087 – Ventaja mecánica en el diseño de escenarios teatrales

Todo teatro con torre de tramoya funciona con contrapesos. Una pieza de escenografía, una barra de iluminación o un artista se mueven no por un motor, sino por una masa en el otro extremo de un cable, y el oficio del tramoyista consiste en elegir esa masa para que el movimiento tome el tiempo que el director pidió, llegue a donde debe y nunca se descontrole. La misma aritmética rige un funicular, un ascensor, una ventana de guillotina y una grúa; dondequiera que una cosa pesada se equilibra con otra cosa pesada a través de una cuerda y unas poleas.

Aquí se encuentran dos principios de la física. El primero es el polipasto: con cinco ramales que sostienen el bloque móvil, la fuerza se multiplica por cinco y la distancia se divide por cinco, de modo que el contrapeso se desplaza una quinta parte de la distancia de la carga y tira con una fuerza cinco veces mayor. El segundo es la segunda ley de Newton aplicada a un sistema que no está en equilibrio. Un contrapeso que equilibrara exactamente la escena la mantendría inmóvil; para hacerla mover en un tiempo determinado, el contrapeso debe ser deliberadamente más pesado que el equilibrio, y el excedente es lo que acelera ambas masas y vence la fricción de la rampa. Debido a que ambos extremos están unidos por la cuerda, sus aceleraciones están vinculadas en la misma proporción de 5 a 1 que sus desplazamientos.

En este laboratorio se te presenta una situación que debes resolver: una cuna que transporta a un actor, con un peso total de 150 kg, debe recorrer 12 m por una rampa con una inclinación de 18°, oponiéndose a una fuerza de fricción igual a 24 % de la fuerza normal, y es impulsada por un contrapeso que cuelga de un polipasto de cinco hilos. Realizarás la demostración, leerás el tiempo de recorrido y el desplazamiento del contrapeso a partir de ella, y luego trabajarás hacia atrás: la aceleración de cada cuerpo a partir de la cinemática, las seis fuerzas que actúan sobre la cuna a partir de un diagrama de cuerpo libre y, finalmente, la masa del contrapeso que requiere la escena. La última pregunta es la que realmente se hace un técnico en la práctica: ¿cuáles de estas magnitudes se pueden modificar y cómo afecta cada cambio al movimiento?.

Metas educativas

La lectura de una máquina como restricción entre dos cuerpos

• Deduzca a partir del número de hilos que el desplazamiento, la velocidad y la aceleración del contrapeso son cada uno una quinta parte de los de la canasta, y confirme esto a partir de los desplazamientos medidos.
• La cuerda conecta físicamente los dos cuerpos, imponiendo una restricción de que se mueven juntos con la misma magnitud de velocidad y, por lo tanto, con la misma aceleración compartida. En lugar de tratarse de dos problemas independientes con variables separadas, la tensión de la cuerda actúa como una fuerza interna que vincula sus movimientos, lo que permite analizar el conjunto como un solo sistema físico bajo una única aceleración desconocida.

Construcción y uso de diagramas de cuerpo libre

• Dibuja la cuna en el plano inclinado con su peso descompuesto en componentes a lo largo y perpendicular a la superficie, junto con la fuerza normal, la fricción y la tensión del cable.
• Dibuja el contrapeso por separado con su peso y las cinco tensiones de los cables, y escribe ΣF = ma para cada cuerpo.

Aplicando la cinemática de la aceleración uniforme

• Obtener una aceleración a partir de un tiempo y una distancia medidos usando Δx = v_iΔt + ½aΔt², y establece el supuesto de aceleración constante que esto requiere.
• Prediga la velocidad de llegada v = aΔt y juzgue si es aceptable para una escena que transporta a un artista.

Diseño según especificación

• Resuelva la segunda ley de Newton para la masa desconocida del contrapeso en lugar de para la aceleración, que es la dirección en la que se desarrolla un problema de diseño real.
• Verifique la respuesta sustituyéndola nuevamente en las ecuaciones acopladas y recuperando el tiempo de viaje especificado.

Teniendo en cuenta la fricción y las pérdidas

• Calcula la fuerza de fricción a partir del coeficiente y la fuerza normal, y el trabajo que disipa en todo el trayecto.
• Reconoce que el aparejo en sí no es ideal y calcula cuánto aumenta el contrapeso necesario una vez que se toma en cuenta su eficiencia.

Relacionar el modelo con la etapa

• Enumere los parámetros que un técnico realmente puede cambiar —masa del contrapeso, número de hilos, ángulo de la rampa, distancia de recorrido, fricción de la pista— y describa el efecto de cada uno en el tiempo de viaje.
• Analiza lo que el análisis omite: comenzar desde el reposo contra la fricción estática y detener la escena al final de su recorrido.

Protocolo

El propósito de este experimento es comprender el funcionamiento de un aparejo de cinco partes.

Este experimento se sitúa en el contexto de una escena teatral en la que queremos deslizar por una pendiente un elemento de escenografía que contendrá a un actor.

• El elemento se moverá hacia arriba por un plano inclinado a 18° y será arrastrado por un sistema que consta de un peso unido a un aparejo de cinco partes.
• Tenemos un peso dado para la góndola y el actor (150 kg), la inclinación del plano (18°) y la distancia a recorrer (12 m).
• Para ayudar a los técnicos, vamos a medir experimentalmente el tiempo de desplazamiento de la góndola. Luego analizaremos estos resultados para permitir que los técnicos varíen los parámetros para otros rendimientos.

Por lo tanto, procederemos a una demostración empírica.

Aquí están las variables conocidas :

• Masa total de la cuna del escenario y el actor: m = 150 kg
• Rampa inclinada: Ө = 18° y longitud l = 12m
• Factor de fricción en la rampa: 0.24
• Número de hilos del aparejo: 5

1. Proceda a la suspensión de una masa en el conjunto móvil del mecanismo de elevación.
2. Presione el botón para iniciar la demostración.
3. Observe la demostración.
4. Ahora conoces nuevas variables:

• Tiempo de viaje : ∆ t (en segundos)
• Desplazamiento del contrapeso: ∆ x (en metros)

Usando los datos y las ilustraciones proporcionados, responda las siguientes preguntas:

1. Determina la aceleración de la góndola en la rampa, así como la del peso suspendido del polipasto (en m/s²).
2. Usando el diagrama 1 de vectores de fuerza, calcule cada una de las 6 fuerzas que actúan en la escena (en N).
3. Utilizando el diagrama 2 y los datos calculados en los 2 pasos anteriores, calcule el peso necesario de la masa suspendida de la polea de 5 partes (en kg).
4. Enumere todos los parámetros (variables) que los técnicos deberán considerar para modificar el comportamiento de la góndola en el escenario.

Resultados esperados

La demostración proporciona dos lecturas —el tiempo de recorrido y el desplazamiento del contrapeso— y todo lo demás se calcula a partir de ellas junto con los datos dados en el protocolo: una estructura y un actor de m = 150 kg, un plano inclinado de θ = 18° y 12.0 m de longitud, un coeficiente de fricción de 0.24 y un sistema de aparejo de cinco cabos. Con un tiempo de recorrido de Δt = 8.0 s y un desplazamiento del contrapeso de 2.40 m, la solución completa se desarrolla de la siguiente manera. Todas las cifras a continuación se han verificado entre sí y son mutuamente consistentes con una precisión superior al medio por ciento.

Pregunta 1 — las dos aceleraciones. El carro parte del reposo, por lo que Δx = v_iΔt + ½aΔt² se reduce a a = 2Δx/Δt² = 2 × 12.0 / 8.0² = 24/64 = 0.375 m/s². El contrapeso recorre 2.40 m en los mismos 8.0 s, por lo que a = 2 × 2.40 / 64 = 0.075 m/s². La relación entre ambos es exactamente cinco, que es la firma de la máquina: el número de hilos fija la relación de desplazamiento, y diferenciar una relación constante dos veces la deja sin cambios, de modo que las velocidades y las aceleraciones están en la misma proporción. Una clase que mide 2,40 m frente a 12,0 m ha medido el número de hilos sin mirar nunca las poleas.

Pregunta 2: las fuerzas sobre la cuna. El peso es mg = 150 × 9.8 = 1470 N, y se descompone en una componente a lo largo de la rampa y otra perpendicular a ella:

Note que la fuerza normal es no el peso: en una pendiente de 18° es de 1398 N en lugar de 1470 N, un cinco por ciento menos, y la fricción se reduce en la misma proporción. Nótese también que el término de aceleración, 56 N, es la menor de las tres contribuciones a la tensión; en un movimiento tan suave predomina el sostenimiento de la carga, no su puesta en marcha.

Pregunta 3 — el contrapeso. El aparejo multiplica por cinco la tensión del cable en su unión con el bloque móvil, por lo que la fuerza de tracción hacia arriba sobre el contrapeso es 5T = 5 × 846 = 4230 N. El contrapeso desciende, por lo que su peso supera esa tensión en la cantidad necesaria para acelerarlo: Mg − 5T = Ma_cw, es decir, M × 9.8 − 4230 = M × 0.075. Agrupando términos, 4230 = M(9.8 − 0.075) = M × 9.725, por lo que M = 4230 / 9.725 = 435 kg. El contrapeso tiene casi tres veces la masa que está moviendo, que es el precio de un aparejo de cinco cabos usado de este modo: proporciona distancia y velocidad en la carga, no fuerza.

La verificación que une toda la solución. Al referir ambos cuerpos a la coordenada de la cuna se obtiene una sola ecuación de movimiento. El peso del contrapeso llega a la cuna dividido por cinco, y su inercia dividida por veinticinco —una vez por la reducción de fuerza y otra por la reducción de desplazamiento—, por lo que (m + M/25)a = Mg/5 − F_gracias − F_f. Sustituyendo, (150 + 17.4) × a = 4263/5 − 454 − 336 = 852.6 − 789.8 = 62.8 N, lo que da a = 62.8 / 167.4 = 0.375 m/s². El tiempo de recorrido especificado vuelve a coincidir, lo que confirma los 435 kg. Vale la pena detenerse en el factor de veinticinco: un contrapeso de 435 kg aporta solo 17.4 kg de inercia efectiva en la plataforma, razón por la cual el sistema responde con la agilidad con la que lo hace.

Los libros de energía cuadran exactamente. El contrapeso cae 2.40 m, liberando MgΔy = 435 × 9.8 × 2.40 = 10 231 J. De eso, el carro gana mgl sin θ = 150 × 9.8 × 12.0 × sin 18° = 5451 J de energía potencial; la fricción disipa F_fl = 336 × 12.0 = 4026 J; la cuna llega con ½mv² = ½ × 150 × 3.0² = 675 J de energía cinética, ya que v = aΔt = 0.375 × 8.0 = 3.0 m/s; y el contrapeso mismo llega con ½Mv² = ½ × 435 × 0.60² = 78 J. Los cuatro términos suman 10 230 J frente a 10 231 J liberados. Casi el cuarenta por ciento de la energía que cede el contrapeso se gasta en fricción, que es el número que un ingeniero de escenarios miraría primero.

Pregunta 4: qué pueden cambiar los técnicos. Cada símbolo en (m + M/25)a = Mg/5 − mg sin θ − μmg cos θ es un parámetro de la escena, y la respuesta publicada a esta pregunta —longitud de la rampa, tiempo de recorrido y ángulo— nombra solo a tres de ellos. La lista completa, con la dirección de cada efecto:

Resumen de tareas por rango de calificaciones

Grado 9-10

Enfoque la máquina y el vocabulario. Los estudiantes observan la demostración, registran el tiempo de recorrido y los dos desplazamientos, y establecen la relación de 5 a 1 entre ellos mediante la medición en lugar de que se les diga. Calculan la aceleración del carro a partir de a = 2Δx/Δt² y su velocidad de llegada a partir de v = aΔt, y descomponen el peso en sus dos componentes sobre un plano inclinado dibujado, utilizando un diagrama a escala si la trigonometría aún no está disponible. Las conclusiones esperadas son que el contrapeso se mueve menos pero tira con más fuerza, que el plano inclinado soporta la mayor parte del peso del carro para que el cable no tenga que hacerlo, y que la fricción siempre se opone al movimiento. Vocabulario: ventaja mecánica, tensión, fuerza normal, fricción, contrapeso.

Undécimo grado

Enfoque la solución cuantitativa completa. Los estudiantes dibujan ambos diagramas de cuerpo libre, escriben ΣF = ma para la plataforma y para el contrapeso, y desarrollan las cuatro preguntas: las dos aceleraciones, las seis fuerzas, el contrapeso de 435 kg y la lista de parámetros. Luego deben verificar el resultado a la inversa —sustituir los 435 kg de nuevo en las ecuaciones acopladas y recuperar 0,375 m/s²— porque un cálculo de diseño que no se puede comprobar a la inversa no se ha terminado. La auditoría energética es la extensión natural a este nivel: 10 231 J liberados frente a 5451 J almacenados, 4026 J perdidos por fricción y 753 J restantes como energía cinética.

12.º grado / Nivel universitario

Enfoque el tratamiento del sistema de referencia y los límites del modelo. Los estudiantes derivan la ecuación única del movimiento (m + M/n²)a = Mg/n − mg sin θ − μmg cos θ para un número general de hilos n, explican por qué la inercia se expresa en función de n² mientras que la fuerza se expresa en función de n, y la utilizan para responder directamente a preguntas de diseño: qué contrapeso necesitaría un sistema de poleas de cuatro hilos, o qué sucede con el tiempo de recorrido si el coeficiente de fricción se reduce a la mitad. Luego incorporan una eficiencia η a la máquina, demostrando que el contrapeso requerido varía proporcionalmente a 1/η y evaluando la penalización de 12 % implícita en la medición del laboratorio 086. La discusión final es aquella que la página no puede resolver solo a partir de la teoría: si la escena comenzará desde el reposo contra la fricción estática y cómo se detendrá.

Elementos esenciales para el laboratorio

Instrumentos

• Maqueta de escenario
• Tableros de madera × 2 (rampa, 18°, 12 m a escala real)
• Miniestipendio de carga de cinco hilos
• Masa de contrapeso, suspendida del bloque móvil
• Cuna de escenario con actor (150 kg a escala real)

Productos

Ninguno: este laboratorio no utiliza reactivos químicos.