084 – Accelerazione costante

Un carrello rilasciato in cima a una rampa accelera mentre scende, e lo fa a un ritmo che rimane costante dalla cima alla base della tavola. Si tratta di un moto uniformemente accelerato — la stessa quantità di velocità acquisita in ogni secondo — ed è il caso più semplice in cui la velocità varia. Gli ingegneri lo incontrano ovunque un carico scenda lungo un pendio: trasportatori a rulli a gravità in un magazzino, una pista da slittino, la rampa usata per scaricare un camion. È anche il caso di riferimento rispetto al quale viene confrontato ogni moto più complesso.

La causa è che solo una parte del peso del carrello agisce lungo la tavola. La gravità tira verso il basso con una forza milligrammi; su un piano inclinato di un angolo θ la componente lungo la superficie è milligrammi sin θ, e la componente che preme il carrello contro la tavola è milligrammi cos θ. Il primo guida il carrello, il secondo stabilisce quanto la forza d'attrito vi si oppone, quindi l'accelerazione lungo il piano inclinato è a = g (sin θ − μ cos θ). La massa si elimina completamente da quell'espressione: un carrello pesante e uno leggero accelerano in modo identico lungo la stessa rampa, sebbene quello pesante trasporti più energia quando arriva in fondo.

In questo laboratorio costruirete un piano inclinato da due assi e un morsetto su un supporto universale, farete scorrere su di esso un carrello da 250 g mentre un marcatore a scintilla stampa un punto su una striscia di carta a intervalli regolari, e ripeterete la discesa a tre angoli crescenti. La striscia è la registrazione del moto: punti che si allontanano significativamente significano che il carrello sta accelerando, e la velocità con cui la spaziatura aumenta è l'accelerazione. Da quell'accelerazione e dalla distanza percorsa renderete poi conto dell'energia: quanta energia potenziale gravitazionale è stata rilasciata, quanta di essa è arrivata ai piedi della rampa come energia cinetica e quanta ne ha presa l'attrito durante la discesa.

Obiettivi Educativi

Costruzione e caratterizzazione di un piano inclinato

• Assemblare una rampa stabile utilizzando un supporto universale, un morsetto e due assi, e sollevarla a intervalli controllati in modo che tra una prova e l'altra vari solo l'angolo.
• Registrare l'angolo di ogni prova e riconoscerlo come l'unica variabile indipendente dell'esperimento.

Registrazione del moto con un marcapassi a scintilla

• Infila il nastro attraverso il cronografo registratore, fissalo al carrello e avvia il timer in modo che la discesa e la registrazione inizino insieme.
• Leggi un nastro completato: individua l’inizio del movimento, misura la distanza tra i punti e spiega perché tale distanza aumenta.

Misura della velocità e dell'accelerazione dai dati

• Calcolare la velocità media in ciascun intervallo secondo la formula v = Δx / Δt e considerarla come la velocità istantanea nel punto medio di tale intervallo.
• È possibile calcolare l’accelerazione in due modi distinti: dalla pendenza di un grafico velocità-tempo e dalla differenza costante tra le distanze successive tra i punti.

Applicazione delle equazioni del moto uniformemente accelerato

• Utilizza Δx = ½at², v = at e v² = 2aΔx per prevedere il tempo di discesa o la velocità finale prima di eseguire l'esperimento, quindi confronta la previsione con i risultati registrati.
• Spiega perché il grafico posizione-tempo di questo moto è una parabola, mentre il grafico velocità-tempo è una retta.

Calcolo delle forze su un piano inclinato

• Scomporre il peso nelle componenti mg sin θ lungo la tavola e mg cos θ perpendicolare ad essa, e ricavarne l'equazione del moto.
• Calcolare il coefficiente di attrito a partire dall'accelerazione misurata e prevedere l'angolo al di sotto del quale il carrello non si metterà affatto in moto.

Rendicontazione dell'energia

• Calcola l'energia potenziale rilasciata (E_p = mgΔx sin θ), l'energia cinetica alla base (E_k = ½mv²) e la differenza tra i due.
• Identifica tale differenza come il lavoro svolto contro l'attrito, W_f = ΔE_m, e convertirla in una forza tramite F_f = W_f / Δx.

Valutare la qualità di una misurazione

• Confrontare l'entità dell'effetto misurato con la risoluzione dello strumento che lo misura e raggruppare i punti sul nastro quando un singolo intervallo è troppo breve per essere risolto.
• Distingui una dispersione casuale che le prove ripetute riducono da uno scostamento sistematico che non riducono.

Protocollo

1. Fissare un morsetto al supporto universale (posizione più bassa).
2. Posizionare una prima tavola all'estremità del morsetto.
3. Posiziona una seconda tavola all'estremità della prima in modo che poggi in maniera inclinata.
4. Il valore dell'angolo è riportato nella tabella dei risultati.
5. Posiziona il carrello da 250 g in cima al piano inclinato.
6. Posiziona il cronometro di registrazione vicino all'incrocio delle due assi.
7. Posiziona il dispenser del nastro sulla prima tavola.
8. Attacca il gancio sulla punta del dispenser del nastro all'anello del carrello.
9. Avvia il cronometro. Questo attiverà la discesa della carrozza.
10. Una volta che il carrello è alla fine del tabellone, ferma il cronometro.
11. Le misurazioni del cronometro di registrazione si trovano nella tabella dei risultati.
12. Resetta il cronometro con il pulsante destro.
13. Fissa il morsetto al supporto universale in una posizione leggermente più in alto. L'asse inclinerà con un angolo più pronunciato.
14. Riposizionare il carrello da 250 g in cima al piano inclinato.
15. Attiva il cronometro. Questo attiverà la discesa della carrozza.
16. Una volta che il carrello è alla fine del tabellone, ferma il cronometro.
17. Resetta il cronometro con il tasto destro.
18. Fissare il morsetto al supporto universale nella posizione più alta. La tavola si inclinerà con un angolo ancora più pronunciato.
19. Ripeti i passaggi da 14 a 16 con questo nuovo angolo.
20. Dai dati raccolti nella tabella dei risultati, calcola l'accelerazione del carrello, esegui anche i calcoli dell'energia potenziale, dell'energia cinetica e dell'energia meccanica del carrello.
21. Determinare la magnitudo della forza di attrito che agisce sul carrello durante la sua discesa.

Risultati Previsti

Il nastro è il risultato principale. I suoi punti sono stampati a intervalli di tempo uguali, quindi una spaziatura costante indicherebbe una velocità costante, mentre una spaziatura crescente indicherebbe un’accelerazione; in una discesa con accelerazione uniforme, il aumento L'intervallo di tempo tra un intervallo e l'altro è a sua volta costante ed è pari a aΔt². Uno studente che misuri gli spazi tra i punti, li converta in velocità e tracci un grafico della velocità in funzione del tempo, otterrà una retta la cui pendenza corrisponde all'accelerazione. La retta non passa per l’origine, poiché il cronometro viene avviato un istante prima che il carrello venga rilasciato e i primi punti vengono stampati mentre il carrello è ancora a riposo.

Questa pagina presenta un esempio risolto anziché una serie di dati misurati: le tre posizioni dei morsetti utilizzate nella simulazione, gli angoli che generano e le letture del cronometro che forniscono non sono state pubblicate, quindi le cifre riportate di seguito sono calcolate a partire dall’unico esempio fornito dal laboratorio: un’accelerazione di circa 0,45 m/s² su una pendenza di 15°, con 0,63 J di energia rilasciata e circa 0,52 J persi per attrito durante una discesa di 1 m. Questi tre valori sono tra loro coerenti e determinano il coefficiente di attrito, che a sua volta permette di calcolare tutti gli altri angoli. Gli insegnanti dovrebbero considerare le tabelle come previsioni da verificare confrontandole con le proprie misurazioni, non come letture ricavate dal modello.

Risolvere l'attrito dall'esempio dichiarato. Con Δx = 1,00 m e a = 0,45 m/s², il carrello raggiunge una velocità v = √(2aΔx) = √(2 × 0,45 × 1,00) = 0,95 m/s trasportando E_k = ½ × 0,250 × 0,95² = 0,11 J. L'energia potenziale liberata è E_p = mgΔx sin θ = 0,250 × 9,8 × 1,00 × sin 15° = 0,63 J, quindi l’energia assorbita dall’attrito è pari a 0,63 − 0,11 = 0,52 J — esattamente il valore indicato dal laboratorio. Dividendo per la distanza si ottiene F_f = 0,52 J / 1,00 m = 0,52 N; dividendo questo valore per la forza normale mg cos θ = 0,250 × 9,8 × cos 15° = 2,37 N si ottiene μ_k = 0.22. Lo stesso valore deriva direttamente da a = g (sin θ − μ cos θ): 0,45 / 9,8 = 0,0459, e (0,2588 − 0,0459) / 0,9659 = 0,220.

I tempi derivano da Δx = ½at², riorganizzato come t = √(2Δx / a) — a 20°, t = √(2 × 1,00 / 1,33) = 1,23 s — e le velocità da v = at. Si noti quanto sia brusca la risposta dell’accelerazione: aumentando l’inclinazione della rampa di cinque gradi, da 15° a 20°, essa quasi triplica. Ciò non è dovuto al fatto che sin θ quasi triplichi (aumenta di un terzo), ma al fatto che l’accelerazione è la differenza di due termini comparabili. A 15°, il termine dominante 0,259 e il termine di attrito 0,220 × 0,966 = 0,213 si annullano quasi completamente, lasciando solo 0,046 di g; una piccola variazione nel termine più grande comporta quindi una grande variazione nel piccolo resto. Questa quasi annullamento è l’aspetto più importante da comprendere riguardo alla parte dell’esperimento relativa agli angoli ridotti.

L'angolo al di sotto del quale non accade nulla. Il carrello si mette in moto solo se il termine di avanzamento supera il termine di attrito, ovvero se tan θ > μ. Con μ = 0,22, tale soglia è θ = arctan 0,22 = 12.4°, e la soglia di partenza effettiva è ancora leggermente superiore, poiché l'attrito statico di solito supera quello cinetico. La posizione più bassa del morsetto deve quindi garantire una pendenza di almeno circa 13°, altrimenti il carrello rimarrà semplicemente fermo; inoltre, il primo tentativo dell'esperimento risulterà probabilmente il meno affidabile dei tre, indipendentemente dall'angolo.

La rampa più ripida è quella più efficiente, non quella meno ripida. Questa tabella riporta il risultato che probabilmente sorprenderà di più, ed è l’opposto di quanto suggerisse l’intuizione — e la versione precedente di questa pagina. L’energia liberata cresce con sin θ, passando da 0,63 J a 1,23 J, mentre il lavoro contro l’attrito è pari a μmgΔx cos θ e quindi cadi con l'angolo, da 0,52 J a 0,47 J, poiché il carrello esercita una pressione minore su una tavola più ripida. Un numeratore che aumenta a fronte di un denominatore che diminuisce dà una frazione espressa come quantità di moto che cresce rapidamente: 18 % a 15°, 62 % a 30°. Nel caso generale l’efficienza è pari a 1 − μ/tan θ, il che costituisce un risultato compatto e utile: tende a zero all’angolo di soglia e si avvicina a 1 man mano che la rampa si avvicina alla verticale.

La lettura del nastro e il motivo per cui i punti devono essere raggruppati. Un timer a scintilla funzionante alla consueta frequenza di 60 Hz stampa un punto ogni Δt = 1/60 = 0,0167 s. Su un nastro uniformemente accelerato la spaziatura cresce di aΔt² da un intervallo al successivo, che a 0,45 m/s² è 0,45 × (0,0167)² = 1,25 × 10⁻⁴ m — 0,13 mm, un quarto di quanto può distinguere un righello millimetrico con una precisione di ±0,5 mm. Se misurato punto per punto, il nastro a 15° apparirà come una dispersione casuale senza alcuna tendenza. La soluzione consiste nel raggruppare i punti: considerando un punto ogni sei, si ottiene Δt = 0,100 s e l’incremento per intervallo diventa aΔt² = 4,5 mm, facilmente misurabile e pari a circa ±11 % alla precisione del righello. A 30°, lo stesso raggruppamento fornisce 30 mm per intervallo di crescita e una misurazione di gran lunga migliore. Il raggruppamento non comporta alcun costo aggiuntivo, poiché il calcolo della media su sei intervalli è esattamente ciò che il metodo della velocità per intervallo presuppone comunque.

L'intera discesa è breve: 2,10 s a 15° corrispondono a circa 126 punti a 60 Hz, e 0,81 s a 30° a soli 49 circa. Le prove con pendenza maggiore forniscono quindi un nastro più corto con meno punti ma spazieranno di più, in modo più netto, e quelle con pendenza minore l'inverso. Se la frequenza delle scintille dell'apparecchio non è 60 Hz, ogni numero di questo paragrafo varia in proporzione a Δt² e deve essere ricalcolato; la frequenza deve essere letta sullo strumento prima che i nastri vengano analizzati.

Cos'è realmente l'attrito. Un coefficiente di 0,22 è un numero di attrito radente — legno su legno, o gomma su una tavola asciutta. Un carrello su ruote rotola con un coefficiente di resistenza al rotolamento compreso tra circa 0,01 e 0,05, da cinque a venti volte inferiore, quindi 0,22 non può essere dovuto solo alle ruote. Il resto è costituito dal nastro: il carrello trascina una striscia di carta attraverso lo schedatore a scintilla per tutta la discesa, e la guida e il disco di carbonio dello schedatore premono continuamente su quella striscia. Questa forza frenante non dipende dal peso del carrello né dall'angolo, motivo per cui considerarla come un coefficiente d'attrito è una comoda finzione piuttosto che una costante fisica — una finzione che reggerà bene a un angolo e si discosterà in un altro. Una classe che fa correre il carrello una volta con il nastro attaccato e una senza, cronometrando entrambi, misura direttamente l'impatto del nastro, e questo confronto è l'estensione più preziosa che questo apparato supporta.

Riepilogo del compito per intervallo di voti

Classe 9-10

Concentrazione: osservando che il carrello accelera e descrivendolo con il linguaggio del movimento. Gli studenti assemblano la rampa, fanno correre il carrello nella posizione più bassa del morsetto e ispezionano il nastro, segnando dove i punti iniziano a distanziarsi. Misurano la spaziatura dei punti raggruppati con il righello, convertono ciascun gruppo in una velocità media e tracciano un grafico della velocità in funzione del tempo per vedere una linea retta. Le conclusioni attese sono qualitative ma precise: il carrello acquista velocità costantemente anziché tutta in una volta, il grafico della velocità in funzione del tempo è una linea e non una curva, e alzare la rampa rende la linea più ripida. Il vocabolario da usare correttamente alla fine: velocità, accelerazione, angolo di inclinazione, attrito.

Undicesimo anno

Concentrazione: Il trattamento quantitativo. Gli studenti ottengono l'accelerazione dalla pendenza del grafico velocità-tempo e la confrontano con la differenza costante tra spazi successivi, quindi usano Δx = ½at² per prevedere il tempo di discesa e lo confrontano con il cronometro. Completano il bilancio energetico per ciascun angolo — mgΔx sin θ liberata, ½mv² fornita, la differenza attribuita all'attrito — e convertono il lavoro dell'attrito in una forza e poi in un coefficiente. Il risultato atteso è che lo stesso coefficiente emerga, entro la precisione di misura, da tutti e tre gli angoli, e la discussione prevista riguarda ciò che significa quando ciò non accade.

12ª classe / Livello universitario

Concentrazione: derivazione e la soglia di attrito. Gli studenti deducono a = g (sin θ − μ cos θ) dalla seconda legge di Newton applicata lungo e perpendicularmente al piano inclinato, mostrano che la massa si elide e prevedono l'angolo di soglia tan θ = μ al di sotto del quale il carrello non si muove. L'argomento conclusivo è quello che separa i due contributi alla forza frenante: la resistenza al rotolamento è proporzionale alla forza normale e la resistenza del nastro non lo è, quindi misurando l'accelerazione con e senza il nastro attaccato li separa, e la relazione di efficienza 1 − μ/tan θ può quindi essere verificata rispetto all'angolo anziché data per scontata.

Materiale essenziale di laboratorio

Strumenti

• Supporto universale (asta da laboratorio) con morsetto
• Tavole di legno × 2
• Carrello (250 g)
• Cronometro scrivente
• Dispenser di nastro adesivo con nastro a timer a scintilla
• righello da 50 cm

Prodotti

Nessuno — questo laboratorio non utilizza alcun reagente chimico.