087 – Mechanická výhoda v divadelním scénografickém designu

Každé divadlo s provazištěm funguje na protiváze. Kus dekorace, světelný tah nebo účinkující se nepohybují pomocí motoru, nýbrž hmotou na druhém konci lana, a řemeslem jevištního technika je zvolit tuto hmotu tak, aby pohyb trval dobu, kterou režisér požadoval, dorazil tam, kam má, a nikdy se neutrhl. Stejná aritmetika vládne pozemní lanové dráze, výtahu, kasulovému oknu a jeřábu – všude tam, kde je těžká věc vyvážena jinou těžkou věcí pomocí lana a několika kladkám.

Zde se setkávají dva fyzikální principy. Prvním je kladkostroj: s pěti prameny podpírajícími pohyblivou kladku se síla zvětšuje pětkrát a dráha se dělí pěti, takže protizávaží se pohybuje o pětinu dále než břemeno a táhne pětkrát větší silou. Druhým je Newtonův druhý pohybový zákon aplikovaný na soustavu, která není v rovnováze. Protizávaží, které by scénu přesně vyvážilo, by ji udrželo v klidu; aby se pohybovala vymezenou dobu, musí být protizávaží záměrně těžší než v rovnováze a přebytek je to, co udílí zrychlení oběma hmotnostem a překonává tření na nakloněné rovině. Protože oba konce jsou spojeny lanem, jejich zrychlení jsou svázána ve stejném poměru 5 : 1 jako jejich posunutí.

V této laboratoři dostanete za úkol vyřešit následující úlohu: kolébka nesoucí herce o celkové hmotnosti 150 kg musí urazit vzdálenost 12 m po rampě se sklonem 18° proti třecí síle rovnající se 24 % normálové síly, přičemž je tažena protizávažím zavěšeným na pětipramenném kladkostroji. Provedete demonstraci, odečtete z ní dobu jízdy a posun protizávaží a poté budete postupovat zpětně: určíte z kinematiky zrychlení každého tělesa, ze schématu volného tělesa šest sil působících na kolébku a nakonec hmotnost protizávaží, kterou daná scéna vyžaduje. Poslední otázka je ta, kterou si klade skutečný technik v praxi — které z těchto veličin lze změnit a jaký vliv má každá změna na pohyb.

Vzdělávací cíle

Čtení stroje jako vazby mezi dvěma tělesy

• Z počtu pramenů odvoďte, že posunutí, rychlost a zrychlení protizávaží jsou každé pětinovými hodnotami proti koši, a potvrďte to z naměřených posunutí.
• Vysvětlete, proč lano tvoří z obou těles jeden systém s jedním neznámým zrychlením namísto dvou nezávislých problémů.

Sestavování a používání diagramů těles (volných těles)

• Nakreslete kolébku na nakloněné rovině s její tíhou rozloženou na složky rovnoběžnou a kolmou k povrchu, spolu s normálovou silou, třením a napnutím lanka.
• Nakreslete protizávaží zvlášť s jeho hmotností a pěti napnutími pramenů a napište ΣF = ma pro každé těleso.

Použití kinematiky rovnoměrného zrychlení

• Získejte zrychlení z naměřeného času a vzdálenosti pomocí vztahu Δx = v_iΔt + ½aΔt², a uveďte předpoklad konstantního zrychlení, který to vyžaduje.
• Odhadněte rychlost příjezdu v = aΔt a posuďte, zda je tato rychlost přijatelná pro scénu, na které se pohybuje herec.

Návrh podle specifikace

• Vypočítejte podle Newtonova druhého zákona neznámou hmotnost protizávaží, nikoli zrychlení – právě tímto směrem se totiž ubírá skutečný konstrukční problém.
• Ověřte správnost odpovědi tak, že ji dosadíte zpět do soustavy rovnic a vypočítáte zadanou dobu průchodu.

Zohlednění tření a ztrát

• Vypočítejte třecí sílu na základě koeficientu tření a normálové síly a práci, kterou tato síla spotřebuje během celé dráhy pohybu.
• Uvědomte si, že samotné zařízení není ideální, a odhadněte, o kolik se zvýší požadovaná protizávaží, vezmeme-li v úvahu jeho účinnost.

Vztah mezi modelem a jevištěm

• Uveďte parametry, které může technik skutečně změnit – hmotnost protizávaží, počet pramenů, úhel stoupání, délku dráhy, tření dráhy – a popište vliv každého z nich na dobu jízdy.
• Proberte, co tato analýza opomíjí: rozběh z klidu proti statickému tření a zastavení scény na konci jejího průběhu.

Protokol

Účelem tohoto experimentu je pochopit funkci pětidílného návazce.

Tento experiment se odehrává v kontextu divadelní scény, ve které chceme po svahu sjet kulisu, která bude obsahovat herce.

• Prvek se bude pohybovat po skloněné rovině o úhlu 18° a bude tažen systémem tvořeným závažím připojeným k pětidílnému kladkostroji.
• Máme danou váhu gondoly a herce (150 kg), sklon roviny (18°) a vzdálenost, kterou je třeba urazit (12 m).
• Abychom pomohli technikům, experimentálně změříme dobu chodu gondoly. Následně analyzujeme tyto výsledky, abychom technikům umožnili měnit parametry pro jiné výkony.

Provedeme tedy empirickou demonstraci.

Zde jsou známé proměnné:

• Celková hmotnost jevištní kostry a herce: m = 150 kg
• Nakloněná rampa: Ө=18° a délka l = 12 m
• Koeficient tření na rampě: 0.24
• Počet lanek na kladkostroji: 5

1. Přejděte k zavěšení závaží na pohyblivou sestavu kladkostroje.
2. Stiskněte tlačítko pro spuštění ukázky.
3. Pozorujte demonstraci.
4. Nové proměnné jsou vám nyní známy:

• Doba cestování: ∆ t (v sekundách)
• Vyložení protizávaží : ∆ x (v metrech)

Pomocí poskytnutých dat a ilustrací zodpovězte následující otázky:

1. Určete zrychlení gondoly na rampě a také zrychlení závaží visícího z kladkostroje (v m/s²).
2. Podle obrázku 1 s vektorovým znázorněním sil vypočítejte každou ze 6 sil působících ve scéně (v N).
3. Pomocí diagramu 2 a dat vypočítaných v předchozích 2 krocích spočítejte potřebnou hmotnost zavěšenou na 5dílném kladkovém bloku (v kg).
4. Seznam všech parametrů (proměnných), které budou technici potřebovat zvážit, aby mohli měnit chování gondoly na pódiu.

Předvídané výsledky

Demonstrace poskytuje dvě naměřené hodnoty – dobu jízdy a posun protizávaží – a vše ostatní se vypočítá na jejich základě spolu s údaji uvedenými v protokolu: kolébka a činitel o hmotnosti m = 150 kg, rampa o sklonu θ = 18° a délce 12,0 m, koeficient tření 0,24 a pětipramenný kladkostroj. Při době jízdy Δt = 8,0 s a posunu protizávaží 2,40 m vypadá kompletní řešení následovně. Všechny níže uvedené hodnoty byly vzájemně porovnány a jsou v souladu s přesností lepší než půl procenta.

Otázka 1 – dvě zrychlení. Kolébka se rozbíhá z klidu, takže Δx = v_iΔt + ½aΔt² se zjednoduší na a = 2Δx/Δt² = 2 × 12,0 / 8,0² = 24/64 = 0,375 m/s². Protizávaží urazí vzdálenost 2,40 m za stejných 8,0 s, takže a = 2 × 2,40 / 64 = 0,075 m/s². Poměr těchto dvou veličin je přesně pět, což je charakteristický rys stroje: počet pramenů určuje poměr posuvu a dvojnásobná derivace konstantního poměru jej ponechává beze změny, takže rychlosti a zrychlení jsou ve stejném poměru. Třída, která změřila rozměry 2,40 m a 12,0 m, určila počet pramenů, aniž by se vůbec podívala na kladky.

Otázka 2 – síly působící na kolébku. Síla činí mg = 150 × 9,8 = 1470 N a rozkládá se na složku podél rampy a složku kolmou na ni:

Všimněte si, že normálová síla je ne hmotnost: na svahu se sklonem 18° činí 1398 N namísto 1470 N, což je o pět procent méně, a tření se zmenšuje ve stejném poměru. Všimněte si také, že člen vyjadřující zrychlení, 56 N, je nejmenší ze tří složek přispívajících k tahu – u takto mírného pohybu převažuje držení břemene, nikoliv jeho uvádění do pohybu.

Otázka 3 – protizávaží. Kladkostroj násobí napětí v kabelu pěti v místě, kde se setkává s pohyblivou kladkou, takže vzestupný tah na protizávaží je 5T = 5 × 846 = 4230 N. Protizávaží klesá, takže jeho tíha převyšuje tento tah o hodnotu potřebnou k jeho zrychlení: Mg − 5T = Ma_cw, což je M × 9,8 − 4230 = M × 0,075. Úpravou výrazu dostáváme 4230 = M(9,8 − 0,075) = M × 9,725, takže M = 4230 / 9,725 = 435 kg. Protizávaží má téměř trojnásobek hmotnosti břemene, které pohybuje, což je daň za pětiramenný kladkostroj použitý tímto způsobem: vykupuje vzdálenost a rychlost na břemeni, nikoli sílu.

Kontrola, která drží celé řešení pohromadě. Vztažení obou těles ke koordinátě kolébky dává jedinou rovnici pohybu. Hmotnost protizávaží dorazí do kolébky vydělená pěti a jeho setrvačnost vydělená dvaceti pěti – jednou kvůli redukci síly a jednou kvůli redukci posunutí – takže (m + M/25)a = Mg/5 − F_gx − F_f. Dosazením (150 + 17,4) × a = 4263/5 − 454 − 336 = 852,6 − 789,8 = 62,8 N, odkud vychází a = 62,8 / 167,4 = 0,375 m/s². Zadaná doba jízdy opět vychází, což potvrzuje 435 kg. Stojí za to se pozastavit u faktor dvacet pět: protizávaží o hmotnosti 435 kg přispívá na nosníku efektivní setrvačností pouhých 17,4 kg, což je důvod, proč systém reaguje tak svižně, jak reaguje.

Energetická bilance vychází přesně. Závaží klesne o 2,40 m a uvolní MgΔy = 435 × 9,8 × 2,40 = 10 231 J. Z toho nosič získá mgl sin θ = 150 × 9,8 × 12,0 × sin 18° = 5 451 J potenciální energie; tření disipuje F_fl = 336 × 12,0 = 4026 J; kolébka dorazí s kinetickou energií ½mv² = ½ × 150 × 3,0² = 675 J, protože v = aΔt = 0,375 × 8,0 = 3,0 m/s; a samotné protizávaží dorazí s ½Mv² = ½ × 435 × 0,60² = 78 J. Tyto čtyři členy dávají součet 10 230 J oproti 10 231 J uvolněným. Téměř čtyřicet procent energie, kterou protizávaží vydá, je spotřebováno na tření, což je číslo, na které by se technik na jevišti podíval jako první.

Otázka č. 4 – co mohou technici změnit. Každý symbol v rovnici (m + M/25)a = Mg/5 − mg sin θ − μmg cos θ je parametrem scény a publikovaná odpověď na tuto otázku – délka nakloněné roviny, doba jízdy a úhel – uvádí pouze tři z nich. Úplný seznam s vlivem každého efektu:

Shrnutí úkolů podle věkové kategorie

9. až 10. ročník

Zaměření stroj a slovní zásoba. Studenti sledují ukázku, zaznamenávají dobu pohybu a obě posunutí a měřením namísto pouhého sdělení stanovují poměr 5 : 1 mezi nimi. Vypočítají zrychlení vozíku ze vzorce a = 2Δx/Δt² a jeho rychlost při příjezdu ze vzorce v = aΔt a rozloží tíhu na dvě složky na nakreslené nakloněné rovině pomocí měřítka, pokud trigonometrie ještě není k dispozici. Očekávanými závěry je, že protizávaží se pohybuje méně, ale táhne větší silou, že nakloněná rovina nese většinu tíhy vozíku, takže lano ji unést nemusí, a že tření se vždy staví proti pohybu. Slovní zásoba: mechanická výhoda, tah (napětí), normálová síla, tření, protizávaží.

11. ročník

Zaměření úplné kvantitativní řešení. Studenti nakreslí oba diagramy sil, napíšou ΣF = ma pro závěs i pro protizávaží a projdou všechny čtyři otázky: dvě zrychlení, šest sil, protizávaží o hmotnosti 435 kg a seznam parametrů. Poté by měli výsledek ověřit opačným způsobem – dosadit 435 kg zpět do spařených rovnic a získat 0,375 m/s² – protože návrhový výpočet, který nelze zkontrolovat nazpět, není dokončen. Energetická bilance je na této úrovni přirozeným rozšířením: uvolněno 10 231 J proti 5451 J uloženým, 4026 J ztracených třením a 753 J ponechaných jako kinetická energie.

12. ročník / Úroveň college

Zaměření zpracování v souřadnicovém systému a omezení modelu. Studenti odvodí jedinou rovnici pohybu (m + M/n²)a = Mg/n − mg sin θ − μmg cos θ pro libovolný počet pramenů n, vysvětlí, proč je setrvačnost vyjádřena jako n², zatímco síla je vyjádřena jako n, a na jejím základě přímo zodpoví konstrukční otázky — jaké protizávaží by vyžadovalo čtyřpramenné lanové vedení, nebo jak se změní doba jízdy, pokud se koeficient tření sníží na polovinu. Následně do stroje zavedou účinnost η, čímž ukážou, že požadovaná protizávaží se měří jako 1/η, a vypočítají penalizaci 12 % vyplývající z měření v laboratoři 086. Závěrečná diskuse se týká toho, co stránka nemůže vyřešit pouze na základě teorie: zda se scéna rozběhne z klidu proti statickému tření a jak má být zastavena.

Laboratorní potřeby

Nástroje

• Zmenšenina divadelní scény
• Dřevěná prkna × 2 (rampa, 18°, ve skutečné velikosti 12 m)
• Miniaturní pětivazný nosný zvedák
• Hmotnost protizávaží zavěšeného na pohyblivé kladce
• Závěsná kolébka s hercem (150 kg ve skutečné velikosti)

Produkty

Žádné — tato laboratoř nepoužívá žádná chemická činidla.