067 – Capacitat calorífica específica

Cada substància cobra un preu diferent per un grau de temperatura. Vesseu volums iguals d'aigua i d'oli de cuina en cassoles idèntiques sobre cremadors idèntics i l'oli treu fum mentre l'aigua encara és simplement tèbia; el mar al setembre és més càlid que la terra que té al costat tot i que tots dos han rebut la mateixa llum solar. La magnitud que hi ha d姗arrere de tot això és la capacitat calorífica específica, l'energia necessària per elevar un gram d'una substància un grau, i és un dels nombres més importants de l'enginyeria. Decideix amb què s'omple el radiador d'un cotxe, quant de formigó necessita un dipòsit tèrmic, per què els hiverns costaners són suaus i per què l'aigua és el refrigerant preferit pràcticament a tot arreu on es pot utilitzar.

La manera de mesurar-ho és deixar que dues coses a temperatures diferents arribin a l'equilibri i veure on se situa la temperatura comuna. L'energia es conserva, de manera que tot el que la substància calenta cedeix, se l'queda la freda: m₁c₁(T_f − T₁) + m₂c₂(T_f − T₂) = 0. Reordenat, això diu que la temperatura final és la mitjana de les dues temperatures inicials ponderada per la capacitat calorífica de cada substància — de manera que el punt d'equilibri queda més a prop de la substància que té més capacitat de retenir calor. Mesureu les tres temperatures i totes les quantitats de l'equació són conegudes excepte la que busqueu.

En aquest laboratori barrejareu 50 mL d'aigua calenta, escalfada a uns 80 °C, amb 50 mL d'un líquid fred dins d'un calorímetre, dues vegades: primer amb aigua freda, i després amb etanol fred. La mescla d'aigua amb aigua és el control, i el seu resultat es pot predir sense conèixer cap capacitat calorífica. La mescla d'etanol no, i acaba notablement més calenta que el control —per dos motius diferents que aquest laboratori us permet separar i mesurar un a un. Predireu totes dues temperatures d'equilibri a partir del balanç energètic, les compareu amb el que reporta el calorímetre i explicareu la diferència.

Objectius educatius

El balanç energètic com a eina de treball

• Equació de conservació de l'energia: $$m_1 c_1 (T_1 - T_f) = m_2 c_2 (T_f - T_2)$$ Reordenada per a la temperatura final $T_f$: $$T_f = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}$$.
• Llegiu el resultat com a mitjana ponderada per la capacitat calorífica de les dues temperatures inicials, i predigueu cap a on es desplaçarà la resposta abans de fer l'aritmètica.

Capacitat calorífica específica i molar

• Convertiu entre la capacitat calorífica específica en J/(g·K) i la capacitat calorífica molar en J/(mol·K), i indiqueu quina de les dues necessita realment l'experiment.
• Expliqueu per què l'aigua té una capacitat calorífica major per gram mentre que l'etanol té una capacitat major per mol, i per què això no és cap contradicció.

Tècnica calorimètrica

• Escalfeu un líquid fins a una temperatura objectiu, preneu la seva temperatura en lloc de la de l'escalfador, transceu-lo ràpidament i llegiu la temperatura d'equilibri amb el contingut remogut.
• Identifiqueu cada punt del procediment en què la calor surt del sistema, i digueu quin d'ells és el més gran.

Utilitzant un experiment de control

• Explica per què val la pena barrejar aigua amb aigua tot i que el resultat es conegui de bestreta, i utilitza la discrepància que revela com a correcció per al segon experiment.

Separar dos efectes que empenyen cap al mateix costat

• Distinguiu la contribució de la capacitat calorífica més baixa de l'etanol de la contribució de la mescla exotèrmica de l'etanol amb l'aigua, i doneu un número a cadascuna.

Manipulació d'un líquid inflamable volàtil i aigua calenta

• Manipuleu l'etanol sabent que bull a 78 °C, per sota de la temperatura de l'aigua que s'hi aboca, i mantingueu-lo allunyat de la placa calenta.

Protocol

Experiment 1

1. Mesura 50 ml d'aigua destil·lada en el cilindre graduat.
2. Aboqueu l'aigua al calorímetre.
3. Immergeix la punta del termòmetre digital al calorímetre per prendre la temperatura del líquid.
4. Ompliu el got de 250 ml fins a la meitat amb aigua freda de l'aixeta.
5. Posa el vas de precipitats a la placa calefactora.
6. Posa la placa de calor a 80 °C.
7. Un cop la temperatura de la placa calenta hagi arribat a 80 °C, submergiu la punta del termòmetre digital al vas de precipitats per prendre la temperatura del líquid.
8. Agafa el vas de precipitats de la placa calenta i aboca 50 ml d'aigua calenta al tub d'assaig. Després torna a posar el vas de precipitats a la placa calenta.
9. Aboca el contingut del cilindre graduat al calorímetre.
10. Poseu la tapa al calorímetre.
11. Comença l'agitador prement el botó verd a la tapa del calorímetre.
12. Introduïu el termòmetre digital a la tapa del calorímetre.
13. La temperatura de la barreja apareixerà a la taula de resultats.
14. Atura l'agitador prement el botó vermell.
15. Treu el termòmetre de la tapa del calorímetre.
16. Traieu la tapa del calorímetre i buideu-ne el contingut a la paperera de recuperació.
17. Esbandiu el calorímetre amb aigua destil·lada i buideu-ne el contingut a la paperera de recuperació.

Experiment 2

1. Mesura 50 ml d'etanol en el cilindre graduat.
2. Aboca l'etanol al calorímetre.
3. Immergeix la punta del termòmetre digital al calorímetre per prendre la temperatura del líquid.
4. Agafa el vas de precipitats de la placa calenta i aboca 50 ml d'aigua calenta al tub d'assaig. Després torna a posar el vas de precipitats a la placa calenta.
5. Aboca el contingut del cilindre graduat al calorímetre.
6. Poseu la tapa al calorímetre.
7. Comença l'agitador prement el botó verd a la tapa del calorímetre.
8. Introduïu el termòmetre digital a la tapa del calorímetre.
9. La temperatura de la barreja apareixerà a la taula de resultats.
10. Atura l'agitador prement el botó vermell.
11. Treu el termòmetre de la tapa del calorímetre.
12. Traieu la tapa del calorímetre i buideu-ne el contingut a la paperera de recuperació.
13. Esbandiu el calorímetre amb aigua destil·lada i buideu-ne el contingut a la paperera de recuperació.
14. Baixa la temperatura de la placa calenta a 15°C.

Resultats previstos

Dos mescles, totes dues partint de 50 mL a uns 20 °C i 50 mL d'aigua a uns 80 °C. El control acaba al punt mitjà; la mescla d'etanol acaba uns dinou graus més amunt. La taula dóna les prediccions, i les seccions següents les deriven i separen les dues raons de la diferència.

Experiment 1 — el control, la resposta del qual no necessita cap dada

La barreja de dos líquids segueix m₁c₁(T_f − T₁) + m₂c₂(T_f − T₂) = 0, que es reordena a T_f = (m₁c₁T₁ + m₂c₂T₂) / (m₁c₁ + m₂c₂). Quan els dos líquids són la mateixa substància i les dues masses són iguals, m i c s'anul·len de dalt a baix i tota l'expressió es redueix a (T₁ + T₂) / 2. Per tant, 50 mL d'aigua a 20 °C barrejats amb 50 mL d'aigua a 80 °C donen (20 + 80) / 2 = 50,0 °C, i no calia consultar cap capacitat calorífica per afirmar-ho. Això és el que fa que aquest sigui un control que val la pena dur a terme: la predicció no pot ser errònia, de manera que qualsevol valor que el calorímetre reporti per sota de 50 °C és una mesura directa del que l'aparell perd, i es pot restar del segon experiment.

Preneu per segur que sortirà baix, i en més d'un grau. L'aigua calenta no va al buit de camí cap al calorímetre: s'aboca en un proveta de vidre a temperatura ambient, i després en un calorímetre les parets, la tapa, l'agitador i el termòmetre del qual estan tots a temperatura ambient. Només una proveta de 50 mL té una capacitat tèrmica d'aproximadament 50 J/K en comparació amb els 209 J/K de l'aigua calenta, de manera que fins i tot un breu contacte costa uns quants graus. En un banc de treball real, un resultat de 46 a 49 °C seria normal; la diferència no és pas un error pel qual s'hagi de demanar disculpes, sinó el nombre que fa que la resta del laboratori sigui quantitatiu.

Capacitat tèrmica específica per gram i per mol — l'ordenació s'inverteix

Abans del segon càlcul, hi ha un punt que decideix com surt i que és molt fàcil d'entendre al revés.

Totes dues afirmacions d'aquella taula són certes i assenyalen direccions oposades. Per gram, l'aigua guanya còmodament: 4,18 enfront de 2,42 J/(g·K), la qual cosa explica que el mar estigui més fresc que la sorra i que l'aigua s'utilitzin com a refrigerant. Per mol, l'etanol guanya: 111,5 enfront de 75,4 J/(mol·K), perquè un mol d'etanol té nou àtoms amb una gran quantitat de modes vibracionals i rotacionals per excitar, mentre que un mol d'aigua només en té tres. El avantatge de l'aigua per gram prové de la seva massa molar molt petita juntament amb la rígida xarxa d'enllaços d'hidrogen que s'ha d'fluixar a mesura que s'escalfa; l'avantatge de l'etanol per mol prové de tenir molts més graus de llibertat interns per molècula. Cap de les dues és una errata, i un estudiant que en citi una on calgui l'altra s'equivocarà d'un factor de dos i mig.

El que l'experiment veu realment és l'última columna, perquè els líquids es mesuren per volum. 50 mL d'aigua són 50,0 g i 2,78 mol, la qual cosa dona 2,78 × 75,4 = 209,61 J/K. 50 mL d'etanol només són 40,0 g i 0,87 mol, donant 0,87 × 111,5 = 97,01 J/K. Per tant, tot i que l'etanol té una capacitat molar més alta, una porció de 50 mL conté tot just la mitad de la calor d'una porció de 50 mL d'aigua: la menor densitat i la major massa molar contraresten amb escreix la capacitat molar. Treballar en mols o en grams dona el mateix resultat, com no podia ser d'altra manera; els números de sota fan servir mols perquè així és com estan tabulades les dades de la pàgina.

Experiment 2 — el balanç, desenvolupat completament

Amb dues substàncies diferents res s'anul·la i s'ha de calcular la mitjana ponderada. Escrit en mols i capacitats molars és T_f = (n₁C_p,m1T₁ + n₂C_p,m2T₂) / (n₁C_p,m1 + n₂C_p,m2), amb el subíndex 1 per a l'etanol i el 2 per a l'aigua calenta. Substituint: n₁C_p,m1 = 0,87 × 111,5 = 97,01 J/K i n₂C_p,m2 = 2.78 × 75.4 = 209.61 J/K, de manera que el numerador és 97.01 × 20 + 209.61 × 80 = 1940.10 + 16768.96 = 18709.06 i el denominador és 97.01 + 209.61 = 306.62 J/K, donant T_f = 18709.06 / 306.62 = 61,02 °C.

Val la pena llegir aquest resultat en lloc de limitar-se a registrar-lo, perquè la ponderació hi és visible. 61,02 °C se situen 41,02 graus per damunt del líquid fred i 18,98 per davall del calent, de manera que cauen un 68,4 per cent del camí entre 20 i 80 —i 209,61 / 306.62 = 68,4 per cent és exactament la proporció d'aigua calenta de la capacitat tèrmica total. La temperatura d'equilibri es troba sempre en la posició al llarg de l'interval donada per la fracció de la capacitat total de l'altra substància. Aquesta és una predicció que un estudiant pot fer de cap abans de tocar una calculadora, i és la manera més clara d'expressar què fa la capacitat tèrmica específica.

Un avís de notació. Les temperatures es poden substituir en graus Celsius o en kelvins i el resultat és correcte de totes maneres, perquè una mitjana ponderada de temperatures es transforma de la mateixa manera que ho fa una temperatura —si es treballa en kelvins, 61,02 °C surt a 334,17 K, que és el mateix. El que no s'ha de fer és barrejar totes dues, o substituir 293,15 i 353,15 i després informar de 334,17 com a resultat en Celsius. Trieu una escala i mantingueu-vos-hi.

Per què el mesurament surt per sobre de 61 °C

El balanç energètic anterior assumeix que l'única cosa que passa és que la calor es mou d'un líquid a l'altre. Per a l'aigua i l'aigua, això és cert. Per a l'aigua i l'etanol, no ho és, perquè el fet de barrejar-los allibera energia pròpia: els enllaços d'hidrogen formats entre les molècules d'aigua i d'etanol retornen més del que es gastar a trencar les interaccions aigua-aigua i etanol-etanol que existien abans. El laboratori 065 mesura això directament i troba 2,85 kJ per mol d'etanol, i aquesta xifra es trasllada a aquest experiment gairebé exactament, perquè la composició és gairebé la mateixa —el laboratori 065 barreja 100 mL amb 100 mL, donant una fracció molar d'etanol de 0,236, i els 50 mL amb 50 mL d'aquest laboratori donen 0,238. L'entalpia de mescla depèn fortament de la composició, de manera que aquesta coincidència no és casualitat per confiar-hi en general, però aquí es manté.

La correcció segueix en una línia. 0,87 mol d'etanol a 2,85 kJ/mol alliberen 2,48 kJ, i repartits entre la capacitat calorífica de la mescla de 306,62 J/K això és 2480 / 306,62 = 8,08 °C d'escalfament addicional. Afegit al resultat del balanç: 61.02 + 8.08 = 69,10 °C. Per tant, la mescla d'etanol s'hauria de reportar al voltant dels 69 °C, i un estudiant que prediu 61 i mesura 69 no ha comès cap error; ha descobert un terme que l'equació no contenia, la qual cosa és un resultat millor que si hi hagués hagut concordança.

Dos efectes, separats i mesurats

La mescla d'etanol acaba 19,1 °C per damunt del control d'aigua, i el més valuós que pot fer aquest laboratori és dividir aquesta diferència en les seves dues causes, cosa que pot fer perquè el valor intermedi és calculable. La primera causa és la capacitat calorífica: 50 ml d'etanol només retenen 97,01 J/K en comparació amb els 209,61 de l'aigua, de manera que l'aigua calenta ha de cedir menys energia per portar-la a una temperatura determinada i, per tant, l'equilibri s'estableix més amunt. Això explica 61,02 − 50,00 = 11,02 °C, o un 58 per cent de la diferència. La segona causa és la mescla exotèrmica, que representa la resta 8,08 °C, o un 42 per cent. Tots dos empenyen en la mateixa direcció, la qual cosa és desafortunada pedagògicament perquè fa que sigui fàcil confondre'ls —però els números els separen clarament, i un estudiant que pot dir “onze graus per la capacitat calorífica, vuit per la calor de mescla” ha entès l'experiment d'una manera que “ha sortit més calent” no capta.

Val la pena fixar-se en com seria l'experiment si el segon efecte no hi fos. Un líquid amb una capacitat calorífica similar a la de l'etanol que no interactuï amb l'aigua —un hidrocarbur lleuger, diguem-ne— arribaria als 61 °C i s'aturaria allà, i la discrepància desapareixeria. Aquesta és la prolongació natural per a una classe que hagi acabat aquest laboratori, i és la manera més neta de demostrar que els 8 graus addicionals són realment química entre els dos líquids en lloc d'una propietat de l'etanol sol.

Resum de tasques per rang de qualificació

De 9è a 10è grau

Enfocament observació, vocabulari i la idea que les substàncies difereixen en la quantitat de calor que retenen. Els estudiants haurien d'acabar sent capaços de dir que la barreja d'etanol va acabar més calenta i de donar una raó amb les seves pròpies paraules.

Activitats: executeu tots dos experiments i registreu les tres temperatures de cadascun en una taula pròpia. Prediu el resultat de l'aigua amb aigua abans de barrejar, utilitzant només les dues temperatures de partida, i comproveu-ho. A continuació, digueu quina barreja va acabar més calenta i quant. Mesureu la massa de 50 mL de cada líquid, o calculeu-la a partir de les densitats donades, i utilitzeu la diferència per explicar en llenguatge planer per què volums iguals no són quantitats iguals. Practiqueu les normes de seguretat: l'etanol s'allunya de la placa calefactora, l'aigua calenta s'aboqui a poc a poc, el calorímetre s'esbandeix entre assajos.

11è curs

Enfocament el balanç energètic aplicat quantitativament i la diferència entre la capacitat calorífica específica i molar. Aquesta franja és l'aritmètica de la mitjana ponderada i la confiança per interpretar-la.

Activitats: deriva T_f = (m₁c₁T₁ + m₂c₂T₂) / (m₁c₁ + m₂c₂) a partir de la conservació de l'energia i demostreu que es redueix a la mitjana aritmètica per a l'Experiment 1. Calculeu la capacitat calorífica de cada porció de 50 mL, tant en grams com en mols, i confirmeu que les dues vies donen el mateix T_f. Predir 61,02 °C per a l'Experiment 2 i ubiqueu aquest resultat com a fracció de l'interval de 20 a 80 °C, després mostreu que la fracció equival a la proporció d'aigua calenta de la capacitat calorífica total. Compareu ambdues prediccions amb les mesures, useu el dèficit del control com a correcció de pèrdues i expliqueu què queda. Relacioneu el resultat amb el motiu pel qual un clima costaner és més suau que un de continental.

12è curs / Nivell universitari

Enfocament separar dos efectes que actuen en la mateixa direcció, i una anàlisi d'errors en la qual s'identifica el terme dominant en lloc de limitar-se a enumerar-lo.

Activitats: dividiu la diferència de 19,1 °C entre els dos experiments en la contribució de la capacitat calorífica (11,02 °C) i la contribució de la calor de mescla (8,08 °C), i giustifiqueu cadascuna de manera independent. Expliqueu per què l'etanol té la capacitat calorífica molar més gran mentre que l'aigua té la capacitat calorífica màssica (específica) més gran, en funció de la massa molar i dels graus de llibertat interns. Preneu els 2,85 kJ/mol del laboratori 065, verifiqueu que els dos laboratoris es troben a la mateixa composició i debatiu si una entalpia de mescla a temperatura ambient es pot aplicar legítimament a una barreja que acaba a 69 °C. Dissenyeu un pas de calibratge per al calorímetre utilitzant només l'aparell que ja hi ha a la banqueta, i indiqueu quines esdevenen les dues prediccions si la seva capacitat calorífica resulta ser de 50 J/K. Proposeu una tercera barreja que aïllaria l'efecte de la capacitat calorífica de l'efecte de mescla, i digueu quin resultat hauria de donar. Feu referència creuada al laboratori 065, que mesura directament la calor de mescla, i al laboratori 066, que utilitza el mateix calorímetre per a entalpies de dissolució i de reacció.

Equipament de laboratori

Instruments

• Calorimetre amb tapa, agitador motoritzat i botons de control verd/vermell
• Termòmetre digital
• Placa calefactora amb consigna de temperatura
• Vas de precipitats de 250 mL (omplert fins a la meitat aproximadament, uns 125 mL, per subministrar les dues porcions calentes de 50 mL)
• Proveta graduada, 50 mL
• Paperera de reciclatge

Productes

• Aigua destil·lada (50 mL al calorímetre per a l'experiment 1, més el rentat després de cada experiment)
• Aigua de l'aixeta (uns 125 mL, escalfada al vas de precipitats per subministrar la porció calenta de tots dos experiments)
• Etanol, líquid (50 mL, Experiment 2)