209,61 J/K bei Wasser, sodass das heiße Wasser weniger Energie abgeben muss, um auf eine bestimmte Temperatur gebracht zu werden, und sich das Gleichgewicht daher bei einer höheren Temperatur einstellt. Dies macht 61,02 − 50,00 = 11,02 °C, oder 58 Prozent der Differenz. Die zweite Ursache ist das exotherme Mischen, das für den Rest verantwortlich ist 8,08 °C, bzw. 42 Prozent. Beide wirken in dieselbe Richtung, was aus pädagogischer Sicht bedauerlich ist, da sie dadurch leicht miteinander verwechselt werden können – doch die Zahlen unterscheiden sie klar voneinander, und ein Schüler, der sagen kann: “elf Grad aus der Wärmekapazität, acht aus der Mischwärme”, hat das Experiment auf eine Weise verstanden, die mit der Aussage “es wurde heißer” nicht erfasst wird.

Es ist sehenswert, wie das Experiment aussehen würde, wenn der zweite Effekt nicht vorhanden wäre. Eine Flüssigkeit mit einer ähnlichen Wärmekapazität wie Ethanol, die nicht mit Wasser reagiert – zum Beispiel ein leichter Kohlenwasserstoff –, würde die 61 °C erreichen und dort stehen bleiben, und die Abweichung würde verschwinden. Das ist die natürliche Erweiterung für eine Klasse, die dieses Laborpraktikum beendet hat, und es ist der sauberste Weg, um zu beweisen, dass die zusätzlichen 8 Grad tatsächlich auf die Chemie zwischen den beiden Flüssigkeiten zurückzuführen sind und nicht auf eine Eigenschaft von Ethanol allein.

Zusammenfassung der Aufgaben nach Klassenstufen

9. bis 10. Klasse

Fokus Beobachtung, Wortschatz und die Vorstellung, dass Substanzen unterschiedlich viel Wärme speichern. Die Schüler sollten am Ende in der Lage sein zu sagen, dass die Ethanolmischung wärmer endete, und dies in eigenen Worten zu begründen.

Aktivitäten: Führen Sie beide Experimente durch und zeichnen Sie alle drei Temperaturen für jedes in einer eigenen Tabelle auf. Sagen Sie das Ergebnis von Wasser mit Wasser vor dem Mischen voraus, indem Sie nur die beiden Starttemperaturen verwenden, und überprüfen Sie es. Sagen Sie dann, welche Mischung heißer wurde und um wie viel. Messen Sie die Masse von jeweils 50 mL jeder Flüssigkeit oder berechnen Sie sie aus den angegebenen Dichten und erklären Sie mit dem Unterschied in einfacher Sprache, warum gleiche Volumen keine gleichen Mengen sind. Üben Sie die Sicherheitspunkte: Ethanol fernhalten von der heißen Platte, heißes Wasser langsam eingießen, das Kalorimeter zwischen den Versuchen ausspülen.

11. Klasse

Fokus Die quantitativ angewandte Energiebilanz und der Unterschied zwischen spezifischer und molarer Wärmekapazität. Dieses Band ist die Arithmetik des gewichteten Mittelwerts und das Vertrauen, diesen zu interpretieren.

Aktivitäten: leite T her_f = (m₁c₁T₁ + m₂c₂T₂) / (m₁c₁ + m₂c₂) aus dem Energieerhaltungssatz und zeigen Sie, dass sich dieser für Experiment 1 auf das arithmetische Mittel reduziert. Berechnen Sie die Wärmekapazität jedes 50-mL-Anteils, sowohl in Gramm als auch in Mol, und bestätigen Sie, dass beide Wege dasselbe T ergeben._f. Berechnen Sie für Experiment 2 einen Wert von 61,02 °C und bestimmen Sie, welchen Anteil dieses Ergebnis am Intervall von 20 bis 80 °C ausmacht; zeigen Sie anschließend, dass dieser Anteil dem Anteil des heißen Wassers an der gesamten Wärmekapazität entspricht. Vergleichen Sie beide Vorhersagen mit den Messwerten, verwenden Sie die Abweichung der Kontrollmessung als Verlustkorrektur und erklären Sie, was übrig bleibt. Setzen Sie das Ergebnis in Zusammenhang mit der Frage, warum das Klima an der Küste milder ist als im Landesinneren.

12. Klasse / College-Niveau

Fokus die Trennung zweier Effekte, die in dieselbe Richtung wirken, und eine Fehleranalyse, bei der der dominante Term identifiziert statt nur aufgelistet wird.

Aktivitäten: Teilen Sie den Unterschied von 19,1 °C zwischen den beiden Experimenten in den Beitrag der Wärmekapazität (11,02 °C) und den Beitrag der Mischungswärme (8,08 °C) auf und begründen Sie jeden einzeln. Erklären Sie anhand der molaren Masse und der inneren Freiheitsgrade, warum Ethanol die größere molare Wärmekapazität besitzt, während Wasser die größere spezifische Wärmekapazität aufweist. Nehmen Sie die 2,85 kJ/mol aus Labor 065, überprüfen Sie, ob sich beide Labors in derselben Zusammensetzung befinden, und diskutieren Sie, ob eine bei Raumtemperatur ermittelte Mischungsenthalpie legitim auf eine Mischung angewendet werden darf, die bei 69 °C endet. Entwerfen Sie einen Kalibrierungsschritt für das Kalorimeter unter Verwendung von Geräten, die sich bereits auf dem Tisch befinden, und geben Sie an, wie die beiden Vorhersagen lauten, falls sich dessen Wärmekapazität als 50 J/K erweist. Schlagen Sie eine dritte Mischung vor, die den Wärmekapazitätseffekt vom Mischungseffekt isoliert, und geben Sie an, welches Ergebnis diese liefern sollte. Verweisen Sie auf Labor 065, das die Mischungswärme direkt misst, und Labor 066, das dasselbe Kalorimeter für Lösungs- und Reaktionsenthalpien verwendet.

Labor-Grundausstattung

Instrumente

• Kalorimeter mit Deckel, motorisiertem Rührwerk und grün/roten Steuertasten
• Digitalthermometer
• Heizplatte mit Solltemperatur
• Becherglas, 250 mL (etwa zur Hälfte gefüllt, ca. 125 mL, um zwei heiße Portionen à 50 mL zu bereitzustellen)
• Messzylinder, 50 ml
• Papierkorb

Produkte

• Destilliertes Wasser (50 ml im Kalorimeter für Experiment 1 sowie zum Spülen nach jedem Experiment)
• Leitungswasser (ca. 125 ml, im Becherglas erhitzt, um den heißen Teil beider Experimente bereitzustellen)
• Ethanol, flüssig (50 ml, Experiment 2)