084 – Konstantní zrychlení

Vozík uvolněný na vrcholku rampy při klesání zrychluje, a to tempem, které zůstává stejné od vrcholu prkna až po dspodek. Jde o rovnoměrně zrychlený pohyb – v každé sekundě je získáno stejné množství rychlosti – a je to nejjednodušší případ, kdy se rychlost mění. Inženýři se s ním setkávají všude tam, kde náklad jede dolů po svahu: u gravitačních válečkových dopravníků ve skladu, na sáňkařské dráze nebo u rampy používané k vykládce kamionu. Je to také referenční případ, se kterým se porovnává každý složitější pohyb.

Příčinou je, že na desku působí jen část váhy vozíku. Gravitace táhne přímo dolů silou mg; na svahu o úhlu θ je složka podél povrchu mg sin θ a složka, která tlačí vozík do desky, je mg cos θ. První pohání vozík, druhý určuje, jak velkou silou mu tření klade odpor, takže zrychlení směrem dolů po svahu je a = g (sin θ − μ cos θ). Hmotnost se z tohoto výrazu zcela vykrátí: těžký vozík a lehký vozík zrychlují na téže rampě naprosto stejně, ačkoliv těžký má v sobě, když tam dorazí, více energie.

V této laboratoři sestavíte nakloněnou rovinu ze dvou prken a svorky na univerzálním stojanu, spustíte po ní 250g vozík, zatímco jiskrový časovač tiskne tečky na papírovou pásku v pevných intervalech, a sjezd zopakujete ve třech narůstajících úhlech. Páska je záznamem pohybu: tečky, které se od sebe vzdalují, znamenají, že vozík zrychluje, a rychlost, s jakou se rozestupy zvětšují, je zrychlení. Z tohoto zrychlení a ujeté dráhy pak vyúčtujete energii – kolik potenciální energie tíhové se uvolnilo, kolik z ní dorazilo na patu rampy jako kinetická energie a kolik si vzalo tření během cesty dolů.

Vzdělávací cíle

Sestavení a charakterizace nakloněné roviny

• Sestavte stabilní nakloněnou rovinu z univerzální podpěry, svorky a dvou desek a postupně ji zvedejte v kontrolovaných krocích tak, aby se mezi jednotlivými pokusy měnil pouze úhel.
• Zaznamenejte úhel každého pokusu a identifikujte jej jako jedinou nezávislou proměnnou experimentu.

Záznam pohybu pomocí časovače jiskřivec

• Protáhněte pásku záznamovým chronometrem, připevněte ji k vozíku a spusťte časovač tak, aby sestup a záznam začaly současně.
• Přečtěte dokončenou pásku: identifikujte začátek pohybu, změřte vzdálenost teček a vysvětlete, proč se tato vzdálenost zvětšuje.

Měření rychlosti a zrychlení z dat

• Vypočítejte průměrnou rychlost pro každý interval jako $v = \Delta x / \Delta t$ a považujte ji za okamžitou rychlost uprostřed daného intervalu.
• Získejte zrychlení dvěma nezpůsobilými způsoby: ze sklonu grafu závislosti rychlosti na čase a z konstantní diference mezi po sobě jdoucími vzdálenostmi bodů.

Použití rovnic rovnoměrně zrychleného pohybu

• Použijte vzorce Δx = ½at², v = at a v² = 2aΔx k předpovědi doby sestupu nebo konečné rychlosti před zahájením pokusu a poté porovnejte předpověď se záznamem na pásce.
• Vysvětlete, proč je graf závislosti polohy na čase tohoto pohybu parabolou, zatímco graf závislosti rychlosti na čase je přímkou.

Rozklad sil na nakloněné rovině

• Rozložte tíhovou sílu na složku mg sin θ podél desky a mg cos θ kolmo na ni a sestavte z nich rovnici pohybu.
• Určete koeficient tření z naměřeného zrychlení a předpovězte úhel, pod kterým se vozík vůbec nerozjede.

Zúčtování energie

• Spočítajte uvolněnou potenciální energii (E_p = mgΔx sin θ), kinetická energie na úpatí (E_k = ½mv²) a rozdíl mezi nimi.
• Označte tento rozdíl jako práci konanou proti síle tření, W_f = ΔE_m, a převeďte ji na sílu pomocí F_f = W_f / Δx.

Posuzování kvality měření

• Porovnejte velikost měřeného účinku s rozlišením měřicího přístroje a seskupte tečky na pásce, když je jeden interval příliš krátký na rozlišení.
• Rozlišujte náhodný rozptyl, který opakovaná měření zmenší, od systematické odchylky, kterou nezmenší.

Protokol

1. Připevněte svorku k univerzálnímu držáku (v nejnižší poloze).
2. Položte první prkno na konec svěrky.
3. Položte druhou desku na konec první tak, aby spočívala šikmo.
4. Hodnota úhlu je uvedena v tabulce výsledků.
5. Umístěte 250g vozík na vrchol nakloněné roviny.
6. Umístěte nahrávací stopky poblíž spoje dvou desek.
7. Umístěte držák na lepicí pásku na první desku.
8. Připojte hák na špičce dávkovače pásky kroužku na vozíku.
9. Spusťte časovač. Tím se spustí sestup výtahu.
10. Jakmile vozík dojede na konec desky, zastavte stopky.
11. Měření záznamového chronometru jsou uvedena v tabulce výsledků.
12. Resetujte stopky pravým tlačítkem.
13. Připevněte svorku k univerzálnímu stojanu o něco výše. Deska se nakloní s výraznějším úhlem.
14. Předmětný 250g vozík přemístěte na vrchol nakloněné roviny.
15. Aktivujte chronometr. Tím se spustí sestup vozíku.
16. Jakmile vozík dojede na konec desky, zastavte stopky.
17. Vynulujte chronometr pravým tlačítkem.
18. Upevněte svorku k univerzální podpoře v nejvyšší poloze. Deska se nakloní s ještě výraznějším úhlem.
19. Zopakujte kroky 14 až 16 s tímto novým úhlem.
20. Z dat shromážděných v tabulce výsledků vypočítejte zrychlení vozíku, rovněž proveďte výpočty potenciální energie, kinetické energie a mechanické energie vozíku.
21. Určete velikost třecí síly působící na vozík během jeho sjezdu.

Předvídané výsledky

Páska je primárním výsledkem. Její tečky jsou vytištěny v stejných časových intervalech, takže stejné rozestupy by znamenaly konstantní rychlost a rostoucí rozestupy znamenají zrychlení; při rovnoměrně zrychleném sestupu zvýšit ve vzestupu rozestupů mezi jednotlivými intervaly je sám o sobě konstantní a roven aΔt². Student, který měří rozestupy teček, převádí každý na rychlost a vynáší rychlost v závislosti na čase, získá přímku, jejíž směrnicí je zrychlení. Přímka neprochází počátkem, protože časovač se spustí o okamžik dříve, než je vozík uvolněn, a první tečky se vytisknou, když je vozík ještě v klidu.

Tato stránka uvádí spíše řešený příklad než naměřenou datovou sadu: tři polohy svorek použité v simulaci, úhly, které vytvářejí, a údaje chronometru, které poskytují, nejsou zveřejněny, takže níže uvedené hodnoty jsou vypočteny z jediného příkladu, který laboratoř uvádí — zrychlení přibližně 0,45 m/s² na 15° nakloněné rovině, přičemž se uvolnilo 0,63 J a přibližně 0,52 J se ztratilo třením během 1 m sestupu. Tato tři čísla jsou vzájemně konzistentní a určují součinitel tření, z něhož lze předpovědět každý další úhel. Učitelé by měli tabulky považovat za předpovědi, které je třeba ověřit vlastní páskou, nikoli za naměřené hodnoty z konstrukce.

Odstranění tření z uvedeného příkladu. S Δx = 1,00 m a a = 0,45 m/s² vozík dorazí rychlostí v = √(2aΔx) = √(2 × 0,45 × 1,00) = 0,95 m/s a nese E_k = ½ × 0,250 × 0,95² = 0,11 J. Uvolněná potenciální energie je E_p = mgΔx sin θ = 0,250 × 9,8 × 1,00 × sin 15° = 0,63 J, takže tření absorbovalo 0,63 − 0,11 = 0,52 J — přesně hodnotu, kterou uvádí laboratoř. Vydělením vzdáleností dostaneme F_f = 0,52 J / 1,00 m = 0,52 N, a vydělením této hodnoty normálovou silou mg cos θ = 0,250 × 9,8 × cos 15° = 2,37 N dostaneme μ_k = 0.22. Stejná hodnota vyplývá přímo z a = g (sin θ − μ cos θ): 0,45 / 9,8 = 0,0459 a (0,2588 − 0,0459) / 0,9659 = 0,220.

Časy vyplývají z Δx = ½at², po úpravě na t = √(2Δx / a) — při 20° je t = √(2 × 1,00 / 1,33) = 1,23 s — a rychlosti z v = at. Všimněte si, jak prudce zrychlení reaguje: zvednutí rampy o pět stupňů, z 15° na 20°, ho téměř ztrojnásobí. To není proto, že by sin θ narostl téměř třikrát (roste o třetinu), ale proto, že zrychlení je rozdíl ze dvou srovnatelných členů. Při 15° se hnací člen 0,259 a třecí člen 0,220 × 0,966 = 0,213 téměř navzájem vyruší, takže zbývá pouze 0,046 z g; malá změna většího členu je proto velkou změnou malého zbytku. Toto téměř úplné vyrušení je tou vůbec nejdůležitější věcí, kterou je třeba pochopit ohledně nízkoúhlového konce tohoto experimentu.

Úhel, pod kterým se nic neděje. Vozík se rozjede pouze tehdy, když hnací člen převýší člen tření, tedy pokud tan θ > μ. S μ = 0,22 je tato prahová hodnota θ = arctan 0,22 = 12.4°, a skutečný počáteční práh je ještě o něco vyšší, protože statické tření obvykle převyšuje kinetické. Nejnižší poloha svorky musí proto vytvářet sklon alespoň přibližně 13°, jinak vozík jednoduše zůstane stát, and první pokus experimentu bude pravděpodobně nejméně spolehlivý ze všech tří bez ohledu na to, jaký je úhel.

Strmější rampa je efektivnější, nikoli méně. Tato tabulka obsahuje výsledek, který nejpravděpodobněji překvapí, a je opakem toho, co naznačovala intuice – a předchozí verze této stránky. Uvolněná energie roste se sin θ, z 0,63 J na 1,23 J, zatímco práce proti tření je μmgΔx cos θ a proto pádů v závislosti na úhlu, z 0,52 J na 0,47 J, protože vozík na strmější desce vyvíjí menší tlak. Čitatel, který roste, zatímco jmenovatel klesá, dává podíl přeměněný na pohyb, který prudce stoupá: 18 % při 15°, 62 % při 30°. V obecném případě je účinnost 1 − μ/tan θ, což je užitečný stručný výsledek: při prahovém úhlu se blíží nule a s tím, jak se rampa přibližuje k vertikále, se blíží 1.

Čtení pásky a proč musí být tečky seskupeny. Jiskrový časovač pracující na obvyklém kmitočtu 60 Hz vytiskne tečku každých Δt = 1/60 = 0,0167 s. Na rovnoměrně zrychleném pásku se rozteč zvětšuje o aΔt² z jednoho intervalu na další, což při 0,45 m/s² činí 0,45 × (0,0167)² = 1,25 × 10⁻⁴ m — 0,13 mm, což je čtvrtina toho, co dokáže rozlišit milimetrové pravítko s přesností ±0,5 mm. Při měření bod po bodu bude páska s úhlem 15° vypadat jako náhodný rozptyl bez jakéhokoli trendu. Řešením je seskupit body: pokud vezmeme každý šestý bod, dostaneme Δt = 0,100 s a nárůst na interval se stane aΔt² = 4,5 mm, což je pohodlně měřitelné a odpovídá přibližně ±11 % při přesnosti pravítka. Při úhlu 30° poskytne stejné seskupení 30 mm na interval nárůstu a mnohem lepší měření. Seskupování nic nestojí, protože průměrování přes šest intervalů je přesně to, z čeho stejně vychází metoda intervalové rychlosti.

Celý sestup je krátký: 2,10 s při 15° představuje asi 126 teček při 60 Hz a 0,81 s při 30° je pouze asi 49. Strmé pokusy proto poskytují kratší pásku s menším počtem bodů, ale s většími, čistšími rozestupy, a u mělkých pokusů je tomu naopak. Pokud frekvence jiskření zařízení není 60 Hz, každé číslo v tomto odstavci se mění úměrně s Δt² a musí být přepočítáno; frekvenci je třeba odečíst z přístroje před analýzou pásek.

Co tření vlastně je. Koeficient 0,22 je kluzné číslo – dřevo na dřevo nebo guma na suchém prkně. Vozík na kolečkách se pohybuje s koeficientem valivého odporu přibližně mezi 0,01 a 0,05, tedy pětkrát až dvacetkrát menším, takže 0,22 nemohou představovat samotná kolečka. Zbytek připadá na pásku: vozík táhne papírový proužek jiskrovým časoměrem po celou dobu jízdy dolů a vodítko časoměru a kopšíček na tento proužek neustále tlačí. Tato brzdná síla nezávisí na hmotnosti vozíku ani na úhlu, a proto je její považování za koeficient tření spíše užitečnou fikcí než fyzikální konstantou – fikcí, která obstojí při jednom úhlu, ale při jiném se odchýlí. Třída, která spustí vozík jednou s připojenou páskou a jednou bez ní a u obou změří čas, přímo změřil podíl pásky, přičemž toto srovnání je nejcennějším rozšířením, které tato aparatura umožňuje.

Shrnutí úkolů podle věkové kategorie

9. až 10. ročník

Zaměření pozorování, že vozík zrychluje, a popis tohoto jevu pomocí slovní zásoby pohybu. Studenti sestaví rampu, pustí vozík z nejnižší polohy svorky a zkontrolují pásku, přičemž označí místa, kde se tečky začínají rozevírat. Změří vzdálenosti seskupených teček pravítkem, přepočítají každou skupinu na průměrnou rychlost a vynesením rychlosti v závislosti na čase získají přímku. Očekávané závěry jsou kvalitativní, ale přesné: vozík nabírá rychlost rovnoměrně, a ne naráz, graf rychlosti v závislosti na čase je přímka, nikoliv křivka, a zvýšení rampy činí přímku strmější. Slovní zásoba, kterou mají studenti do konce správně používat: rychlost, zrychlení, úhel nakloněné roviny, tření.

11. ročník

Zaměření Kvantitativní zpracování. Studenti získají zrychlení ze směrnice grafu závislosti rychlosti na čase a ověří ho porovnáním s konstantním rozdílem mezi následujícími rozestupy, poté použijí vztah Δx = ½at² k předpovědi doby klesání a porovnají ji s měřením chronometrem. Pro každý úhel sestaví energetickou bilanci – uvolněnou energii mgΔx sin θ, dodanou energii ½mv² a rozdíl připsaný tření – a přepočítají práci tření na sílu a následně na součinitel tření. Cílovým výsledkem je, že pro všechny tři úhly vychází v rámci přesnosti měření týž součinitel tření, a cílem diskuse je objasnit, co to znamená, když tomu tak není.

12. ročník / Úroveň college

Zaměření odvození a prahová hodnota tření. Studentští odvozují a = g (sin θ − μ cos θ) z druhého Newtonova zákonu aplikovaného ve směru a kolmo k nakloněné rovině, ukážou, že hmotnost se zkrátí, a předpovídají prahový úhel tan θ = μ, pod kterým se vozík nerozjede. Závěrečná úvaha je ta, která odděluje dva příspěvky k brzdné síle: valivý odpor je úměrný normálové síle, kdežto odpor pásky nikoliv, takže měření zrychlení s připevněnou páskou a bez ní je odděluje a vztah pro účinnost 1 − μ/tan θ lze pak ověřit v závislosti na úhlu namísto jeho předpokládání.

Laboratorní potřeby

Nástroje

• Univerzální stojan (laboratorní stojan) se svorkou
• Dřevěná prkna × 2
• Košík (250 g)
• Jiskrový časoměřič
• Dávkovač pásky s páskou pro jiskrový časovač
• 50 cm pravítko

Produkty

Žádné — tato laboratoř nepoužívá žádná chemická činidla.