084 – Aceleración constante

Un carrito soltado en la parte superior de una rampa acelera a medida que desciende, y lo hace a un ritmo que se mantiene constante desde la parte superior de la tabla hasta el fondo. Se trata de un movimiento uniformemente acelerado —la misma cantidad de velocidad ganada en cada segundo— y es el caso más sencillo en el que cambia la velocidad. Los ingenieros se lo encuentran dondequiera que una carga baja por una pendiente: transportadores de rodillos por gravedad en un almacén, una pista de luge, la rampa utilizada para descargar un camión. Es también el caso de referencia con el que se compara cualquier movimiento más complicado.

La causa es que solo una parte del peso del carrito actúa a lo largo de la tabla. La gravedad tira directamente hacia abajo con una fuerza mg; en un plano inclinado de ángulo θ, la componente a lo largo de la superficie es mg sin θ, y el componente que presiona el carrito contra la tabla es mg cos θ. El primero impulsa el carro, el segundo determina con qué intensidad la fricción se opone a este, por lo que la aceleración cuesta abajo es a = g (sin θ − μ cos θ). La masa se cancela por completo de esa expresión: un carro pesado y uno ligero aceleran de manera idéntica por la misma rampa, aunque el pesado transporta más energía cuando llega allí.

En este laboratorio construirá un plano inclinado con dos tablas y una pinza en un soporte universal, hará descender por él un carrito de 250 g mientras un cronógrafo de chispa imprime un punto en una cinta de papel a intervalos fijos, y repetirá el descenso en tres ángulos crecientes. La cinta es el registro del movimiento: los puntos que se separan más significan que el carrito está acelerando, y la tasa a la que aumenta el espaciamiento es la aceleración. A partir de esa aceleración y de la distancia recorrida, usted dará cuenta de la energía: cuánta energía potencial gravitatoria se liberó, cuánta de ella llegó al pie de la rampa como energía cinética y cuánta se llevó la fricción durante la bajada.

Objetivos Educativos

Construcción y caracterización de un plano inclinado

• Arme una rampa estable con un soporte universal, una pinza y dos tablas, y elévela en pasos controlados de modo que solo cambie el ángulo entre los ensayos.
• Anota el ángulo de cada ensayo e identifica dicha variable como la única variable independiente del experimento.

Grabación de movimiento con un cronómetro de chispa

• Pasa la cinta por el cronómetro de registro, fíjala al carro y pon en marcha el cronómetro para que el descenso y el registro comiencen al mismo tiempo.
• Lea una cinta completada: identifique el inicio del movimiento, mida la separación de los puntos y explique por qué aumenta la separación.

Medición de la velocidad y la aceleración a partir de los datos

• Calcula una velocidad media para cada intervalo como v = Δx / Δt, y trátala como la velocidad instantánea en el punto medio de ese intervalo.
• Calcula la aceleración de dos formas independientes: a partir de la pendiente de una gráfica de velocidad en función del tiempo y a partir de la diferencia constante entre las distancias sucesivas entre puntos.

Aplicación de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado

• Utiliza Δx = ½at², v = at y v² = 2aΔx para calcular el tiempo de descenso o la velocidad final antes de realizar el ensayo y, a continuación, compara el resultado con el registrado en la cinta.
• Explica por qué la gráfica de posición en función del tiempo de este movimiento es una parábola, mientras que la gráfica de velocidad en función del tiempo es una recta.

Resolución de fuerzas en una pendiente

• Descompón el peso en los componentes mg sin θ a lo largo de la tabla y mg cos θ perpendicular a ella, y elabora a partir de ellos la ecuación del movimiento.
• Calcula el coeficiente de fricción a partir de una aceleración medida y predice el ángulo por debajo del cual el carro no se pondrá en marcha en absoluto.

Cálculo del consumo energético

• Calcula la energía potencial liberada (E_p = mgΔx sin θ), la energía cinética en la base (E_k = ½mv²) y la diferencia entre ellos.
• Identifica esa diferencia como el trabajo realizado contra la fricción, W_f = ΔE_m, y convertirla en una fuerza mediante F_f = W_f / Δx.

Cómo evaluar la calidad de una medición

• Compara la magnitud del efecto que se está midiendo con la resolución del instrumento que lo mide, y agrupa los puntos en la cinta cuando un único intervalo resulte demasiado corto para distinguirlos.
• Distingue entre una dispersión aleatoria —que se reducirá con la repetición de los ensayos— y un desplazamiento sistemático —que no se reducirá con la repetición de los ensayos—.

Protocolo

1. Fija una abrazadera al soporte universal (en la posición más baja).
2. Coloca una primera tabla en el extremo de la abrazadera.
3. Coloca una segunda tabla en el extremo de la primera de manera que descanse de forma inclinada.
4. El valor del ángulo se indica en la tabla de resultados.
5. Coloque el carrito de 250g en la parte superior del plano inclinado.
6. Coloca el cronómetro de registro cerca de la unión de las dos placas.
7. Coloca el dispensador de cinta en la primera tabla.
8. Engancha el gancho en la punta del dispensador de cinta al aro del carrito.
9. Inicia el temporizador. Esto activará el descenso del carro.
10. Una vez que el carrito esté al final de la tabla, detenga el cronómetro.
11. Las mediciones del cronómetro de registro se encuentran en la tabla de resultados.
12. Reinicia el cronómetro con el botón derecho.
13. Ajusta la pinza al soporte universal en una posición un poco más alta. La tabla se inclinará con un ángulo más pronunciado.
14. Reposicione el carrito de 250g en la parte superior del plano inclinado.
15. Activa el cronómetro. Esto activará el descenso del carro.
16. Una vez que el carrito esté al final de la tabla, detenga el cronómetro.
17. Reinicia el cronómetro con el botón derecho.
18. Fija la pinza al soporte universal en la posición más alta. La placa se inclinará con un ángulo aún más pronunciado.
19. Repite los pasos 14 a 16 con este nuevo ángulo.
20. A partir de los datos recopilados en la tabla de resultados, calcule la aceleración del carrito, realice también los cálculos de la energía potencial, la energía cinética y la energía mecánica del carrito.
21. Determine la magnitud de la fuerza de fricción que actúa sobre el carro durante su descenso.

Resultados esperados

La cinta es el resultado principal. Sus puntos están impresos a intervalos de tiempo iguales, por lo que una separación constante indicaría una velocidad constante, mientras que una separación creciente indicaría una aceleración; en un descenso con aceleración uniforme, la aumento El intervalo entre un punto y el siguiente es, a su vez, constante e igual a aΔt². Un estudiante que mida las distancias entre los puntos, las convierta en velocidades y represente gráficamente la velocidad en función del tiempo, obtendrá una recta cuya pendiente es la aceleración. La recta no pasa por el origen, ya que el cronómetro se pone en marcha un instante antes de que se suelte el carro y los primeros puntos se imprimen mientras el carro aún está en reposo.

Esta página incluye un ejemplo resuelto en lugar de un conjunto de datos medidos: las tres posiciones de las abrazaderas utilizadas en la simulación, los ángulos que forman y las lecturas del cronómetro que proporcionan no se han publicado, por lo que las cifras que aparecen a continuación se han calculado a partir del único ejemplo que facilita el laboratorio: una aceleración de aproximadamente 0,45 m/s² en una pendiente de 15°, con 0,63 J liberados y unos 0,52 J perdidos por fricción en un descenso de 1 m. Esas tres cifras son coherentes entre sí y determinan el coeficiente de fricción, que a su vez permite predecir todos los demás ángulos. Los profesores deben considerar las tablas como predicciones que deben contrastarse con sus propias mediciones, y no como lecturas extraídas del montaje.

Cálculo de la fricción en el ejemplo indicado. Con Δx = 1,00 m y a = 0,45 m/s², el carro llega a una velocidad v = √(2aΔx) = √(2 × 0,45 × 1,00) = 0,95 m/s, con una energía E_k = ½ × 0,250 × 0,95² = 0,11 J. La energía potencial liberada es E_p = mgΔx sin θ = 0,250 × 9,8 × 1,00 × sin 15° = 0,63 J, por lo que la fricción absorbió 0,63 − 0,11 = 0,52 J —exactamente la cifra que indica el laboratorio—. Si lo dividimos por la distancia, obtenemos F_f = 0,52 J / 1,00 m = 0,52 N, y al dividir eso por la fuerza normal mg cos θ = 0,250 × 9,8 × cos 15° = 2,37 N se obtiene μ_k = 0.22. Este mismo valor se deduce directamente de a = g (sin θ − μ cos θ): 0,45 / 9,8 = 0,0459, y (0,2588 − 0,0459) / 0,9659 = 0,220.

Los tiempos provienen de Δx = ½at², despejado como t = √(2Δx / a) — a 20°, t = √(2 × 1.00 / 1.33) = 1.23 s — y las velocidades de v = at. Observe cuán drásticamente responde la aceleración: elevar la rampa cinco grados, de 15° a 20°, casi la triplica. Eso no se debe a que sin θ casi se triplique (aumenta en un tercio), sino a que la aceleración es la diferencia de dos términos comparables. A 15° el término impulsor de 0,259 y el término de fricción de 0,220 × 0,966 = 0,213 se anulan casi por completo, dejando solo 0,046 de g; por lo tanto, un pequeño cambio en el término mayor representa un gran cambio en el pequeño remanente. Esta casi anulación es lo más importante que hay que entender sobre el extremo de ángulo bajo de este experimento.

El ángulo por debajo del cual no pasa nada. El carro solo arranca si el término de conducción supera al término de fricción, es decir, si tan θ > μ. Con μ = 0,22, ese umbral es θ = arctan 0,22 = 12.4°, y el umbral de inicio real es todavía un poco más alto porque la fricción estática suele superar a la cinética. Por lo tanto, la posición de pinza más baja debe producir una pendiente de al menos unos 13° o el carrito simplemente se quedará allí, y es probable que el primer ensayo del experimento sea el menos fiable de los tres sin importar cuál sea el ángulo.

Cuanto más empinada es la rampa, más eficiente es, no menos. Esta tabla contiene el resultado más probable que sorprenda, y es lo opuesto a lo que la intuición —y la versión anterior de esta página— sugería. La energía liberada crece con $\sin\theta$, de $0{,}63\text{ J}$ a $1{,}23\text{ J}$, mientras que el trabajo en contra de la fricción es $\mu mg\Delta x \cos\theta$ y por lo tanto caídas en función del ángulo, de 0,52 J a 0,47 J, ya que el carrito ejerce menos presión sobre una tabla más inclinada. Un numerador que aumenta frente a un denominador que disminuye da lugar a una fracción convertida en movimiento que crece rápidamente: 18 % a 15°, 62 % a 30°. En el caso general, la eficiencia es 1 − μ/tan θ, lo cual es un resultado compacto y útil: tiende a cero en el ángulo umbral y se aproxima a 1 a medida que la rampa se acerca a la vertical.

Leyendo la cinta y por qué los puntos deben agruparse. Un temporizador de chispa que funciona a los habituales 60 Hz imprime un punto cada Δt = 1/60 = 0.0167 s. En una cinta uniformemente acelerada, el espaciado aumenta en aΔt² de un intervalo al siguiente, lo que a 0.45 m/s² es 0.45 × (0.0167)² = 1.25 × 10⁻⁴ m — 0,13 mm, una cuarta parte de lo que puede resolver una regla milimétrica con una precisión de ±0,5 mm. Si se mide punto por punto, la cinta de 15° parecerá una dispersión aleatoria sin tendencia alguna. La solución consiste en agrupar los puntos: si se toma uno de cada seis puntos, se obtiene Δt = 0,100 s, y el incremento por intervalo pasa a ser aΔt² = 4,5 mm, lo cual es fácilmente medible y equivale a unos ±11 % con la precisión de la regla. A 30°, la misma agrupación da 30 mm por intervalo de crecimiento y una medición mucho mejor. Agrupar no cuesta nada, ya que calcular la media sobre seis intervalos es exactamente lo que supone, de todos modos, el método de velocidad por intervalos.

Todo el descenso es corto: 2,10 s a 15° equivalen a unos 126 puntos a 60 Hz, y 0,81 s a 30° son solo unos 49. Las pruebas empinadas dan, por tanto, una cinta más corta con menos puntos pero con separaciones mayores y más limpias, y las pruebas planas lo contrario. Si la frecuencia de chispa del montaje no es de 60 Hz, cada número de este párrafo escala como Δt² y debe ser recalculado; la frecuencia debe leerse en el instrumento antes de analizar las cintas.

Lo que la fricción es en realidad. Un coeficiente de 0,22 es un número de rozamiento —madera sobre madera, o caucho sobre una tabla seca—. Un carro con ruedas rueda con un coeficiente de resistencia a la rodadura de entre 0,01 y 0,05 aproximadamente, de cinco a veinte veces menor, por lo que el 0,22 no pueden ser solo las ruedas. El resto se debe a la cinta: el carro arrastra una tira de papel a través del minutero de chispa durante todo el descenso, y la guía y el disco de carbón del minutero presionan esa tira continuamente. Esa fuerza de frenado no depende del peso del carro ni del ángulo, razón por la cual tratarla como un coeficiente de fricción es una ficción conveniente más que una constante física; una ficción que funcionará bien en un ángulo y variará en otro. Una clase que haga funcionar el carro una vez con la cinta puesta y otra sin ella, cronometrando ambas, mide directamente la contribución de la cinta, y esa comparación es la ampliación más valiosa que admite este aparato.

Resumen de la asignación por rango de calificación

Grados 9–10

Enfoque: observando que el carrito acelera y describiéndolo con el vocabulario del movimiento. Los estudiantes arman la rampa, hacen correr el carrito en la posición de sujeción más baja e inspeccionan la cinta, marcando dónde los puntos comienzan a separarse. Miden la separación de los grupos de puntos con la regla, convierten cada grupo en una velocidad promedio y grafican la velocidad en función del tiempo para ver una línea recta. Las conclusiones esperadas son cualitativas pero precisas: el carrito gana velocidad de manera constante en lugar de hacerlo todo de golpe, el gráfico de velocidad frente al tiempo es una línea y no una curva, y elevar la rampa hace que la línea sea más empinada. Vocabulario que los estudiantes deben usar correctamente al final: velocidad, aceleración, ángulo de inclinación, fricción.

Undécimo grado

Enfoque: el tratamiento cuantitativo. Los estudiantes obtienen la aceleración a partir de la pendiente del gráfico de velocidad-tiempo y la comprueban con la diferencia constante entre espaciamientos sucesivos, luego usan Δx = ½at² para predecir el tiempo de descenso y lo comparan con el cronómetro. Completan el balance energético para cada ángulo — mgΔx sin θ liberado, ½mv² entregado, la diferencia atribuida a la fricción — y convierten el trabajo de fricción en una fuerza y luego en un coeficiente. El resultado objetivo es que surge el mismo coeficiente, dentro de la precisión de medición, a partir de los tres ángulos, y la discusión objetivo es lo que significa cuando no lo hace.

12.º curso / Nivel universitario

Enfoque: derivación y el umbral de fricción. Los estudiantes deducen a = g (sin θ − μ cos θ) a partir de la segunda ley de Newton aplicada a lo largo y perpendicularmente al plano inclinado, muestran que la masa se cancela y predicen el ángulo umbral tan θ = μ por debajo del cual el carrito no comenzará a moverse. El argumento final es el que separa las dos contribuciones a la fuerza de retardo: la resistencia a la rodadura escala con la fuerza normal y el arrastre de la cinta no lo hace, por lo que medir la aceleración con y sin la cinta adherida las separa, y la relación de eficiencia 1 − μ/tan θ se puede comprobar en función del ángulo en lugar de asumirla.

Esenciales de laboratorio

Instrumentos

• Soporte universal con pinza
• Tableros de madera × 2
• Carro (250 g)
• Cronógrafo registrador (cronómetro de chispas)
• Dispensador de cinta adhesiva con cinta de temporizador de chispas
• regla de 50 cm

Productos

Ninguno — este laboratorio no utiliza reactivos químicos.