077 – Wpływ prądu na jasność żarówki

Żarówka to najprostszy przyrząd w laboratorium, który zamienia wielkość elektryczną w coś, co oko może odczytać bezpośrednio. Ściemniacze, gasnące reflektory samochodu ze słabnącym akumulatorem oraz regulacja jasności na tablicy przyrządów działają na tej samej zasadzie: zmień prąd płynący przez żarnik, a jego temperatura, a tym samym światło, zmieni się wraz z nim. Zależność tę warto dokładnie określić, ponieważ nie jest taka, jakiej większość ludzi się spodziewa – natężenie światła nie maleje w takim samym tempie jak prąd, lecz maleje znacznie szybciej.

Powodem jest to, że żarnik jest nagrzewany przez dostarczaną do niego moc, a moc nie jest proporcjonalna do natężenia prądu, lecz do jego kwadratu, P = I²R. W obwodzie szeregowym istnieje tylko jedna ścieżka, więc przez każdy komponent przepływa ten sam prąd; dodanie rezystora zwiększa całkowity opór, a zgodnie z prawem Ohma I = V/R prąd wszędzie maleje. Żarówka otrzymuje wówczas mniejszy prąd, a zarazem mniejszą część napięcia zasilania, przy czym oba te efekty potęgują się nawzajem. Kolejny krok tego samego rodzaju wiąże moc z tym, co faktycznie widać, ponieważ chłodniejszy żarnik promieniuje mniej i emituje mniejszą część tego promieniowania w postaci światła widzialnego.

W tym laboratorium zbudujesz obwód szeregowy zawierający wyłącznie zasilacz 12 V oraz żarówkę, zmierzysz natężenie prądu za pomocą multimetru i odnotujesz, jak jasna wydaje się żarówka. Następnie dodasz rezystor 5 Ω i powtórzysz pomiar, dodasz drugi i powtórzysz go ponownie, a na podstawie trzech par odczytów zdecydujesz, jaki rodzaj zależności łączy natężenie prądu z jasnością: stała, liniowa czy bardziej stroma.

Cele edukacyjne

Montowanie i modyfikowanie obwodu szeregowego

• Zbuduj działający obwód jednopętlowy z źródła zasilania, lampy i przewodów połączeniowych, a następnie rozbuduj go bez demontażu tego, co już tam jest.
• Zauważ, że w obwodzie szeregowym prąd jest taki sam w każdym punkcie, więc nie ma znaczenia, gdzie zostanie włączony miernik.

Pomiary prądu

• Przełącz multimetr w tryb pomiaru prądu, włącz go szeregowi w obwód zamiast równolegle do elementu i odczytaj wartość prądu z dokładnością oferowaną przez przyrząd.
• Zapisz każdy odczyt wraz z jego jednostką obok obwodu, który go wygenerował, aby trzy próby można było później porównać.

Stosowanie prawa Ohma

• Przed dokonaniem pomiaru przewidź natężenie prądu w każdym z trzech obwodów na podstawie całkowitego oporu, a następnie porównaj przewidywania z pomiarem.
• Wyjaśnienie, dlaczego dodanie rezystora szeregowo zmniejsza prąd przepływający przez nietknięty element: Zgodnie z prawem Ohma ($I = \frac{U}{R}$), prąd płynzący w obwodzie zależy od całkowitego napięcia źródła oraz całkowitego oporu obwodu. Gdy dodajesz rezystor szeregowo do istniejącego obwodu: 1. **Zwiększa się całkowity opór rezystancji ($R_{tot}$):** Rezystory połączone szeregowo sumują się ($R_{tot} = R_1 + R_2 + \dots$). Całkowity opór obwodu jest teraz większy niż wcześniej. 2. **Napięcie źródła pozostaje takie samo:** Zakładamy, że napięcie zasilania (np. baterii) się nie zmienia. 3. **Spada natężenie prądu całkowitego:** Ponieważ całkowity opór wzrósł, a napięcie pozostało bez zmian, całkowity prąd płynący ze źródła musi się zmniejszyć. 4. **Prąd jest wszędzie taki sam:** W obwodzie szeregowym prąd płynący przez każdy element (w tym przez nietknięty komponent) jest dokładnie taki sam jak prąd całkowity płynący w obwodzie. Podsumowując: dodanie rezystora zwiększa ogólny opór obwodu, co powoduje spadek natężenia prądu przepływającego przez wszystkie elementy połączone szeregowo.

Powiązanie mocy z jasnością

• Oblicz moc wydzieloną w lampie z P = I²R i pokaż, że maleje on jako kwadrat prądu.
• Ponieważ w obwodzie szeregowym dodanie kolejnych rezystorów zwiększa całkowity opór obwodu, całkowity prąd płynący ze źródła maleje. Zgodnie z prawem Ohma ($V = I \times R$), mniejszy prąd płynący przez stały opór (rezystancję) lampy powoduje, że odłoży się na niej mniejszy spadek napięcia. Ponadto całkowite napięcie źródła rozkłada się teraz na większą liczbę rezystorów, przez co na samą lampę przypada mniejsza część tego napięcia.

Identyfikowanie relacji z danych

• Rozstrzygnij na podstawie trzech pomiarów, czy zależność jest stała, liniowa czy bardziej stroma niż liniowa, i powiedz, jakie dalsze pomiary mogłyby to rozstrzygnąć.
• Narysuj wykres natężenia prądu w funkcji odwrotności całkowitego oporu i uznaj linię prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych za potwierdzenie prawa Ohma.

Ocena granic obserwacji jakościowej

• Podaj powody, dla których oko jest słabym fotometrem, i zaproponuj, w jaki sposób można uczynić porównanie jasności ilościowym.
• Podaj co najmniej jeden sposób, w jaki rzeczywisty żarnik odbiega od stałego oporu założonego w obliczeniach.

Protokół

Celem tej pracowni jest obserwacja wpływu prądu na moc świecenia lampy.

Konfiguracja

Najpierw zbuduj szeregowy obwód składający się tylko z lampki lub diody LED.

1. Włącz zasilacz.
2. Użyj multimetru do pomiaru prądu w obwodzie.
3. Zapisz obecne jakościowe natężenie światła.
4. Zapisz obwód.
5. Dodaj rezystor do obwodu i powtórz poprzednie kroki.
6. Dodaj kolejny rezystor do obwodu i powtórz poprzednie kroki.

Mamy teraz trzy wartości natężenia w zależności od prądu. Jaki związek można zaobserwować? Czy jest stały, liniowy, wykładniczy…

Przewidywane wyniki

Wartości elementów. Napięcie zasilania wynosi 12 V. Żarówka ma rezystancję 5 Ω w temperaturze roboczej, a każdy rezystor dodany do obwodu ma paski w kolorach: zielony – czarny – złoty – brązowy, co oznacza 5 Ω ±1 % (kod kolorystyczny określono w normie laboratoryjnej 074). Obwód stanowi jedną pętlę, więc ten sam prąd przepływa zarówno przez żarówkę, rezystory, jak i miernik, a miernik można podłączyć w dowolnym miejscu pętli, uzyskując ten sam wynik.

Praca nad trzema rzędami. Rezystancje połączone szeregowo sumują się, więc wartości całkowite wynoszą odpowiednio 5, 5 + 5 = 10 oraz 5 + 5 + 5 = 15 Ω. Prawo Ohma daje wówczas natężenie prądu w każdym przypadku: I = 12/5 = 2,40 A, I = 12/10 = 1,20 A oraz I = 12/15 = 0,80 A. Moc docierająca do żarnika wynosi P = I²R_lampa = 2.40² × 5 = 28.8 W, a następnie 1.20² × 5 = 7.2 W, następnie 0.80² × 5 = 3.2 W. Te same trzy liczby wychodzą z P = V_lampa × Gdy tylko napięcie na lampie zostanie wyznaczone z V_lampa = I × 5 Ω, czyli 12 V, potem 6,0 V, a następnie 4,0 V: 12 × 2,40 = 28,8 W, 6,0 × 1,20 = 7,2 W i 4,0 × 0,80 = 3,2 W. Dwie niezależne drogi do tej samej odpowiedzi są dowodem na zrozumienie obwodu; 4,0 V z trzeciej próby to ta sama wartość, którą laboratorium 075 mierzy na swoim rezystorze 5 Ω, ponieważ jest to ten sam obwód.

Dlaczego światło spada szybciej niż prąd. Po podłączeniu rezystora zachodzą jednocześnie dwie rzeczy. Prąd maleje, a wraz z nim zmniejsza się część napięcia zasilania doprowadzana do żarówki — z pełnych 12 V do połowy, a następnie do jednej trzeciej. Moc jest iloczynem tych dwóch wielkości, więc maleje proporcjonalnie do kwadratu: stosunek tych trzech wartości wynosi 9 : 2,25 : 1. Zmniejszenie prądu o połowę, z 2,40 A do 1,20 A, powoduje, że lampa otrzymuje jedną czwartą swojej mocy, a nie połowę. Wyrażając to jako ułamek mocy dostarczanej przez zasilacz (28,8 W, 14,4 W i 9,6 W w trzech próbach), lampa otrzymuje odpowiednio 100 %, 50 % i 33 % — reszta to ciepło wytwarzane przez rezystory. Oto odpowiedź na pytanie postawione w protokole: zależność ta nie jest ani stała, ani liniowa, lecz ma charakter potęgowy, przy czym jasność jest proporcjonalna do natężenia prądu (I) ∝ I² przy stałej rezystancji lampy, co jest równoważne ∝ 1/R_całkowity².

A oko widzi coś jeszcze bardziej stromego. Wartości mocy to te, które otrzymuje żarnik, a nie to, co opuszcza go w postaci światła widzialnego. Żarnik wolframowy promieniuje zgodnie z czwartą potęgą swojej temperatury, a ułamek tego promieniowania przypadający na pasmo widzialne również gwałtownie rośnie wraz z temperaturą, ponieważ prawo Wiena umieszcza maksimum promieniowania żarnika o temperaturze 2800 K na poziomie około 1,0 µm, czyli wyraźnie w zakresie podczerwieni. Standardowe skalowanie empiryczne dla lampy wolframowej w pobliżu jej napięcia znamionowego wynosi: strumień świetlny ∝ V^3.4, dlatego przewiduje, że druga próba przy połowie napięcia lampy emituje około 0,5^3.4 = 9,5 % światła pierwszego i trzeciego przy napięciu wynoszącym jedną trzecią wartości, czyli około 2,6 % — znacznie poniżej wartości 25 % i 11 %, które wynikałyby wyłącznie ze stosunków mocy. Przy napięciu tak znacznie niższym od znamionowego skala ma jedynie charakter orientacyjny, a w prawdziwym laboratorium trzeci eksperyment najprawdopodobniej dałby raczej matową pomarańczową poświatę niż słabą białą. Samą zmianę barwy warto zwrócić uwagę studentom: przyciemniona żarówka nie tylko emituje mniej światła, ale emituje światło bardziej czerwone, dlatego ściemniacze żarówek i fotografia z balansem światła dziennego nie idą w parze.

Rezystancja lampy nie jest tak naprawdę stała. Wartość 5 Ω podana w całym tekście to opór żarnika w stanie nagrzanym. Rezystywność wolframu gwałtownie rośnie wraz z temperaturą – współczynnik wynoszący około 0,0045 na kelwin daje dziesięcio- do piętnastokrotną różnicę między temperaturą pokojową a 2800 K – więc ten sam żarnik zmierzony na zimno miałby zaledwie kilka dziesiątych oma, a żarówka pobiera duży prąd udarowy w momencie jej włączenia. Oznacza to również, że powyższe obliczenia mają charakter autoodniesienia: wraz z dodawaniem rezystorów żarnik chłodzi się, jego opór spada poniżej 5 Ω, całkowity opór jest więc nieco mniejszy niż 10 lub 15 Ω, a rzeczywisty prąd jest nieco wyższy, niż podaje tabela, podczas gdy udział żarówki w napięciu jest nieco niższy. Symulacja modeluje stałą wartość 5 Ω, co utrzymuje przejrzystość obliczeń i jest właściwym uproszczeniem na tym poziomie, jednak klasa, która zmierzy napięcie na żarówce oraz natężenie prądu, może zaobserwować ten efekt bezpośrednio: w próbach z przyciemnieniem stosunek V/I wyniósłby poniżej 5 Ω. Ten jeden dodatkowy odczyt to najcenniejszy wkład, jaki nauczyciel może wnieść do tego protokołu.

Ostrzeżenie dotyczące opcji LED. Protokół oferuje “lampę lub diodę LED”, a te dwa elementy nie zachowują się tak samo. Dioda LED nie jest rezystorem: utrzymuje w przybliżeniu stałe napięcie przewodzenia wynoszące około 2 V, a jej prąd jest ustalany przez cokolwiek innego w obwodzie, dlatego musi być zawsze obsługiwana z rezystorem ograniczającym prąd. Podłączona sama do źródła 12 V poprzez okablowanie tego układu przepuściłaby ogromny prąd — nawet przy obu rezystorach 5 Ω na miejscu, (12 − 2)/10 = 1 A wobec typowej wartości znamionowej 20 mA — i uległaby natychmiastowej awarii. Na stole laboratoryjnym dioda LED potrzebuje w tym miejscu około 500 Ω, a nie 5. Fizyka odpowiedzi również się zmienia: strumień świetlny diody LED jest niemal proporcjonalny do jej prądu, a nie do jego kwadratu, więc zależność, którą laboranci mają zidentyfikować, jest inna w zależności od wybranego komponentu. Wartości na tej stronie dotyczą lampy.

Czego symulacja nie uwzględnia w opłatach. Te prądy są duże jak na pokazane elementy. Lampa wydziela 28,8 W w pierwszej próbie, co odpowiada lampie samochodowej, a nie żarówce wskaźnikowej; każdy rezystor 5 Ω wydziela I²R = 7,2 W w drugiej próbie i 3,2 W w trzeciej, dwadzieścia dziewięć i trzynaście razy więcej niż ćwierćwatowy rezystor węglowy; a 2,40 A znacznie przekracza około 1 A, na jaki zaprojektowane są styki sprężynowe płytki stykowej. Zbudowany na prawdziwym sprzęcie zgodnie ze specyfikacją, ten układ przegrzałby się. Pomnożenie każdego oporu przez dwieście utrzymuje wszystkie trzy stosunki prądów, wszystkie trzy dzielniki napięcia i całą argumentację w nienaruszonym stanie przy bezpiecznych poziomach mocy. Ten sam zarzut odnotowano w laboratoriach 075 i 076.

Szczere granice tego eksperymentu. Trzy punkty to niewiele, by na ich podstawie nazwać zależność, i nie są one rozmieszczone równomiernie: natężenia prądu 2,40, 1,20 i 0,80 A są zgodne z wzorem 12/(5n) dla n = 1, 2, 3, co stanowi hiperbolę w funkcji liczby oporników, więc uczeń, który wykreśla jasność w funkcji tej liczby, widzi krzywą wytworzoną przez obwód, a nie przez lampę. Czystym testem jest wykreślenie natężenia prądu w funkcji 1/R_całkowity, która musi być prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych o nachyleniu 12 V. Sama jasność jest rejestrowana wyłącznie za pomocą słów, więc ostatnich dwóch kolumn drugiej tabeli nie można zweryfikować z czymkolwiek mierzonym przez protokół; luksomierz lub zdjęcie wykonane przy stałym czasie ekspozycji zamieniłyby główne twierdzenie laboratorium w pomiar. A oko adaptuje się między obserwacjami, więc trzy lampy należy porównywać w tym samym pokoju, w tym samym świetle otoczenia, a najlepiej w ciągu kilku sekund od siebie.

Wyniki znajdują się pod tym linkiem

Podsumowanie zadania według zakresu ocen

Klasy 9–10

Skup się. Budowanie obwodu szeregowego i obserwowanie, jak dodawanie do niego rezystancji wpływa na jego działanie.

Działania. Zmontuj obwód lampy, zmierz prąd, opisz jasność słowami, a następnie dodaj jeden rezystor i powtórz, a potem drugi i powtórz. Zapisz trzy wartości prądu w tabeli obok trzech opisów.

Wymagane od studenta. Natężenie prądu jest wszędzie takie samo w obwodzie szeregowym; dodanie rezystancji zmniejsza natężenie prądu; multimetr podłącza się szeregowo w obwodzie, a nie równolegle do elementu; i zauważ, że światło słabnie szybciej niż natężenie prądu, nawet bez możliwości określenia, o ile dokładnie.

Klasa 11

Skup się. Ilościowe ujęcie natężenia prądu, napięcia i mocy.

Działania. Przewidź trzy prądy z wzoru I = V/R_całkowity przed ich zmierzeniem oblicz napięcie na lampie i moc, którą wydziela w każdej próbie obiema drogami, P = I²R i P = VI; oraz narysuj wykres natężenia prądu w funkcji 1/R_całkowity aby bezpośrednio przetestować prawo Ohma.

Wymagane od studenta. Wykazuj, że stosunki mocy wynoszą 9 : 2,25 : 1 i wyjaśnij, skąd bierze się podniesienie do kwadratu; stwierdź, że w trzech próbach lampa pobiera odpowiednio 100 %, 50 % i 33 % mocy z źródła zasilania oraz wskaż, gdzie trafia pozostała część mocy; określ tę zależność jako potęgową, a nie liniową, i uzasadnij ten wybór na podstawie danych.

Klasa 12 / Poziom akademicki

Skup się. Łańcuch od energii elektrycznej do postrzeganego światła i ukryte w nim założenia.

Działania. Śledź argument przez jego trzy etapy — moc a temperatura żarnika, temperatura a strumień promieniowany i widzialny, strumień a postrzegana jasność — i oszacuj względny strumień świetlny trzech prób. Przeanalizuj założenie o stałej rezystancji, wykorzystując współczynnik temperaturowy wolframu, i zaprojektuj dodatkowy pomiar, który je obnaży. Oblicz moc znamionową, jakiej potrzebowałby każdy element w tym obwodzie na prawdziwym sprzęcie, i zaproponuj skalowanie, które umożliwi zbudowanie obwodu.

Wymagane od studenta. Wyjaśnienie przesunięcia ku czerwzeni ściemnionej żarówki za pomocą prawa przesunięć Wiena: Prawo przesunięć Wiena mówi, że długość fali, przy której widmo ciała doskonale czarnego (a żarnik wolframowy zachowuje się podobnie) emituje maksymalną ilość promieniowania ($\lambda_{\text{max}}$), jest odwrotnie proporcjonalna do jego temperatury absolutnej ($T$): $\lambda_{\text{max}} = b / T$. Kiedy żarówka jest ściemniana (zmniejsza się napięcie/prąd), temperatura żarnika spada. Ponieważ temperatura w mianowniku maleje, długość fali maksymalnej emisji ($\lambda_{\text{max}}$) rośnie, co oznacza przesunięcie widma w stronę dłuższych fal (czerwieni i podczerwieni). Rozróżnienie mocy wypromieniowanej, strumienia świetlnego i postrzeganej jasności oraz wskazanie, co faktycznie obserwuje się w eksperymencie: - Moc wypromieniowana (strumień radiantny) to całkowita energia elektromagnetyczna emitowana przez żarówkę w jednostce czasu we wszystkich długościach fal (w tym w niewidzialnej podczerwieni). - Strumień świetlny to miara całkowitej mocy światła emitowanego w zakresie widzialnym, skorygowana o czułość ludzkiego oka (wyrażona w lumenach). - Postrzegana jasność to subiektywne wrażenie wzrokowe obserwatora, zależne od nieliniowej reakcji ludzkiego oka na bodźce świetlne. W eksperymencie ze ściemnianą żarówką bezpośrednio obserwuje się postrzeganą jasność (oraz zmianę koloru), która zależy od strumienia świetlnego, a nie bezpośrednio od całkowitej mocy wypromieniowanej. Dlaczego dioda LED dałaby inną relację i nie przetrwała w opisanym obwodzie: Dioda LED jest urządzeniem półprzewodnikowym emitującym światło w wąskim zakresie długości fal (dzięki elektroluminescencji, a nie promieniowaniu cieplnym), więc jej kolor nie zmienia się drastycznie w funkcji temperatury tak jak w przypadku żarówki. Ponadto LED ma nieliniową charakterystykę prądowo-napięciową i ujemny współczynnik temperaturowy. Zastąpienie nią żarówki w obwodzie zaprojektowanym dla rezystancyjnego obciążenia żarnikowego spowodowałoby gwałtowny wzrost prądu, przegrzanie i zniszczenie diody, chyba że obwód zostałby wyposażony w odpowiednie ograniczenie prądu (np. rezystor lub sterownik). Co trójpunktowy zestaw danych może, a czego nie może udowodnić: Trójpunktowy zestaw danych może wskazać ogólny trend (np. że ze spadkiem napięcia spada jasność i temperatura barwowa), ale nie może udowodnić dokładnej, ciągłej relacji matematycznej ani zagwarantować, że zachowanie między zmierzonymi punktami jest monotoniczne lub przewidywalne, ponieważ trzy punkty to za mało, aby zweryfikować nieliniowe modele fizyczne lub wykluczyć błędy pomiarowe/lokalne anomalie.

Podstawowe wyposażenie laboratorium

Instrumenty

• Zasilacz (12 V DC)
• Płytka stykowa
• Multimetr (tryb A; gniazda COM i 10 A)
• Przewody łączące
• Lampa (5 Ω w temperaturze roboczej)
• Rezystory (2 × 5 Ω ±1, typ %, oznaczenie kolorami: zielony – czarny – złoty – brązowy)
• LED (wymieniona w protokole jako alternatywa dla lampy — przed użyciem należy zapoznać się z ostrzeżeniem w sekcji Przewidywane Wyniki)
• Tabela kodów barwnych rezystorów