082 – Força efectiva

Un pla inclinat és la més antiga de les màquines simples i continua sent una de les més útils: és el motiu pel qual existeix una rampa per a cadires de rodes, pel qual una carretera de muntanya fa ziga-zaga en lloc de pujar recte amunt i pel qual una dàrsena de càrrega té un pendent en lloc d'un esglaó. En tots els casos, la rampa no redueix el treball necessari per elevar una càrrega, sinó que redueix el força necessari, repartint aquest treball en un camí més llarg. Saber quanta força exigeix un pendent determinat és el que permet dissenyar una rampa, dimensionar un xiprer o donar a una carretera de muntanya un gradient segur.

La física és la descomposició d'un sol vector. La gravetat estira el carro directament cap avall amb tot el seu pes F_g = m g, però la placa només es pot desplaçar al llarg de la seva superfície o ser preses perpendicularment a aquesta. Descomponent el pes en aquestes dues direccions s'obté una component paral·lela al pla inclinat, F_eff = F_g sin θ, que és la part que tendeix a fer baixar el carretó, i una component perpendicular a aquesta, N = F_g cos θ, el qual el tauler suporta simplement. Només s'ha de retenir la component paral·lela —la força efectiva—, i com que el sin θ creix des de zero a l'horitzontal fins a un a la vertical, el mateix carro exigeix una subjecció diferent a cada pendent.

En aquest laboratori mesurareu directament aquest component. Un carretó de massa coneguda s'enganxa a un dinamòmetre alineat amb un tauler, i el tauler es col·loca aproximadament a 20°, 40° i 60° pujant una pinça per un suport universal. A cada angle llegireu la força que aguanta el dinamòmetre, calculeu quin F_g sin θ prediu, i compareu tots dos. La comparació és el punt clau de l'experiment: la coincidència confirma la descomposició, i la magnitud de qualsevol discrepància us indica com de bé s'ha fet el mesurament.

Objectius educatius

Familiarització amb l'entorn del laboratori

• Identifica les parts d'un muntatge de pla inclinat: el suport universal, la mordassa que fixa l'altura, la taula, el transportador d'angles i el dinamòmetre amb el seu ganxo.
• Establir i llegir un angle d'inclinació amb un transportador, i registrar-lo com una quantitat mesurada en lloc d'un ajust nominal.

Ús correcte d'un dinamòmetre

• Fixeu el dinamòmetre de manera que quedi paral·lel a la taula, i expliqueu per què un dinamòmetre desalineat marca un valor massa baix.
• Llegiu una força en newtons amb la resolució que l'instrument ofereix realment, i comproveu-ne el zero abans de carregar-la.

Descomposició d'una força en components

• Dibuixeu el diagrama de cos lliure d'un carretó en repòs sobre un pla inclinat, mostrant el pes, la força normal i la força del dinamòmetre.
• Descompongueu el pes en una component al llarg del pla inclinat i una component perpendicular a aquest, i escriviu cadascuna com a producte de F_g i una funció trigonomètrica de l'angle.

Predicció i comprovació d'una relació quantitativa

• Calculeu el pes del carro a partir de F_g = m g i la força efectiva teòrica de F_eff = F_g sin θ.
• Preneu la força eficient a un angle no provat i descriviu com es podria comprovar la predicció.
• Expliqueu per què la força efectiva no augmenta en passos iguals per a augments iguals de l'angle.

Comparació de la mesura amb la teoria

• Tabuleu els valors mesurats i calculats cara a cara i expresseu la diferència tant en valor absolut com en percentatge.
• Decidiu si una diferència observada és prou gran com per requerir una explicació física, o prou petita com per atribuir-la a la precisió dels instruments.

Connectant la força a la idea d'una màquina

• Una rampa redueix la força necessària per a aixecar una càrrega perquè distribueix el treball al llarg d'una distància més llarga. Segons la llei de la conservació de l'energia, el treball total realitzat és el producte de la força per la distància ($W = F \times d$). En augmentar la distància per la qual es mou l'objecte (la longitud del pla inclinat), la força necessària disminueix proporcionalment per a aconseguir el mateix increment d'energia potencial. Per tant, no s'estalvia treball, ja que la menor força es compensa amb una major distància de desplaçament.
• Calculeu el avantatge mecànic d'un pla inclinat a partir del seu angle i relateu-lo amb la distància recorreguda al llarg del tauler.

Protocol

1. Col·loqueu el clip al suport universal a una alçada d'aproximadament 20 cm (posició més baixa).
2. A continuació, col·loqueu la placa sobre la pinça de manera que reposi amb un angle d'aproximadament 20° respecte a l'horitzontal (utilitzeu un transportador d'angles).
3. El valor de l'angle s'indica a la taula de resultats.
4. Col·loca el dinamòmetre sobre la planxa subjectant-lo al ganxo.
5. Col·loca el carro sobre la taula, subjecta'l al ganxo del dinamòmetre. Assegura't que el dinamòmetre romangui paral·lel a la taula.
6. La força experimental efectiva mesurada pel dinamòmetre es troba a la taula de resultats.
7. Repetiu el pas 1 fixant el mors al suport universal en una posició lleugerament més alta per inclinar el tauler en un angle d'aproximadament 40° respecte a l'horitzontal.

La carretilla es mourà llavors cap avall. La força experimental efectiva mesurada pel dinamòmetre es troba a la taula de resultats.

8. Finalment, repetiu el pas 1 fixant la pinça al suport universal a la posició més alta per inclinar la taula en un angle aproximat de 60° respecte a l'horitzontal.

La carretilla es mourà llavors cap avall. La força experimental efectiva mesurada pel dinamòmetre es troba a la taula de resultats.

Resultats previstos

El pes del carro. Tot el que hi ha en aquesta pàgina es dedueix d'un sol nombre. El carret té una massa de 250 g, de manera que el seu pes és F_g = m g = 0,250 kg × 9,8 N/kg = 2,45 N. Aquest pes és el mateix a qualsevol angle; només en canvia la fracció que actua al llarg de la taula.

La descomposició. El pes actua verticalment cap avall. Prenent eixos al llarg de la pissarra i perpendiculars a aquesta, es descompon en

F_eff = F_g sin θ (al llarg del pendent, tendint a moure el carret avall)

N = F_g cos θ (perpendicular al pendent, transportat per la taula)

Amb el carretó en repòs i el dinamòmetre paral·lel al taulell, el dinamòmetre ha de subministrar exactament la primera d'aquestes, de manera que la seva lectura és la força efectiva. Substituint a 20°: F_eff = 2,45 × sin 20° = 2,45 × 0,342 = 0,84 N.

Un xec que no costa res. Els dos components són perpendiculars, per la qual cosa s'han de recombinar fins al pes complet: F_eff² + N² = F_g². A 20°, 0,84² + 2.30² = 0,71 + 5,29 = 6,00, i √6,00 = 2,45 N. El mateix passa a qualsevol angle, i és la manera més ràpida perquè un estudiant detecti un sinus utilitzat on es volia dir un cosinus — un parell intercanviat falla aquesta prova immediatament.

Per què la força no augmenta en passos iguals. L'angle augmenta 20° dues vegades, però la força no: puja 0,73 N de 20° a 40° i només 0,55 N de 40° a 60°. La raó és que la força efectiva segueix el sinús de l'angle, no l'angle en si, i el sinús s'aplanamenta a mesura que s'aproxima a 1. Prop de l'horitzontal la relació és gairebé lineal, ja que sin θ ≈ θ per a angles petits mesurats en radians, de manera que duplicar un pendent poc pronunciat gairebé duplica la força necessària; prop de la vertical, una inclinació addicional no aporta gairebé res, perquè el pes ja actua gairebé del tot al llarg de la fusta. Els extrems fan que la forma sigui òbvia: a 0° la força efectiva és zero i la fusta suporta tot el pes, mentre que a 90° la força efectiva és el total de 2,45 N i la fusta no suporta res — el carretó penja simplement del dinamòmetre.

El pla inclinat com a màquina. Per elevar el carro a una alçada h, el dinamòmetre l'ha de tibar una distància h / sin θ al llarg de la taula, exercint F_g sin θ tot el camí. El treball realitzat és, per tant, F_g sin θ × h / sin θ = F_g h, independentment de l'angle: el pendent modifica la força i la distància en una proporció que es compensa exactament, i no proporciona cap energia en absolut. El desavantatge mecànic ideal és 1 / sin θ, que és 2,92 a 20°, 1,56 a 40° i 1,15 a 60°. És per això que una rampa poc inclinada és fàcil i llarga, i per això la taula menys inclinada d'aquest experiment és la que exigeix menys força.

Resum de tasques per rang de qualificació

De 9è a 10è grau

Enfocament l'observació que un pendent més pronunciat exigeix una força més gran, i el vocabulari necessari per descriure-ho.

• Col·loqueu el tauler a cadascun dels tres angles utilitzant el transportador, i registreu l'angle realment obtingut en lloc de l'angle previst.
• Enganxeu el carretó al dinamòmetre amb el dinamòmetre paral·lel a la taula, i registreu la força a cada angle en una taula.
• A mesura que s'aixeca la taula, la força necessària per mantenir o pujar la càrrega augmenta. Dos exemples quotidians d'una rampa triada per fer una càrrega més fàcil de moure són: una rampa d'accés per a cadires de rodes i un tobogan o rampa per carregar caixes a un camió mitjançant un carretó.
• Calculeu el pes del carro a partir de F_g = m g i comproveu que cap força mesurada no el supera, explicant per què cap no pot fer-ho.

11è curs

Enfocament descomposició del pes en components i comprovació quantitativa de la predicció.

• Dibuixeu un diagrama de cos lliure etiquetat del carretó al pla inclinat, que mostri el pes, la força normal i la força del dinamòmetre.
• Calculeu la força efectiva teòrica F_eff = F_g sin θ per als tres angles, mostrant una substitució completa.
• Calculeu la força normal N = F_g cos θ a cada angle i verificar que F_eff² + N² = F_g².
• Tabuleu la diferència percentual entre el mesurament i la teoria a cada angle i comenteu si creix o disminueix amb el pendent.
• Predeu la força efectiva a 30° i a 75°, i expliqueu per què l'augment de 20° a 40° és més gran que l'augment de 40° a 60°.
• Una rampa redueix la força necessària perquè distribueix el treball al llarg d'una distància més gran. Segons la fórmula del treball (Treball = Força × Distància), com que la distància recorreguda al llarg de la rampa és més gran que si s'hagués d'aixecar l'objecte verticalment, la força necessària disminueix en la mateixa proporció. Tanmateix, el treball total realitzat continua sent el mateix, ja que una força menor s'aplica durant una distància més llarga, i el producte final (l'energia transferida per elevar l'objecte a la mateixa altura) no varia.

12è curs / Nivell universitari

Enfocament contrast d'hipòtesis amb el model de pes resolt.

• Deriva F_eff = F_g sin θ des del diagrama de cos lliure resolent al llarg dels eixos del pla inclinat, indicant la condició d'equilibri utilitzada.
• La fricció de lliscament es produeix quan dues superfícies llisquen l'una contra l'altra, mentre que la resistència al rodament és la força opositora que es genera quan un objecte rodó, com una roda, es desplaça sobre una superfície a causa de la deformació combinada de la roda i el sòl. A un carretó amb rodes s'hi aplica principalment la resistència al rodament, perquè les rodes roden sobre la superfície en lloc d'arrossegar-s'hi. Tot i això, també hi ha una petita quantitat de fricció de lliscament a l'eix de la roda. Totes dues forces s'escalen de manera diferent amb la càrrega: 1. Fricció de lliscament: Escala de manera lineal i directa amb la càrrega (el pes normal). Com més pes porti el carretó, més gran serà la força de fricció, segons el coeficient de fricció. 2. Resistència al rodament: També augmenta amb la càrrega, però no de la mateixa manera. Depèn del coeficient de resistència al rodament i del radi de la roda. Tot i que augmenta linealment amb el pes, el valor absolut de la força resistent sol ser significativament menor que el de la fricció de lliscament per a una càrrega equivalent, la qual cosa fa que moure una càrrega sobre rodes sigui molt més eficient.

Equipament de laboratori

Instruments

• Suport universal
• Pinça
• Taula de fusta (pla inclinat)
• Carretó (250 g)
• Dinamòmetre
• Transportador d'angles

Productes

• Cap — aquest laboratori no utilitza cap reactiu químic.